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1、4ac b2 14ac(a 0)顶点为C (1,1)且过N 2, 0)、B(2 , 0)、C(0 ,抛物线的焦点与准线(高中知识有关)九上P54、活动2 (新书)一、高中知识：文科选修(1-1) P53-55;理科选修(1-1) P56-59抛物线的几个定义：把平面与一个定点F和一条定直线L的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点，直线L叫做抛物线的准线.公式：抛物线y ax2 bx c的焦点为( ,4ac b-1),准线为y 2a 4a二、试题：1、(2010黄冈市，25, 15分)已知抛物线 y ax2 bx5原点O.过抛物线上一点 P (x, y)向直线y -作垂线，4垂足为
2、M连FM (如图).11)求字母a, b, c的值；3(2)在直线x=1上有一点F(1-),求以PM为底边的等4腰三角形PFM勺P点的坐标，并证明此时 PFM为正三角 形；(3)对抛物线上任意一点 P,是否总存在一点 N (1, t), 使P阵PN恒成立，若存在请求出 t值，若不存在请说明 理由.2、2012年潍坊市24.(此题满分11分)如图，已知抛物线与坐标轴分别交于 1)三点，过坐标原点0的直线y=kx与抛物线交于 M N两点.分 别过点C, 口0, 2)作平行于x轴的直线l1、l2 .(1) 求抛物线对应二次函数的解析式；(2) 求证以ON为直径的圆与直线l1相切；(3)求线段MN的长
3、(用k表示)，并证明M N两点到直线l2 的距离之和等于线段 MN的长.3、省黄冈市2011年中考数学试卷24、如下图，过点F (0, 1)的直线y=kx+b与抛物线交于M交i, y)和N交2,y2)两点(其中 xi 0).(1)求b的值.(2)求X/ X2的值.(3)分别过M, N作直线l : y=- 1的垂线，垂足分别是 M1和N.判断AM 1FN1的形状，并 证明你的结论.(4)对于过点F的任意直线 MN是否存在一条定直线 m,使m与以MN直径的圆相切.如 果有，请求出这条直线 m的解析式；如果没有，请说明理由.4、2010年市中考试题(五中月考)28.(本小题满分 14分)(2010年
4、市)已知抛物线 y = ax2+bx+c经过 A(4, 3)、B (2, 0) 两点，当x=3和x=3时，这条抛物线上对应点的纵 坐标相等.经过点 C(0, 2)的直线l与x轴平行， O为坐标原点.(1)求直线A所口这条抛物线的解析式；(2)以A为圆心，AO为半径的圆记为。A,判断直线 l与。A的位置关系，并说明理由；(3)设直线AB上的点D的横坐标为一1, P (3n) 是抛物线y=ax2+bx+ c上的动点，当 PDO勺 周长最小时，求四边形 CODP1面积.4321-4 -3 -2 -1o 1-1-2 -3 (第28题)5、(2011-2012市九上期末考试题)222. (14分)已知抛
5、物线y ax bx c(a 0)经过点A (2, 0)、B (0, 1)两点，且对称轴是 y轴，经过点C (0, 2)的直线l与x轴平行，O为坐标原点，P、Q为抛物线y ax2 bx c ( a 0)上的两动点。(1)求抛物线的解析式；(2)以点P为圆心，PO为半径的圆记为。P, 判断直线l与。P的位置关系，并证明你的结论 ；(3)设线段PQ 9 , G是PQ的中点，求点 G到直线l距离的最小值。第22题图6、(2012资阳9分)抛物线 y=lx2+x+m 的顶点在直线y=x+3上，过点F(2, 2)的直4线交该抛物线于点 M N两点(点 M在点N的左边)，MALx轴于点A NBL x轴于点B
6、.(1) (3分)先通过配方求抛物线的顶点坐标(坐标可用含m的代数式表示)，再求m的值；(2) (3分)设点N的横坐标为a,试用含a的代数式表示点 N的纵坐标，并说明 NF =NB(3) (3分)若射线NMK x轴于点P,且PAX PB= 100 ,求点M的坐标.9抛物线的焦点与准线（高中知识有关）答案1、（2010黄冈市，25, 15分）分析.（1）抛物线的顶点为 C （1,1）,可设解析式 为y=a （x1） 2+1,又因抛物线过原点，可得a=-1,所以y=- （x1） 2+1,化简得y=x2+2x,即可求字母 a, b, c的值；（2）由FMh FP, PM与直线y E垂直，可得41 -
7、2- 点P坐标为（PFMK;正三角形；（3）由PM= PN可-y , . y 1,代入 y=x?+2x,解得 x 4 4 44或(1 y , 1),所以分两种情况，通过计算可得得 5y = Jx12 y t2 ,33. 一 3一，t2 2y (舍去)，故存在点N (1 ),4444整理得，12 2yt - y 0 ,解得t1 216使PM= PN恒成立.答案. (1) a= 1, b=2, c=0把y当占.=1 八、当占.=1 八、(2) . FMh FP, PMW直线 y 5 垂直，5 _ 441代入y = -x2+2x,解得x 1 2.点P坐标为(423432142P坐标为（1 23，1）
