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1、初中数学竞赛精品标准教程及练习（60）解三角形一、内容提要1.由三角形的已知元素，求出所有未知元素的过程叫做解三角形.2.解直角三角形所根据的定理 (在RtABC中，C=Rt). 边与边的关系：勾股定理c2=a2+b2. 角与角的关系：两个锐角互余A+B=Rt 边与角的关系：（锐角三角函数定义）SinA=， CosA=, tanA=, CotA=. 互余的两个角的三角函数的关系： Sin(90A)= CosA， Cos(90A)= SinA， tan(90A)= CotA, Cot(90A)= tanA. 特殊角的三角函数值：角A的度数030456090SinA的值01CosA的值10tanA
2、的值01不存在CotA的值不存在10锐角的正弦、正切随着角度的增大而增大（即增函数）；余弦、余切随着角度的增大而减小（即减函数）.3.解斜三角形所根据的定理 (在ABC中) 正弦定理：=2R. (R是ABC外接圆半径).余弦定理：c2=a2+b22abCosC； b2=c2+a22ca CosB； a2=c2+b22cbCosA.互补的两个角的三角函数的关系：Sin(180A)= sinA， Cos(180A)= cosA ， tan(180A)=cotA， cotA(180A)=tanA.SABCabsinC=bcsinA=casinB.4.与解三角形相关的概念：水平距离，垂直距离，仰角，俯
3、角，坡角，坡度，象限角，方位角等.二、例题例1.已知：四边形ABCD中，A60，CBAB，CDAD，CB2，CD1.求：AC的长.解：延长AD和BC相交于E，则E30.在RtECD中，sinE=, CE=12.EB4.在RtEAB中， tanE=, AB=EBtan30。=.根据勾股定理AC.又解：连结BD，设AB为x，AD为y.根据勾股定理AC2x2+22=y2+12.根据余弦定理BD2x2+y22xyCos60=2212221Cos120.得方程组解这个方程组，得x=. (以下同上一解)例2. 已知：如图，要测量山AB的高，在和B同一直线上的C，D处,分别测得对A的仰角的度数为n和m，CD
4、=a.试写出表示AB的算式.解：设AB为x，BD为y.在RtABD和RtABC中， xCotm=xCotna . x=.答：山高AB.例3. 已知：四边形ABCD中，ABC135，BCD120，CD6，AB，BC5.求：AD的长.解：作AEBC交CD于E，BFAE于F，CGAE于G.在RtABF中，BFSin45=,AFBF.在RtCGE中，GECGtan30=1, CE2，ED4.AE=+5+1=6，AED120.在AED中，根据余弦定理，得AD26242264Cos120=76.AD2.例4.如图，要测量河对岸C，D两个目标之间的距离，在A，B两个测站，测得平面角CAB30，CAD45，D
5、BC75，DBA45，AB.试求C，D的距离.解：在ABC中，ACBCAB30，BCAB, AC2cos30=3.在ABD中，ADB60由正弦定理，ADsin45=.在ACD中，由余弦定理，得CD232（）223Cos45=5CD.例5. 已知：O是凸五边形ABCDE内的一点且12，34，56，78.求证：9和10相等或互补证明：根据正弦定理，得=.sin10=sin9 9和10相等或互补.例6.已知：二次方程mx2(m2)x+(m1)=0两个不相等的实数根，恰好是直角三角形两个锐角的正弦值.求：这个直角三角形的斜边与斜边上的高的比.解：作RtABC斜边上的高CD.则sinA=, sinB=.
6、sinA和 sinB是方程的两根，根据韦达定理，得sinA+ sinB=； (1) sinA sinB= . (2) 即=.（3）(1)22(2)得：(sinA)2+(sinB)2=()2.sinB=cosA, 且 (sinA)2+( cosA)2=1，()2=1， m2+7m8=0, m=1， m=8.由（3）.当m=1 时，没有意义；当m=-8时，=. 即直角三角形斜边与斜边上的高的比是329.三、练习601.填空： 如果从点A对着点B测得仰角是60，那么从点B对着点A测得的俯角是度. 点C在点D的南偏东25，那么点D在C的方向是. 斜坡AB的坡角是30，那么AB的坡度i=1. 锐角A45
7、，那么下列函数的取值范围是：SinA_，CosA_，tanA_，cotA_. 已知：30A60，那么如下的函数的取值范围是A的余弦，A的正切.2.已知：ABC中，B45，AC7，点D在BC上，CD3，D5.求AB的长.3.如图观测塔AB的高为a米，从塔顶A测得地面上同一方向上的两个目标C，D的俯角分别是30和45，求CD的距离.4.船A在船B的正北，它们同时向东航行，时速分别是15和20海里，3小时后，船B在船A的东南，问这时两船相距多远？5.一只船向南航行，出发前在灯塔A的北偏东30，相距15海里，2小时后，灯塔在船的北偏西60，求船的航行速度.6.如图要测量建筑物AB的高，先在楼下C测得对
8、顶端A的仰角为45，然后在楼上D测得对A的仰角为30，已知楼高CD=m米，求AB.7.已知：ABC中，a=21,b=17,c=10. 求：SABC.8. 已知：ABC中，SinA SinBSinC=357.求：ABC的最大角的度数.9. 船B在艇A的方位角120 ，相距24海里处，发出呼救，报告说：它沿着方位角240的方向前进，速度是每小时9海里.A艇以最快的时速21海里赶去营救，问应沿什么方向，要经过几小时才能靠近船B？10. 已知：锐角三角形ABC的外接圆直径AE交BC于D. 求证：tanBtanC=ADDE 提示：作BC边的高AF(h)并延长交圆于G,连结GE11. 已知：ABC中，A=
9、45，AB=，BC=2，不用正弦定理能解答这个三角形吗？如不能，说明理由；如能请解这个三角形.12.如图已知：ABCD为圆内接四边形，过AB上一点M引MP，MQ，MR分别垂直于BC，CD，AD，连结PR和MQ交于N.求证：.13.如图已知：锐角ABC 中，AC=1，AB=c，ABC的外接圆半径R1.求证： CoscCosA+SinA . 练习60参考答案：160北偏西25大于；小于；大于1；小于1CosA,tanA. 2.由余弦定理得ADC=120度，再由正弦定理得AB=. 3. CD=(-1)a 4. 15 5. 5 6. 7. 用公式S=，其中S=或先求最大边的高为8，S=218=84 . 8. 由正弦定理得abc=357 ，CosC=-,C=120度9. 应沿方位角141度48分的方向， 1小时可到达10. 左边=11.可由余弦定理求AC=+1，C=120或60度或AC=-1，B=15或75度12.由正弦定理PN=， NR=，即可 13.由正弦定理1，SinB1 ，30B9000
