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1、一.基本原理1. 加法原理：做一件事有n类办法，则完成这件事的方法数等于各类方法数相加。2. 乘法原理：做一件事分n步完成，则完成这件事的方法数等于各步方法数相乘。注：做一件事时，元素或位置允许重复使用，求方法数时常用基本原理求解。二.排列：从 n 个不同元素中，任取m ( m W n )个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列，所有排列的个数记为A；.n!(n _ m)()() n!均乏朋,可占1胸立九眼 洗eN1.公式：1. Am = nn 1 n - 2/质-m +1 =，?n史=理=刘伽-1 )(内-2)2 . 1小、2.规定：0! = 1(1) n!
2、 = nx(n 1)!,(n +1)xn! = (n +1)!(2) nxn! = (n +1) 1xn! = (n +1)xn! n! = (n +1)! n!./、 n n +1 1 n +1111(3)=(n +1)! (n +1)! (n +1)! (n +1)! n! (n +1)!三组合：从n个不同元素中任取山(mWn)个元素并组成一组，叫做从n个不同的m元素中任取m个元素的组合数， Am _ n(n D(n m + D _n!07.洗 eN 物*.l =】/规定：Amm!m!(n mmCm = Cn-m， Cm + Cm-1 = Cm， C0 + C1 + Cn = 2n;*；1
3、.公式： Cm =n2.组合数性质：出H H记作Cn。m!注：Cr + Cr+ Cr+Cr+ Cr = Cr+1 + Cr + Cr +Cr+ Cr = Cr+1 + Cr+ Cr + Cr = Cr+1rr+1r+2n1nr+1r+1r+2n1n r+2r+2n1nn+1若 Cm1 = Cm2aim =m 或m +m = n四.处理排列组合应用题 1.明确要完成的是一件什么事(审题) 有序还是无序 分步还是分类。2. 解排列、组合题的基本策略(1) 两种思路：直接法；间接法：对有限制条件的问题，先从总体考虑，再把不符合条件的所有情况去掉。这是解决排列组合应用题时一种常用的解题方法。(2) 分
4、类处理：当问题总体不好解决时，常分成若干类，再由分类计数原理得出结论。注意：足不重复不遗漏。即：每两类的交集为空集，所有各类的并集为全集。(3) 分步处理：与分类处理类似，某些问题总体不好解决时，常常分成若干步，再由分步计数原理解决。在处理排列组合问题时，常常既要分类，又要分步。其原则是先分类,后分步。(4) 两种途径：元素分析法；位置分析法。3. 排列应用题：(1) 穷举法(列举法)：将所有满足题设条件的排列与组合逐一列举出来；(2)、特殊元素优先考虑、特殊位置优先考虑；(3) .相邻问题：捆邦法：对于某些元素要求相邻的排列问题，先将相邻接的元素“捆绑”起来，看作一 “大”元素与其余元素排列
5、，然后再对相邻元素内部进行排列。(4) 、全不相邻问题，插空法：某些元素不能相邻或某些元素要在某特殊位置时可采用插空法.即先安排好没有限制条件的元素，然后再将不相 邻接元素在已排好的元素之间及两端的空隙之间插入。(5) 、顺序一定，除法处理。先排后除或先定后插解法一：对于某几个元素按一定的顺序排列问题，可先把这几个元素与其他元素一同进行全排列，然后用总的排列数除于这几个元素的全排列数。 即先全排，再除以定序元素的全排列。解法二：在总位置中选出定序元素的位置不参加排列，先对其他元素进行排列，剩余的几个位置放定序的元素，若定序元素要求从左到右或从右 到左排列，则只有1种排法；若不要求，则有2种排法
6、；(6) “小团体”排列问题一一采用先整体后局部策略对于某些排列问题中的某些元素要求组成“小团体”时，可先将“小团体”看作一个元素与其余元素排列，最后再进行“小团体”内部的排列。(7) 分排问题用“直排法”把元素排成几排的问题，可归纳为一排考虑，再分段处理。(8) .数字问题(组成无重复数字的整数) 能被2整除的数的特征：末位数是偶数；不能被2整除的数的特征：末位数是奇数。能被3整除的数的特征：各位数字之和是3的倍数；能被9整除的数的特征：各位数字之和是9的倍数能被4整除的数的特征：末两位是4的倍数。能被5整除的数的特征：末位数是0或5。能被25整除的数的特征：末两位数是25, 50, 75。
7、 能被6整除的数的特征：各位数字之和是3的倍数的偶数。4. 组合应用题：(1).“至少” “至多”问题用间接排除法或分类法：(2). “含”与“不含”用间接排除法或分类法：3. 分组问题：均匀分组：分步取，得组合数相乘，再除以组数的阶乘。即除法处理。非均匀分组：分步取，得组合数相乘。即组合处理。混合分组：分步取，得组合数相乘，再除以均匀分组的组数的阶乘。4. 分配问题：定额分配：(指定到具体位置)即固定位置固定人数，分步取，得组合数相乘。随机分配：(不指定到具体位置)即不固定位置但固定人数，先分组再排列，先组合分堆后排，注意平均分堆除以均匀分组组数的阶乘。5. 隔板法：不可分辨的球即相同元素分
8、组问题例1.电视台连续播放6个广告，其中含4个不同的商业广告和2个不同的公益广告，要求首尾必须播放公益广告，则共有 种不同的播放方式(结果用数值表示).解：分二步：首尾必须播放公益广告的有A。?种；中间4个为不同的商业广告有A44种，从而应当填入224 = 48.从而应填48.例3.6人排成一行，甲不排在最左端，乙不排在最右端，共有多少种排法？解一：间接法：即 A6 - 45 - 45 + A4 = 720 - 2 x 120 + 24 = 504解二：（1）分类求解：按甲排与不排在最右端分类.（1）甲排在最右端时，有A5种排法；（2）甲不排在最右端（甲不排在最左端）时，则甲有A种排法，乙有A
