方差分析和正交试验设计

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1、2022方差分析和正交试验设计方差分析和正交试验设计第6章 方差分析和正交试验设计6.1 单因子方差分析在实际问题中，某个指标的取值，往往可能与多个因素有关。例如，农作物的产量，可能与作物的品种有关，可能与施肥量有关，可能与土壤有关，等等。又例如，化工产品的收得率，可能与原料配方有关，可能与催化剂的用量有关，可能与反应温度有关，还可能与反应容器中的压力有关，等等。由于因素许多，自然就会产生这样的问题：这些因素，对于指标的取值，是否都有显著的作用？假如不是全部的因素都有显著的作用，那么，哪些因素的作用显著？哪些因素的作用不显著？还有，这些因素的作用，是简洁地叠加在一起的呢，还是以更困难的形式交织

2、在一起的？以上这些问题，都须要我们从试验数据动身，来加以推断、分析，做出结论。方差分析（Analysis of Variance，简称ANOVA）就是一种能够解决这类问题的有效的统计方法。在方差分析中，将可能与某个指标的取值有关的因素，称为因子（Factor），通常用 A,B,? 来表示。因子所取的各种不同的状态，称为水平（Level），用 A1,A2,?，B1,B2,? 来表示。假如问题中只考虑一个因子，这样的方差分析称为单因子方差分析。假如问题中要考虑两个因子，这样的方差分析就称为双因子方差分析。当然，还可以有三因子、四因子、更多因子的方差分析。我们先来看单因子方差分析。问题 设某个指标的

3、取值可能与一个因子 A 有关，因子 A 有 r 个水平：A1,A2,?,Ar。在这 r 个水平下的指标值，可以看作是 r个相互独立、方差相等的正态总体?iN(?i,?2)，i?1,2,?,r 。在每一个水平 Ai 下，对指标作 t （t?1）次重复观测，设观测结果为Xi1,Xi2,?,Xit ，它们可以看作是总体 ?i 的样本。即有问：因子 A 对指标的作用是否显著？检验方法检验因子 A 的作用是否显著，相当于要检验这样一个假设H0：?1?2?r 。为了作检验，先给出一批定义。称n?rt 为总观测次数 ，1ti?Xij 为水平Ai的均值 ， tj?1SSi?(Xij?i)2 为水平Ai的平方和

4、 ，j?1t1rt1rXij?i 为总均值 ， ni?1j?1ri?1SST(Xij?)2 为总平方和 ，i?1j?1rtSSe(Xij?i)?SSi 为误差平方和 ， 2i?1j?1i?1rtrSSA?t?(i?)2 为因子A的平方和 。i?1r这些统计量之间的相互关系，可以用下列图表的形式表示出来：水平 观测值 Ai 的平方和 Ai 的均值1?r? 总均值 A1? ArX11?X1tSS1 ? ? SSr X1?Xrt?r 误差平方和SSeA的平方和SSA 总平方和SSTtSSi?(Xij?i)2 反映了在各水平 Ai 的内部指标取值的差异程度，这种差异j?1完全是由于误差引起的，而 SS

5、e 是全部这样的 SSi 的总和，所以称为误差平方和。SSA?t?(i?)2 反映了各水平之间指标取值的差异程度，假如因子A 的作用i?1r不显著，各水平之间差异很小，1,2,?,r近似相等，与X差异很小，SSA 的值也比 较小，假如因子A 的作用显著，各水平之间差异很大，1,2,?,r与X的差异也很大，所以称为因子A 的平方和。 SSA 的值就会偏大。SSA 的大小反映了因子 A 的作用大小，总平方和 SST 、误差平方和 SSe 、因子A 的平方和 SSA 之间，有下列平方和分解关系：SST?SSe?SSA 。这是因为SST(Xij?)2 i?1j?1rtrt(Xi?1j?1rtij?i?

