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1、-=习题11-1已知质点位矢随时间变化的函数形式为其中为常量求：（1）质点的轨道；(2)速度和速率。解：(1) 由，知： ，消去t可得轨道方程：质点的轨道为圆心在（0，0）处，半径为R的圆；（2）由，有速度：而，有速率：。1-2已知质点位矢随时间变化的函数形式为，式中的单位为m，的单位为s。求：（1）质点的轨道；（2）从到秒的位移；（3）和秒两时刻的速度。解：（1）由，可知 ， 消去t得轨道方程为：，质点的轨道为抛物线。（2）由，有速度：从到秒的位移为：（3）和秒两时刻的速度为：， 。1-3已知质点位矢随时间变化的函数形式为，式中的单位为m，的单位为s.求：（1）任一时刻的速度和加速度；（2）
2、任一时刻的切向加速度和法向加速度。解：(1)由，有：，有：；（2）而，有速率：，利用有： 。1-4一升降机以加速度上升，在上升过程中有一螺钉从天花板上松落，升降机的天花板与底板相距为，求螺钉从天花板落到底板上所需的时间。解法一：以地面为参照系，坐标如图，设同一时间内螺钉下落的距离为，升降机上升的高度为，运动方程分别为 （1） （2） （3）（注意到为负值，有）联立求解，有：。解法二：以升降机为非惯性参照系，则重力加速度修正为，利用，有：。1-5一质量为的小球在高度处以初速度水平抛出，求：（1）小球的运动方程；（2）小球在落地之前的轨迹方程；（3）落地前瞬时小球的，。解：（1）如图，可建立平抛运
3、动学方程： ， ，；（2）联立上面两式，消去t得小球轨迹方程：（为抛物线方程）；（3），即：，在落地瞬时，有：， 又 ， 。1-6路灯距地面的高度为，一身高为的人在路灯下以匀速沿直线行走。试证明人影的顶端作匀速运动，并求其速度.证明：设人向路灯行走，t时刻人影中头的坐标为，足的坐标为，由相似三角形关系可得：，两边对时间求导有： ，考虑到：，知人影中头的速度：（常数）。1-7一质点沿直线运动，其运动方程为(m)，在 t从0秒到3秒的时间间隔内，则质点走过的路程为多少？解：由于是求质点通过的路程，所以可考虑在03s的时间间隔内，质点速度为0的位置： 若 解得 ，。1-8一弹性球直落在一斜面上，下落
4、高度，斜面对水平的倾角，问它第二次碰到斜面的位置距原来的下落点多远(假设小球碰斜面前后速度数值相等，碰撞时人射角等于反射角)。解：小球落地时速度为。建立沿斜面的直角坐标系，以小球第一次落地点为坐标原点如图示， （1） （2）第二次落地时：，代入（2）式得：，所以：。1-9地球的自转角速度最大增加到若干倍时，赤道上的物体仍能保持在地球上而不致离开地球?已知现在赤道上物体的向心加速度约为，设赤道上重力加速度为。解：由向心力公式：，赤道上的物体仍能保持在地球必须满足：，而现在赤道上物体的向心力为：1-10已知子弹的轨迹为抛物线，初速为，并且与水平面的夹角为。试分别求出抛物线顶点及落地点的曲率半径。解
5、：（1）抛物线顶点处子弹的速度，顶点处切向加速度为0，法向加速度为。因此有：，；（2）在落地点时子弹的，由抛物线对称性，知法向加速度方向与竖直方向成角，则：，有： 则： 。1-11飞机以的速度沿水平直线飞行，在离地面高时，驾驶员要把物品投到前方某一地面目标上，问：投放物品时，驾驶员看目标的视线和竖直线应成什么角度?此时目标距飞机下方地点多远?解：设此时飞机距目标水平距离为有：，联立方程解得：，。1-12设将两物体和分别以初速和抛掷出去与水平面的夹角为；与水平面的夹角为，试证明在任何时刻物体相对物体的速度是常矢量。证明：两个物体初速度为和，在任意时刻的速度为： 与时间无关，故相对物体的速度是常矢
6、量。1-13一物体和探测气球从同一高度竖直向上运动，物体初速为，而气球以速度匀速上升，问气球中的观察者在第二秒末、第三秒末、第四秒末测得物体的速度各多少？解：物体在任意时刻的速度表达式为：故气球中的观察者测得物体的速度 代入时间t可以得到第二秒末物体速度：，（向上）第三秒末物体速度：第四秒末物体速度：（向下）。1-14质点沿轴正向运动，加速度，为常数设从原点出发时速度为，求运动方程。解： 由于是一维运动，所以，由题意：，分离变量并积分有： ，得： 又 ， 积分有： 1-15跳水运动员自跳台自由下落，入水后因受水的阻碍而减速，设加速度，.求运动员速度减为入水速度的10%时的入水深度。解：取水面为
7、坐标原点，竖直向下为轴。跳水运动员入水时的速度：，入水后速度减为入水速度的10%时：，列式：，考虑到，有：，1-16一飞行火箭的运动学方程为：，其中b是与燃料燃烧速率有关的量，为燃气相对火箭的喷射速度。求：（1）火箭飞行速度与时间的关系；（2）火箭的加速度。解：看成一维运动，直接利用公式：，有：（1） ， （2）1-17. 质点的运动方程为：，式中为正的常量。求：（1）质点运动的轨道方程；（2）质点的速度大小；（3）质点的加速度大小。解：（1）轨道方程为：，这是一条空间螺旋线。空间螺旋线在平面上的投影，是圆心在原点，半径为R的圆，其螺距为。（2） ，；（3） 思考题11-1点作曲线运动，其瞬时
