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1、关于矩阵秩的证明09 数应 鄢丽萍中文摘要在高等代数中 ,矩阵的秩是一个重要的概念。 它是矩阵的一个数量特征， 而且在初等变换下保持不变。 关于矩阵秩的问题通常转化为矩阵是否可逆,线性方程组的解的情况等来解决。所谓矩阵的行秩就是指矩阵的行向量组的秩，矩阵的列秩就是矩阵的列向量组的秩，由于矩阵的行秩与列秩相等，故统称为矩阵的秩。向量组的秩就是向量组中极大线性无关组所含向量的个数。关键词：初等变换 向量组的秩极大线性无关组约定用E表示单位向量，AT表示矩阵A的转置，r(A)表示矩阵A的秩。在涉及矩阵的秩时，以下几个简单的性质:(1) r(A)=r(A T);(2)r(kA)=r(A) k 00 k
2、 0(3) 设A,B分别为nXm与mXs矩阵，那么r(AB) minr(A),r(B),n,m,s(4) r(A尸n,当且仅当ak0=r(A)+r(B) r(6) r(A-B) r(A)+r(B)矩阵可以进展加法，数乘，乘法等运算，运算后的新矩阵 的秩与原矩阵的秩有一定关系。定理1:设A,B为n x n阶矩阵，那么r(A+B) r(A+B)定理2sylverster公式设 A为sx n阶矩阵，B为nXm阶矩阵，那么有r(A)+r(B)-n r(AB)证：由初等变换可得En BEn BEn OEn OA EsA OOABO ABEn B En B En OA O O Em O AB那么 rEAn
3、OB=r OEOAB即 r(A)+r(B)-n r(AB)唯论(Frobenius公式)设A为m x n阶矩阵，B为n x s阶矩阵，C为sx t阶矩阵，那么r(AB)+r(BC)-r(B) r(AM)+r(NC)-r(MN)nr(AMN)+r(MNC)-r(MN)即 r(AB)+r(BC)-r(B) r(ABC)定理3设A为nxn矩阵，假设A2=E ,那么有r(A+E)+r(A-E)=n证：根据题意有 A+E A-E =O令 A+E=A 1 ， A-E=A 2 ，有 A1A2 =O由定理2可知r(Ai)+r(A 2)wn即 r(A+E)+r(A-E) r(A+E)-(A-E)=r(2E户n故
4、 r(A+E)+r(A-E)=n隹论设A为nxn矩阵且A2=A,那么有r(A)+r(A-E)=n证：事实上，有A OA O A O O AA2 OA EAAE EAE EAEO A A2O OE OEO那么有 r OA=rEOOEO故有 r(A)+r(A-E)=r(E)=n定理4设A是sx n实矩阵，有r(E n-ATA)-r(E s-AA T)=n-s证:要证r(E n -A T A)-r(E s-AA T )=n-s即只要证 r(E n-ATA)+s=r(E s-AA T)+n由初等变换有En ATEnATEnOA EsOEsAATOEsAATEnAOEsEAnEAsEn A En OO
5、EsO Es AAT故有 rEn ATA Es=rEn OO EsAAT=n+r(E s-AA T )E ATr =s+r(E n -A A)AE综上有 n+r(E s-AA T)=s+r(E n-ATA)定理5 设A,C均为mxn矩阵，B,D均为nx s矩阵，那么有r(AB-CD) r(A-C)+r(B-D)证：由分块矩阵的乘法得Em C A C O En BA C AB CDO En O B D O EsO B DC OA C AB CD=rBDO BD故 r(A-C)+r(B-D) Ar(AB-CD)参考文献1】 红星.高等代数选讲【M】 .：机械工业， 2009.2】 钱.高等代数题解精粹【M 】 .：中央民族大学， 2005.3】 徐忡，等.高等代数考研教案【M】 .;西北工业大学，2009.
