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1、动点问题所谓 动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点，它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目解决这类问题的关键是动中求静，灵活运用有关数学知识解决问题关键动中求静数学思想：分类思想数形结合思想 转化思想1、如图 1 ,梯形 ABCD 中，AD / BC,/B=90 ,AB=14cm,AD=18cm,BC=21cm, 点 P从 A开始沿AD边以1cm/秒的速度移动，点Q从C开始沿CB向点B以2 cm/秒的速度移动，如果P, Q分别从A, C同时出发，设移动时间为t秒。当t=时，四边形是平行四边形；6.8,N为对角线AC上任2、如图2,正方形ABCD的边长为4，点M意一点，贝U DN+
2、MN 的最小值为 53、如图，在 Rt ABC 中，ACB =9,在边DC上，且DM=1-B = 60 , BC = 2 .点 O 是 AC 的中点，过点O的直线I从与AC重合的位置开始,绕点O作逆时针旋转，交AB边于点D .过点C作BCE / AB交直线当直线 MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：厶ADC CEB;DE=AD + BE;于点E ,设直线l的旋转角为.(1) 当二度时，四边形EDBC是等腰梯形，此时AD的长为当二度时，四边形EDBC是直角梯形，此时AD的长为(2) 当=90时，判断四边形EDBC是否为菱形，并说明理由解：(1) 30, 1 : 60, 1.5;(2) 当/a90
3、时，四边形EDBC是菱形.(备用图)/ = ZACB=90, ABC/ED. CE/AB,二四边形 EDBC是平行四边形在 Rt ABC 中，/ACB=90 ,/B=60,BC=2,/.zA=30 01 ACAB=4,AC=2.A0= 1 当直线 MN绕点C旋转到图2的位置时，求证：DE=AD-BE ；当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量 关系，并加以证明.解：(1) zACD= / ACB=90ZCAD+ ZACD=9 0ZBCE+ / ACD=90zCAD= /BCE AC=BCADC CEB ADCCEB.-CE=AD , CD=BE
4、 /-DE=CE+CD=AD+BE= -(2) zADC= /CEB= / ACB=90 /-zACD= ZCBE 又AC=BCACD CBE .-CE=AD , CD=BE/-DE=CE-CD=AD-BE .在 Rt AOD 中，/A=30 ,.AD=2.BD=2.BD=BC.又四边形EDBC是平行四边形四边形EDBC是菱形且AD丄MN于D , BE丄MN于E.4、B(3) 当 MN 旋转至U图 3 的位置时,DE=BE-AD(或 AD=BE-DE , BE=AD+DE 等)VzADC= /CEB= / ACB=90 /./ACD= JCBE, 又AC=BC ,ACDCBE,.-AD=CE
5、, CD=BE ,DE=CD-CE=BE-AD.5、数学课上，张老师出示了问题：如图1 ,四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中 点.AEF =90；，且EF交正方形外角.DCG的平行线CF于点F，求证：AE=EF.经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB的中点 M ,连接ME,贝U AM = EC,易证 AME ECF ,所以 AE 二 EF .在此基础上，同学们作了进一步的研究：(1) 小颖提出：如图2,如果把点E是边BC的中点”改为点E是边BC上(除B, C外)的任意一 点”，其它条件不变，那么结论 AE=EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗 ？如果正确，写出证明过 程；如果不
6、正确，请说明理由；(2) 小华提出：如图3，点E是BC的延长线上(除C点外)的任意一点，其他条件不变，结论AE= EF仍然成立你认为小华的观点正确吗?如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由解：(1)正确.证明：在AB上取一点M，使AM =EC ,连接ME 二 BM=BE.二N BME=45。，二 N AME =135。：CF 是外角平分线，二N DCF =45。，二N ECF =135图1TAEB+NBAE =90。，厶AEB+NCEF =90。，BAECEF A AMEBCF (ASA)AE 二 EF.图2(2)正确证明：在BA的延长线上取一点 N 使AN二CE ,连接NE BN 二
7、 BE . N =. PCE =45v四边形ABCD是正方形，.AD II BE .DAEBEA.NAE CEF.C E GBC E G图3. ANE ECF （ASA）.AE 二 EF .6、如图，射线MB上,MB=9,A是射线MB外一点,AB=5且A到射线MB的距离为3,动点P从M沿射线 MB方向以1个单位/秒的速度移动，设P的运动时间为t.求（1）A PAB为等腰三角形的t值；（2）A PAB为直角三角形的t值；（3）若AB=5且 4BM=45 。，其他条件不变，直接写出 PAB为直角三角形的t值7、如图1 ,在等腰梯形ABCD中，AD / BC , E是AB的中点，过点E作EF II