8、速度为，瞬时速率为，平均速度为，平均速率为，则它们之间的下列四种关系中哪一种是正确的?（1）；（2）；（3）；（4）答：（3）1-2质点的关系如图，图中，三条线表示三个速度不同的运动问它们属于什么类型的运动?哪一个速度大？哪一个速度小？ 答：匀速直线运动；。1-3结合图，说明平均加速度和瞬时加速度的几何意义。答：平均加速度表示速度在时间内的平均变化率，它只能粗略地反映运动速度的变化程度和方向，而瞬时加速度能精确反映质点运动速度的变化及方向。1-4运动物体的加速度随时间减小，而速度随时间增加，是可能的吗？答：是可能的。加速度随时间减小，说明速度随时间的变化率减小。 1-5如图所示，两船和相距，分
9、别以速度和匀速直线行驶，它们会不会相碰?若不相碰，求两船相靠最近的距离图中和为已知。答：方法一：如图，以A船为参考系，在该参考系中船A是静止的，而船B的速度。是船B相对于船A的速度,从船B作一条平行于方向的直线BC,它不与船A相交,这表明两船不会相碰.由A作BC垂线AC,其长度就是两船相靠最近的距离 作FD/AB,构成直角三角形DEF，故有：，在三角形BEF中,由余弦定理可得：。方法二：两船在任一时刻的位置矢量分别为： 任一时刻两船的距离为：令：。1-6若质点限于在平面上运动，试指出符合下列条件的各应是什么样的运动？ （1），；（2），；（3），答：(1) 质点作圆周运动； (2) 质点作匀速
10、率曲线运动； (3) 质点作抛体运动。1-7一质点作斜抛运动，用代表落地时，（1）说明下面三个积分的意义：；（2）用和代表抛出点和落地点位置，说明下面三个积分的意义：。答： 表示物体落地时x方向的距离， 表示物体落地时y方向的距离， 表示物体在时间内走过的几何路程， 抛出点到落地点的位移， 抛出点到落地点位移的大小， 抛出点到落地点位移的大小。习题22-1 质量为16kg的质点在平面内运动，受一恒力作用，力的分量为，当时，。当时，求：(1) 质点的位矢；(2) 质点的速度。解：由 ，有：，（1），。于是质点在时的速度：（2）2-2 摩托快艇以速率v0行驶，它受到的摩擦阻力与速率平方成正比，可表
11、示为F= -kv2(k为正值常量)。设摩托快艇的质量为m，当摩托快艇发动机关闭后，求：(1) 求速率v随时间t的变化规律；(2) 求路程x随时间t的变化规律；(3) 证明速度v与路程x之间的关系为，其中。解：（1）由牛顿运动定律得：，分离变量有，两边积分得：速率随时间变化的规律为；（2）由位移和速度的积分关系：，积分有：路程随时间变化的规律为： ；（3）由， 积分有：。2-3质量为的子弹以速度水平射入沙土中，设子弹所受阻力与速度反向，大小与速度成正比，比例系数为，忽略子弹的重力，求：(1) 子弹射入沙土后，速度随时间变化的函数式；(2) 子弹进入沙土的最大深度。解：（1）由题意，子弹射入沙土中
12、的阻力表达式为：又由牛顿第二定律可得：，则分离变量，可得：，两边同时积分，有：，所以：（2）子弹进入沙土的最大深度也就是的时候子弹的位移，则：考虑到，可推出：，而这个式子两边积分就可以得到位移： 。2-4一条质量分布均匀的绳子，质量为、长度为，一端拴在竖直转轴OO上，并以恒定角速度在水平面上旋转设转动过程中绳子始终伸直不打弯，且忽略重力，求距转轴为r处绳中的张力T( r)解：在绳子上距离转轴为r处取一小段微元绳子，假设其质量为dm，可知：，因为它做的是圆周运动，所以微元绳的所受合力提供向心力： 。距转轴为r处绳中的张力T( r)将提供的是r以外的绳子转动的向心力，所以两边积分：。2-5已知一质
13、量为的质点在轴上运动，质点只受到指向原点的引力作用，引力大小与质点离原点的距离的平方成反比，即，是比例常数设质点在时的速度为零，求质点在处的速度的大小。解：由题意：，再由牛顿第二定律可得：，考虑到，可推出：两边同时取积分，则：有：2-6一质量为的质点，在平面上运动，受到外力 (SI)的作用，时，它的初速度为 (SI)，求时质点的速度及受到的法向力。解：由于是在平面运动，所以考虑矢量。由：，有：，两边积分有：，考虑到，有由于在自然坐标系中，而（时），表明在时，切向速度方向就是方向，所以，此时法向的力是方向的，则利用，将代入有，。2-7如图，用质量为的板车运载一质量为的木箱，车板与箱底间的摩擦系数
14、为，车与路面间的滚动摩擦可不计，计算拉车的力为多少才能保证木箱不致滑动？ 解法一：根据题意，要使木箱不致于滑动，必须使板车与木箱具有相同的加速度，且上限车板与箱底间为最大摩擦。即：可得：解法二：设木箱不致于滑动的最大拉力为，列式有：联立得：，有：。2-8如图所示一倾角为的斜面放在水平面上，斜面上放一木块，两者间摩擦系数为。为使木块相对斜面静止，求斜面加速度的范围。解法一：在斜面具有不同的加速度的时候，木块将分别具有向上和向下滑动的趋势，这就是加速度的两个范围，由题意，可得：（1）当木块具有向下滑动的趋势时（见图a），列式为： 可计算得到：此时的（2）当木快具有向上滑动的趋势时（见图b），列式为：可计算得到：此时的，所以：。解法二：考虑物体m放在与斜面固连的非惯性系中，将物体m受力沿和方向分解，如图示，同时考虑非惯性力，隔离物块和斜面体，列出木块平衡式：方向：方向：考虑到，有：，解
