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1、精品文档，仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除高等代数(上)：学习笔记这是我自学的笔记做成的电子档，其中有许多注释，尽量深入浅出，以供大家学习。有些笔误也修正差不多了。课本和王德明老师的符号略有不同，但意思是一样的，祝大家都能通过考试。第一章 行列式1.1 定义D=2314=24-31=5 A=23142314这是行列式（或写为|D|） 这是矩阵，注意区别a11x1+a12x2+a13x3=b1a21x1+a22x2+a23x3=b2a31x1+a32x2+a33x3=b3这是三元线性方程组D=a11a12a13a21a22a23a31a32a33=a11a22a33+a12a23a31+a
2、13a21a32 -a11a23a32-a12a21a33-a13a22a31代数和右下斜线为正左下斜线为负3阶行列式偶排列，正号奇排列，负号1.2 逆序数逆序数 j1,j2, ,jnn阶排列，有n!个n阶排列判断逆序数的奇偶性1.3 n阶行列式的代数和D=a11a12a1na21a22a2n an1an2ann=j1,j2, ,jn-1j1,j2, ,jna1j1a2j2anjn1.4 行列式性质1、行列式转置值不变：DT=D2、k可以乘上某行(列)：kDrowi3、加法：某行之和 展开为两行列式之和：Drow(a+b)=Drow(a)+Drow(b)4、互换两行(列)：负号Drowirow
3、k=-D5、两行相同(成比例)：零值 Drowi=krowk=06、某行乘以k加到另一行：值不变 Dkrowi+rowk=D所在行列的和(同等于逆序数)1.5 代数余子式余子式：删去i, j所在的行与列后得到的n-1阶行列式 Aij=(-1)i+jMij代数余子式n阶行列式 |D|=ak1Ak1+ak2Ak2+aknAkn k=1, 2, , n即展开第k行(列)表示所有可能的差 ij如：(4-3)(4-2)(4-1)(3-2)(3-1)(2-1)1.6 范德蒙行列式|D|=1111a1a2a3ana12a22a32an2a1n-1a2n-1a3n-1ann-1=1jin(ai-aj)第二章
4、线性方程组2.1 克莱姆法则系数行列式 (b在1列)D1=b1a12a13b2a22a23b3a32a33 D2、D3 类似左边 解集：xi=DiD (D0)该解法适用于n阶当D0时，方程组有唯一解：x1=D1D, x2=D2D, x3=D3D.(D0)只有当常数项b不全为零时，且s=n时才可用克莱姆法则2.2 消元法初等变换：反复对方程进行row变换，最后剩下一个上三角矩阵。如果线性方程组D0，则初等变换后的上三角矩阵，元首都不为0。2.3 数域 P：包含0、1且任意两个数的基本运算仍属于P。如实数R，有理数Q，复数Cn维基本向量组2.4 n维向量 =(a1, a2, a3, , an )
5、(1, 2, 3, 4, )=1000010000100001数量乘积：k零向量：0负向量：-行向量与列向量：row(column)2.5 线性相关rank=n，有唯一解rankn，有无穷多解线性组合 =k11+k22+kss由向量组 线性表出线性相关充要k有解充要可线性表出充要系数矩阵r=增广矩阵r向量组等价：(1,2,n)互相线性表出(1,2,n)常数项为0的充要条件 k11+k22+kss=0线性相关有待更进一步补充线性无关K有解，且不全0K只有零解D0 D0 sns=n时不一定i都可被(1,2,n)线性表出i不能被(1,2,n)线性表出不可逆，因为分母不能为0可逆r0(半)负定矩阵：全
6、()or0标准形矩阵：对角线1 or 0附2：一般n维线性方程组、sn维矩阵、n维向量组的表示法注：bi全为0时，称齐次线性方程组 bi不全为0时，称非齐次线性方程组fx1,x2,xn=a11x1+a12x2+a1nxn=b1a21x1+a22x2+a2nxn=b2as1x1+as2x2+asnxn=bs注：s为行数，n为列数(未知数个数)附：有的书行数用m表示AX=Ba11a12a1na21a22a2n as1as2asnx1x2 xn=b1b2 bs注：这个ki既可理解为：基础解系i的系数ki也可以理解为：矩阵对角化后对角线的元素1还可以理解为：二次型E-A的特征值1 (同上句)附：本书中
7、用拉丁字母表示向量(或称矢量，但王老师或某书中用“”表示，我认为不错，不易混淆。=k11+k22+knn 1=a11,a21,as12=a12,a22,as2n=a1n,a2n,asn=b1,b2,bs3.1 矩阵运算各个元素对应相加（减），即aijbij1、加(减)法： AB性质：交换律：AB=BA结合律：A+B+C=(A+B)+Ccij=ai1b1j+ai2b2j+ainbnj2、乘法：例：AB=1232-11024 21-1 021 10-2=55-550-544-12 0 1 + + 5C=AB 注：A的|row|=B的|column|性质： AB不一定=BA （当AB=BA，称可交换
8、） AE=EA=A结合律：ABC=ABCk次幂：AkAl=Ak+l (Ak)l=Akl非交换律：(AB)kAkBk详见书P183页 AB3.2 分块 分块后矩阵的基本运算依然等价AB=A1A2A3A4B1B2B3B4=A1B1+A2B3A1B2+A2B4A3B1+A4B3A3B2+A4B43.3 逆矩阵1、求aij的代数余子式Aij2、对应的元素要转置伴随矩阵：A*=A11A21An1A12A22An2 A1nA2nAnn求逆公式：A-1=1|A|A*3.4 等价矩阵等价矩阵：A初等变换B初等矩阵：由E做1次初等变换标准形：同时做行、列变换，对角线为1的个数r附：这是一个求逆的简便方法，但易出
9、错，3阶矩阵建议用求逆公式。用单位矩阵求逆：AE行变换EA-1例： 1212220121222012-1202212-12022 3.5 正交矩阵性质: AAT=ATA=E |D|=1 又称正交向量组，,一定线性无关向量组的内积内积公式 ,=a1b1+a2b2+anbn=0任意两行或列的内积必为0分配律：+=,+,结合律：,=(,)交换律：=内积性质：详见书P219页 例11,2,n线性无关，求正交化的1,2,n的公式正交化：1=12=2-2,11,113=3-2,11,11-3,22,22（s=r)s=s-2,11,11-3,22,22-s,s-1s-1,s-1s-1附：由于向量通常是指列向
10、量，如把s改n更易理解，谨记！施密特正交化方法（又称归一化）正交向量组单位化：注：|i|=1,1这里我设i=(h1i,h2i,hsi)，数学中并没有明确规定符号 i=i|i|321=12c3c230c32c31正交单位向量组附：正交化向量 关系图第四章 矩阵的对角化4.1 相似矩阵B=X-1AX AB1、反身性：AA2、对称性：ABBA2=2-c2，且有矩形022c23=3-c3，且有矩形033c33、传递性：AB, BCAC4、行列式等值：A=|B|11、有相同的特征多项式12、有相同的特征值13、有相同的迹（即对角线元素个数）5、同时可逆or不可逆6、B1+B2=X-1(A1+A2)X7、B1B2=X-1(A1A2)X8、kB1=X-1(kA1)X9、f(B)=X-1f(A)X10、kE=X-1(kE)X对角矩阵：a1, a2, a3, , an 注：这里的Ai是指分块矩阵，不是代数余子式准对角矩阵：A1, A2, A3, , An 4.2 特征
