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1、摘要本文通过建立主成分分析评价模型、偏相关分析模型、聚类分析模型、0-1线性规划模型、多元线性回归模型、灰色预测模型，利用、等软件求解，对金砖五国在全球发展中的优势进行了研究，得到了合理的结果。问题一中，对经济发展进行优势分析，选择澳大利亚、德国与金砖五国进行比较。引入经济适应度对经济优势进行刻画，通过经济适应度大小直接反映经济发展速率。首先根据经济发展的影响因素，选择人均GDP增长率、国家财政支出增长率等9个指标作为经济适应度的评价指标，建立综合评价模型。但指标较多，应先使用主成分分析法将9个指标重新组合成新的评价指标，建立主成分分析评价模型，求解得到中、印、南、巴、俄、德、澳的经济适应度为
2、0.78、0.27、0.26、0.22、-0.33、-0.59、-0.61。为了寻找经济优势的主要原因，首先初步筛选出相关性较大的5个指标，然后建立偏相关分析模型，求解出5个指标与经济适应度的偏相关系数，通过偏相关系数大小即可判定经济优势的主要原因为财政支出、经济活动人口、教育支出、医疗支出。问题二中，金砖五国的优势差异表现在各指标上的差异，因此可通过各指标的数据，建立聚类分析模型，对5个国家进行分类，而同一类别的国家差异较小，不同类别的指标差异较大，故可通过这一分类直观描述其差异性。其中，第一类为巴西、印度、中国；第二类为俄罗斯；第三类为南非。问题三中，成员之间的协作分工模式较为抽象，本文将
3、其形象转化为探讨最优方案的线性规划问题。首先假定一份额的经济增长需要多种原料，每个国家必须提供一种原料，而不同国家的原料成本不同，故以原料总成本为决策目标，建立0-1线性规划模型，求解出最优方案，即可形象描述成员之间的协作分工模式。问题四中，需要对各国的经济优势进行预测。首先以经济适应度为因变量，以4个重要指标为自变量，建立多元线性回归模型，通过最小二乘法，求出经济适应度与4个指标的关系式。然后根据4个指标的数据序列特点，建立灰色预测模型，对4个指标的未来变化进行预测，将指标的预测值代入关系式，即可得到经济适应度的预测值，发现金砖五国的经济优势在未来呈现扩大的趋势。关键词： 主成分分析 偏相关
4、分析 聚类分析 0-1线性规划 多元回归 灰色预测一问题重述金砖国家在全球发展中的优势研究2003年10月高盛公司发表了一份题为“与BRICs一起梦想的全球经济报告”，首次提出了“金砖四国”这一概念。“金砖四国”（BRIC）的名称来源于巴西、俄罗斯、印度和中国的英文首字母。由于该词与英文中的砖（Brick）类似，因此被称为“金砖四国”。该报告估计，到2050年，世界经济格局将会经历剧烈洗牌，全球新的六大经济体将变成中国、美国、印度、日本、巴西、俄罗斯。在2010年，南非加入金砖四国，“金砖四国”即将变成“金砖五国”，并更名为“金砖国家”(BRICS)。2011年4月14日，金砖国家领导人第三次
5、会晤在中国三亚举行，五国领导人商讨了如何协调应对重大国际问题，如何深化和扩大彼此间合作，如何加强金砖国家合作机制等问题。根据华尔街日报的报道，中国打算提升金砖集团作为新兴经济体平台的地位，从而获得对发达国家更有力的优势。由于这种优势可能体现在多个侧面，请你选择某个感兴趣的侧面，建立数学模型分析以下问题：1、 尽管目前金砖国家在很大程度上还是一个松散的团体，但它们拥有世界40%的人口、18%的全球贸易以及约45%的当年增长。因此，请分析在世界范围内，金砖国家在该此方面的优势，并指出产生这种优势的主要原因；2、 在感兴趣的侧面上，金砖五国是否存在着相同的优势，或者建立模型研究成员之间在该种优势上的
6、差异性；3、 为了提高金砖国家在此侧面的优势，请建立数学模型探讨成员之间更好的协作分工模式；4、 预测研究在若干年后，金砖国家在此侧面的优势会继续保持、缩小还是扩大？利用数学模型支持你的结论。二 基本假设1. 所照数据真实可靠。2. 所找的9个评价指标可全面反映经济发展程度。三.符号说明四.问题分析4.1问题一分析： 首先引入经济适应度对经济优势进行刻画，经济适应度可直接反应经济发展速率。查阅文献寻找影响经济发展的因素，将其作为经济适应度的评价指标，然后寻找各国各年份的数据。但由于评价指标较多，因此需要通过主成分分析进行降维，找出主成分和方差贡献率，求出各个国家的经济适应度大小，通过比较便可反
7、映金砖五国的经济优势。为了寻找经济优势的主要原因，本文进行相关性分析，但由于变量较多，要想研究两个变量之间的关系，需要控制其他变量不变，因此需要进行偏相关分析，求解出偏相关系数，找出主要原因。4.2问题二分析成员之间的经济优势差异表现在各个指标上的差异，因此，需要通过指标差异来确定其优势差异。通过聚类分析，将5个国家分为3类，不同类别之间的指标差异较大，同一类别之间的指标差异较小。4.3问题三分析 题中的探讨分工模式较为抽象，应先将其形象化，分工模式的探讨可视为方案的规划问题，寻求最优方案，故可将其置于线性规划环境下求解。将单位份额的经济增长作为要求，将各指标作为原料，而各国对各种原料的支付成