9、4种排法，其他人有A4种排法， 共有A4 A4 A4种排法，分类相加得共有A5+a4 a4 A4 =504种排法例.有4个男生，3个女生，高矮互不相等，现将他们排成一行，要求从左到右，女生从矮到高排列，有多少种排法？分析一：先在7个位置上任取4个位置排男生，有A4种排法.剩余的3个位置排女生，因要求“从矮到高”，只有1种排法，故共有A4 - 1=840 种.1. 从4台甲型和5台乙型电视机中任取3台，其中至少要甲型和乙型电视机各一台，则不同的取法共有解析1：逆向思考，至少各一台的反面就是分别只取一种型号，不取另一种型号的电视机，故不同的取法共有CC3C53 = 70种，选.C 解析2：至少要甲
10、型和乙型电视机各一台可分两种情况：甲型1台乙型2台；甲型2台乙型1台；故不同的取法有C52C4 + C；C： = 70台，选C .2. 从5名男生和4名女生中选出4人去参加辩论比赛，（1）如果4人中男生和女生各选2人，有种选法；（2）如果男生中的甲与女生中的 乙必须在内，有种选法；（3）如果男生中的甲与女生中的乙至少要有1人在内，有_种选法；（4）如果4人中必须既有男生又有女生，有 种选法*分析：本题考查利用种数公式解答与组合相关的问题.由于选出的人没有地位的差异，所以是组合问题.解：（1）先从男生中选2人，有C；种选法，再从女生中选2人，有C；种选法，所以共有C2C2 =60 （种）；（2）
11、除去甲、乙之外，其余2人可以从剩下的7人中任意选择，所以共有C；C； =21 （种）；（3）在9人选4人的选法中，把甲和乙都不在内的去掉，得到符合条件的选法数：C9 C =91 （种）；直接法，则可分为3类：只含甲；只含乙；同时含甲和乙，得到符合条件的方法数C1C3 + C1C3 + C；C； = C3 + C7 + C2 =91 （种）.（4）在9人选4人的选法中，把只有男生和只有女生的情况排除掉，得到选法总数C C4 C4 =120 （种）.直接法：分别按照含男生1、2、3人分类，得到符合条件的选法为C；C： + C2C2 + CJC4 =120 （种）.1. 6个人分乘两辆不同的汽车，每
12、辆车最多坐4人，则不同的乘车方法数为（）A. 40B. 50 C. 60D. 70一 一 C3 解析先分组再排列，一组2人一组4人有C2=15种不同的分法；两组各3人共76=10种不同的分法，所以乘车方法数为25X2 = 50,故选6A22B.2. 有6个座位连成一排，现有3人就坐，则恰有两个空座位相邻的不同坐法有（）A. 36 种 B. 48 种 C. 72 种D. 96 种解析恰有两个空座位相邻，相当于两个空位与第三个空位不相邻，先排三个人，然后插空，从而共A3A2 = 72种排法，故选C.3. 只用1,2,3三个数字组成一个四位数，规定这三个数必须同时使用，且同一数字不能相邻出现，这样的
13、四位数有（）A. 6 个 B. 9 个 C. 18 个 D.36 个解析注意题中条件的要求，一是三个数字必须全部使用，二是相同的数字不能相邻，选四个数字共有C1 = 3（种）选法，即1231,1232,1233, 而每种选择有A2XQ = 6（种）排法，所以共有3X6 = 18（种）情况，即这样的四位数有18个.34. 男女学生共有8人，从男生中选取2人，从女生中选取1人，共有30种不同的选法，其中女生有（）A. 2人或3人 B. 3人或4人 C. 3人 D.4人解析设男生有n人，则女生有（8n）人，由题意可得QC1 =30,解得n = 5或n = 6，代入验证，可知女生为2人或3人.5. 某
14、幢楼从二楼到三楼的楼梯共10级，上楼可以一步上一级：也可以一步上两级，若规定从二楼到三楼用8步走完，则方法有（）A. 45 种 B. 36 种 C. 28 种 D. 25 种解析因为10：8的余数为2,故可以肯定一步一个台阶的有6步，一步两个台阶的有2步，那么共有C2 = 28种走法.6. 某公司招聘来8名员工，平均分配给下属的甲、乙两个部门，其中两名英语翻译人员不能分在同一个部门，另外三名电脑编程人员也不能全分 在同一个部门，则不同的分配方案共有（）A. 24 种 B. 36 种 C. 38 种D. 108 种解析本题考查排列组合的综合应用，据题意可先将两名翻译人员分到两个部门，共有2种方法
15、，第二步将3名电脑编程人员分成两组，一组 1人另一组2人，共有C1种分法，然后再分到两部门去共有C1A2种方法，第三步只需将其他3人分成两组，一组1人另一组2人即可，由于是每个 部门各4人，故分组后两人所去的部门就巳确定，故第三步共有。种方法，由分步乘法计数原理共有2C1A1 = 36（种）.7. 巳知集合A=5，B=1,2，C=1,3,4，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标，则确定的不同点的个数为（）A.33B.34C.35D.36解析所得空间直角坐标系中的点的坐标中不含1的有C1 - A3=12个； 所得空间直角坐标系中的点的坐标中含有1个1的有C1 A3车A3=18个； 所得空间直角坐标系中的点的坐标中含有2个1的有C1 = 33个.3故共有符合条件的点的个数为12 + 18 + 3 = 33个，故选A38. 由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都