8、BC交CD于点F . AB =4, BC =6 , / B =60 .求：（1）求点 E 到 BC 的距离；（2）点P为线段EF上的一个动点，过P作PM _ EF交BC于点M ,过M作MN / AB交折线 ADC于点N ,连结PN，设EP =x. 当点N在线段AD上时（如图2）, PMN的形状是否发生改变？若不变，求出 PMN的周长； 若改变，请说明理由； 当点N在线段DC上时（如图3）,是否存在点P,使厶PMN为等腰三角形？若存在，请求出所 有满足要求的x的值；若不存在，请说明理由AmMM 图3图1图2CBEAB = 2.2C解（1）如图1,过点E作EG _ BC于点G.-/E为AB的中点，
9、在 RtAEBG 中，/ B=60: :厶 BEG =30；.B2 B1, EG_2 一1 一 即点E到BC的距离为、3.(2)当点N在线段AD上运动时， PMN的形状不发生改变./PM - EF, EG - EF,/-PM / EG.EF / BC, /.EPGM , PM=EG= .3.同理 MN = AB =4.如图2,过点P作PH _ MN于H，: MN / AB,/ NMC 二/ B =60 ,/ PMH =30 .=1 PM2 MH 二 PM_cos30、3 .则 NH 二 MN -MH =4一3 =5.2 2在 RtAPNH 中，PN = . NH2 PH2CPMN 的周长=PM
10、 PN MN = 3.7 4.当点N在线段DC上运动时， PMN的形状发生改变，但厶MNC恒为等边三角形.当PM =PN时，如图3,作PR_MN于R,则MR二NR.3类似，MR . MN=2MR=3./ MNC 是等边三角形， MC 二MN=3.2此时，x =EP =GM =BC-BG-MC =6-1-3=2.图3GM图4MG图5此时，x = EP =GM =6-1一 .3 =5- 込.当 MP = MN 时，如图 4,这时 MC =MN 二 MP =、3.当 NP =NM 时，如图 5, / NPM 二/ PMN =30 . 则/ PMN =120，又/ MNC = 60 ,/ PNM Z
11、MNC =180 . 因此点P与F重合， PMC为直角三角形.MC 二 PMjan30 =1. 此时，x = EP =GM =6-1-1 =4.综上所述,当X =2或4或5 - 、3时， PMN为等腰三角形.8、如图，已知 ABC中，AB=AC=10厘米，BC =8厘米，点D为AB的中点.(1) 如果点P在线段BC上以3cm/s的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动 若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后， BPD与 CQP是否全等，请说明理由； 若点Q的运动速度与点 P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使BPD与 CQP全等？(2)若点Q以中的
12、运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿 ABC三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在 ABC的哪条边上相遇？解：（1） t 胡秒，.BP 二CQ=3 1=3厘米，.AB =10厘米，点D为AB的中点，/.BD =5厘米.又PC = BC -BP，BC =8厘米，.PC=83=5厘米，.PC = BD又.AB=AC，B=NC， . BPD CQP .Vp =VqBP = CQ BPD CQPB=/CBP =PC =4, CQ =BD =5点p，点Q运动的时间BP33秒CQ515Vq -A=t443厘米/秒。(2)设经过x秒后点P与点Q第一次相遇，由题意，15x =
13、 3x 2 10 得4，解得80x 二3秒.点P共运动了80 3 =80厘米.80 =2 28 24,点P、点Q在AB边上相遇，80经过3秒点P与点Q第一次在边AB上相遇.9、如图所示,在菱形ABCD中，AB=4 ,/BAD=120 ,ZAEF为正三角形，点E、F分别在菱形的边BC. CD上滑动，且E、F不与B. C. D重合.(1)证明不论E、F在BC. CD上如何滑动，总有BE=CF;(2) 当点E、F在BC. CD上滑动时，分别探讨四边形 AECF和厶CEF的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化,求出最大(或最小)值.答案】解：(1)证明：如图，连接AC四边形ABCD为菱形，/BAD=120 ZBAE+ ZEAC=60 , EAO ZEAC=60zBAE= ZFACo zBAD=120 ,.ABF=60 。ABC和 ACD为等边三角形。ECF=60 ,AC=ABo.EABE= ZAFC。在 ABE 和厶 ACF 中，：ZBAE= /FAC, AB=AC,EABE= ZAFC, ABEgACF (ASA)o.BE=CFo(2)四边形AECF