8、本不同，最终目标即为原料总成本最少，对这一线性规划模型进行求解，即可得到最优合作方案。4.4问题四分析 本问要求对各国的经济优势进行预测，即需要对经济适应度进行预测。由问题一的偏相关分析可知经济适应度与财政支出、经济活动人口、教育支出、医疗支出4个指标之间的偏相关性较大。因此可建立多元回归模型找到经济适应度与4个指标的关系。然后需要对4个指标进行预测，根据指标的数据特点选择合理的预测模型，将预测出来的数据代入多元回归模型，间接实现对经济适应度的预测。五模型建立与求解5.1.问题一本问要求分析在世界范围内，金砖国家在经济发展上的优势，并指出主要原因。我们认为应有以下步骤组成:步骤一：选取国家进行
9、比较，根据经济适应度的影响因素确定评价指标，收集数据；步骤二：使用主成分分析法对指标进行降维处理，建立经济适应度评价模型，求得各国家的经济适应度；步骤三;建立偏相关分析模型，分别求出经济适应度与评价指标的偏相关系数，以此来判定影响度较大的因素。5.1.1.模型准备5.1.1.1.确定评价指标及数据收集题中要求在世界范围内进行分析，本文选取澳大利亚、德国与金砖五国进行综合评价，即可反映出金砖国家的优势。由于金砖五国与某些发达国家现实差距较大，因此在评价经济发展方面，不可对各指标进行数值比较，这样不太客观，而应该比较各个指标的年均增长率才较为合理客观。根据经济发展的影响因素，可以确定以下9个评价指
10、标：第一产业（占GDP）比重的增长率、第二产业（占GDP）比重的增长率、第三产业（占GDP）比重的增长率、人均GDP增长率、国家财政支出增长率、经济活动人口增长率、外汇储备增长率、教育支出增长率、医疗支出增长率。查阅相关网站，找到各个国家在2006-2011年的指标数据，以下为巴西的相关原始数据;表1：巴西的原始数据表第一产业比重%第二产业比重%第三产业比重%人均GDP（美元）财政支出（亿雷亚尔）经济活动人口比重%外汇储备教育支出%医疗支出%20065.528.865.85813797869.08584.34.520075.627.866.67213838568.618034.64.72008
11、5.927.966.28631969168.619384.84.720095.626.867.583801136968.623855.25.120105.328.166.6109591115667.428865.14.920115.527.567.0125331179666.235205.25.85.1.1.2.数据标准化处理首先对指标的原始数据计算，求出各国家各指标的年均增长率。由于各指标之间的差异较大，为了方便建立模型，需要对数据进行标准化处理，计算公式如下：式中：第个指标标准化处理后的数据；第个指标的原始数据； 原始数据的最大值；原始数据的最小值；将9个指标数据标准化处理后的结果如下表：
12、表2：标准化处理后数据表第一产业比重第二产业比重第三产业人均GDP财政支出经济活动人口比重外汇储备教育支出医疗支出巴西0.4529 0.1472 0.2601 0.6900 0.4120 0.5650 0.6905 0.3024 1.0000 俄罗斯0.8390 0.6560 0.0004 0.3508 0.6429 0.0002 0.1862 0.0729 0.0000 印度0.5632 0.2339 0.6093 0.4578 0.8338 1.0002 0.1390 0.3166 0.8455 中国1.0001 0.0209 1.0003 1.0000 1.0000 0.2697 1.0
13、000 0.5376 0.3854 南非0.0001 1.0000 0.5517 0.0978 0.0000 0.6453 0.3443 1.0000 0.8141 澳大利亚0.2128 0.0114 0.1152 0.1852 0.1133 0.1947 0.1784 0.0000 0.1011 德国0.1829 0.0000 0.2877 0.0000 0.0160 0.2079 0.0000 0.0970 0.4041 5.1.2.模型的建立(一)主成分分析评价模型建立对于经济适应度综合评价，根据9个指标可初步确立以下模型;式中; 经济适应度；第个指标数据；第第个指标权重由于评价指标较多
14、，该模型不可直接引用，应首先通过主成分分析法对9个指标进行处理，设法将原来众多具有一定相关性的9 个指标，重新组合成一组新的互相无关的综合指标来代替原来的指标，再进行加权求和。具体过程如下;Step1.计算相关系数矩阵 利用SPSS对指标之间进行因子分析，求解相关系数矩阵（附录），通过对系数矩阵的观察，可以发现多个指标之间存在较大的相关性，因此在信息上会发生重叠，需要进行主成分提取。Step2.主成分的提取为了提取主成分，利用 SPSS 进行方差分解主成分提取分析，得到总方差分解表及主成分载荷矩阵如下：表3：总方差分解表表4：主成分载荷矩阵Step3主成分载荷矩阵旋转至此建立的主成分模型还只是初步模型，不能反映问题的实质特征，所代表的实际意义也不一定容易解释，因此需要进行主成分旋转，旋转后的载荷矩阵如下：表5：旋转后的主成分矩阵Step4.主成分得分对主成分载荷矩阵进行旋转后，根据回归法确定主成分得分函数的系数，进而得到主成分得分函数，然后以各主成分的方差贡献率占总方差贡献率的比重作为权重，即可确立最终的主成分评价模型。对于7个国家，各主成分的得分及权重如下表;表