8、时，P坐标为（1 , 1）时, 24MP= MF= PF= 1, .PFMK;正三角形,MP= MF= PF= 1, .PFMK;正三角形,当点P坐标为(1 B ,工)或(1 旦,)时， PFM正三角形;2424(3)存在，PM= PN5 y = J x 1 2y t 2 ,4两边同时平方得，竺5y y2= x 12 y t 216 22 , c239y=x+2x, t 2yt - y 0, 216解得t1 3, t243.2y -（舍去），故存在点4N (1, 3),使 PM= PN值成立.4涉与知识点二次函数，等腰三角形，等边三角形点评此题是一道综合性较强的题目，第（1）问较简单，考查大多
9、数学生的能力水平，第（2）问、（3）问较难，解决的关键是利用等腰三角形的性质列出方程，从而求出 点的坐标，在第（3）问中要注意解关于 t的字母系数方程，此题有一定的区分度.推荐指数2、2012年潍坊市24.(此题满分ll分)解：(1)设抛物线对应二次函数的解析式为y=ax2+bx+c, 0 4a 2b c0 4a 2b c解得1 a 4 b 0 c 112，所以y - x1 ,3分4(2)设M1,，)，N(X2, y2),因为点M N在抛物线上, 12,12/所以y1一 X1,y2 X21,所以442X2 =4(y2+1);又0N=X22+y22=4(y2+1)+y22=(y2+2)2, 所
10、以O附2y2 ,又因为y2- l ,所以0N=2+y2.5分P、F,设ON的中点E,分别过点则EFOC NP2N E向直线11作垂线，垂足为2 丫2 ,一丝，所以O附2EF,21 c即ONW中点到直线1i,的距离等于0N长度的一半,所以以ON直径白圆与l1相切.7分(3)过点 M作 MHL N汽 NP于点 H,则 MN=MH+NH=(x2Xi) 2+(y2y。,又 y1=kx1, y2=kx2, 所以(y2y1) 2=k2(x2 Xi)2所以 MN=(1 + k2)( X2 - Xl)2；1co又因为点M N既在y=kx的图象上又在抛物线上， 所以kx -x2 1 ,即x 4kx 4=0,4所
11、以 x 4k V16k2 16 2k 2H k2 ，所以(X2X1)2=16(1 + k2), 2所以 MN=16(1+k2)2,MN4(1+k2) - -9 分延长NP交L于点Q过点M作MSL l2交l2于点S,12121 , 22、则 M8NQ=y1+2+y2+2= x,1x21 4(x1x2 ) 2444又 X12+X22=24 k2+4(1+k2)=16 k2+8,所以 MSNG=4k2+2+2=4(1+ k2)= MN即M N两点到l2距离之和等于线段 MN勺长. ll分说明：本参考答案给出了一种解题方法，其它正确方法应参考本标准给出相应分数.3、省黄冈市2011年中考数学试卷考点：
12、二次函数综合题。专题：代数几何综合题。分析：(1)把点F的坐标代入直线可以确定b的值.(2)联立直线与抛物线，代入(1)中求出的b值，利用根与系数白关系可以求出X1? X2的值.(3)确定M, Ni的坐标，利用两点间的距离公式，分别求出MF： NiF2, MNi；然后用勾股定理判断三角形的形状.(4)根据题意可知y=- 1总与该圆相切.b=1kx 11 2的两组解，解方程组消元得 x解答：解：(1)二.直线y=kx+b过点F (0, 1),y、口小 x x-x x2显然 1和 2是万程组y yiy y2y1 2-x2 kx 1 0,依据“根与系数关系”得xj24.4AM 1FN是直角三角形是直
13、角三角形，理由如下：由题知M的横坐标为x1,N的横坐标为 x2,设MN交y轴于F1,则F1M? F1N=x1? x2=4, 而 FF1=2,所以 F1M? F1Ni=F1F2,另有ZM 1、F=/ FFM=90 ,易证 RtM 1FFRtN 1FF1,得/M 1FF/FNiF1,故/M 1FNi=/M1FF1+/F FN=/FN1F1+ /F 1FN=90 ,所以M1FN 是直角三角形.存在，该直线为 y=1.理由如下:直线y=1即为直线MN.1010第22题解答用图如图，设N点横坐标为m则N点纵坐标为一 m ,计算知NN=- m 1, 442,12.、212. 一NF= m(- m1)-m1
14、,得NN=NF44同理MM=MF.那么 MN=MM NN,作梯形 MMMN的中位线 PQ 由中位线性质知 PQ=1 (MM+ NN) =1MN即圆心到直线 y= 22-1的距离等于圆的半径，所以y=-1总与该圆相切.点评：此题考查的是二次函数的综合题，(1)由点F的坐标求出b的值.(2)结合直线与抛物线的解析式，利用根与系数的关系求出代数式的值.(3)用两点间的距离公式，判断三角形的形状(4)根据点与圆的位置判断直线与圆的位置.4、2010年市中考试题(五中月考) 22.(本小题满分14分)(1)因为当x=3和x=3时，这条抛物线上对应点的纵坐标相等，故 b=0.设直线AB的解析式为y=kx+b,把A (4, 3)、B (2, 0)代入到y= ax2+bx+ c,得16a c 3,丘/口,解得1, 41.这条抛物线的解析式为y= 1x2-1.44a c 0.设直线AB的解析式为y=kx+b,把A (4, 3)、B (2, 0)代入到y=kx+b,得1 4k b 3,k 1, 解得 22k b 0.b 1.这条直线的解析式为 y= - 1x+1.2(2