6、i?)2 ?i)?2?(Xij?i)(i?)(i?)2 2i?1j?1i?1j?1trtrt (Xi?1j?1ij?SSe?2?(?Xi?1j?1rij?ti)(i?)?t?(i?)2 i?1r?SSe?0?SSA?SSe?SSA 。由 SSA 、SSe 可以算出统计量 MSA?SSA(r?1) 和 MSe?SSe(n?r) 。MSA 称为因子A 的均方，MSe 称为误差均方。由 MSA 、MSe 可以算出统计量FA?MSASSA(r?1) 。 ?MSeSSe(n?r)下面证明一个关于 FA 的分布的定理。定理 6.1 若 H0：?1?2?r 为真，则有FA?MSASSA(r?1)F(r?1,

7、n?r) 。 ?MSeSSe(n?r)2 证 设?1?2?r?，这时有 ?iN(?,?)，i?1,2,?,r 。因为 Xi1,Xi2,?,Xit 是 ?i的样本，所以 XijN(?,?)2Xij?N(0,1)，i?1,2,?,r，j?1,2,?,t，相互独立。 Q?rt?Xiji?1j?1?rt2?(Xi?1j?1rtij?)2?2?(X?i?1j?1ij2?)22?(Xij?)(?)?i?1j?1rt?(?)?i?1j?1rt2?SST?0?2?2?SSASSen(?)2?2?22?2?2?n?Q1?Q2?Q3 。?其中，Q1?rSSA?r2?t?(i?)2i?1r?2是r项的平方和，但这r

8、项又满意1个线性关系式：?(i?1i?)?i?r?0，所以，Q1的自由度 f1?r?1。i?1Q2?SSe?(X?i?1j?1rtij?i)2是 n?rt 项的平方和，但这 n 项又满意 r个线性t?2?2ij关系式：?(Xj?1t?i)?Xij?ti?0，i?1,2,?,r，所以，Q2的自由度j?1f2?n?r。?nQ3是1项的平方和，所以，Q3的自由度 f3?1。?因为 f1?f2?f3?(r?1)?(n?r)?1?n，所以由定理2.7（Cochran 定理）可知：2Q1?SSA?22?(r?1)，Q2?SSe?2?22?n?(n?r)，Q3?(1)，?22而且Q1?SSA?2，Q2?SS

9、e?2?n，Q3相互独立。?因此，由F分布的定义可知2SSA(r?1)FA?SSe(n?r)SSeSSAr?1)F(r?1,n?r) 。?2n?r)由定理6.1可知，若H0：?1?2?r 为真，则FAF(r?1,n?r) ； 若 H0：?1?2?r 不真，则SSA的值会偏大，FA的值也会偏大，统计量FA 的分布，相对于 F(r?1,n?r) 分布来说，峰值的位置会有一个向右的偏移。因此，可得到检验方法如下：从样本求出 FA 的值。对于给定的显著水平?，自由度(r?1,n?r)，查F分布的分位数表,可得分位数F1?(r?1,n?r)，使得 PFA?F1?(r?1,n?r)? ，当FA?F1?(r

10、?1,n?r) 时，拒绝H0：?1?2?r ，这时，可以认为因子 A 的作用显著，否则，接受 H0：?1?2?r，这时，可以认为因子 A 的作用不显著 。 单因子方差分析的计算步骤方差分析的计算比较困难，用带统计功能的计算器计算时，最好根据下列步骤进行，并把计算结果填写在下列形式的表格中：t1t（1）从Xi1,Xi2,?,Xiti求出 i?Xij 和 SSi?(Xij?i)2,i?1,2,?,r 。tj?1j?1t1t把Xi1,Xi2,?,Xiti看作样本，i?Xij 就是样本均值，SSi?(Xij?i)2tj?1j?11t2就是样本方差 S?(Xij?i) 再乘以样本观测次数 t （或修正样本方差tj?121t。所以，在计算器上计算时，只要像计算样本统S*?(Xij?i)2再乘以t?1）?t?1j?12本文来源：网络收集与整理，如有侵权，请联系作者删除，谢谢！第1页 共1页第 1 页 共 1 页第 1 页 共 1 页第 1 页 共 1 页第 1 页 共 1 页第 1 页 共 1 页第 1 页 共 1 页第 1 页 共 1 页第 1 页 共 1 页第 1 页 共 1 页第 1 页 共 1 页