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1、第七章 板的弯曲工程结构中常应用较多的平板构件，如楼房的地板、桥面、箱型结构的板件等.在线弹性分析范畴内,薄板弯曲问题应满足以下几个条件.1. 几何条件几何条件要求结构属于薄板。工程中将厚度尺寸小于其他两个方面尺寸的结构称为板，平分板厚度的面称为板的中面,平板的中面为平面。设t表示板的厚度，表示板中面的最小边长（圆板为直径）。在通常的计算精度要求下,当时则认为板为薄板。否则便认为是厚板，厚板的变形和应力较复杂,应按空间问题进行处理。2. 载荷条件载荷条件要求结构仅承受垂直于中面的横向载荷作用.一般情况下,薄板即可承受横向载荷作用，也可承受平行于板中面的膜载荷作用。在两种载荷作用下,板内将产生薄
2、膜应力和弯曲应力.前者是作用在中面内拉、压力和面内切力(剪力),它使板产生面内变形。后者是指弯矩、扭矩和横向剪力,它使板发生弯扭变形。在小挠度情况下可认为两种变形互不影响,因此膜载荷的作用可按平面问题进行处理,而横向载荷的作用则按薄板弯曲问题来分析，两种问题的叠加便是一般载荷综合作用的结果。3. 小挠度条件在横向载荷作用下，薄板中面上各个点沿垂直中面方向的横向变形成为挠度，记为。大挠度与小挠度之间没有显著的界限，一般认为时为小挠度板，时为大挠度板，时为特大挠度板.在大挠度的情况下,薄板面内变形和弯曲变形之间要相互影响，及横向载荷也可能产生膜内力和面内变形,而膜载荷也可能产生弯曲内力和弯曲变形。
3、这时描述薄板变形的数学方程是非线性的，应采用更为复杂的理论分析方法.第一节 薄板弯曲弹性力学基础在受到垂直于板面的载荷后，薄板将会产生弯曲。对于薄板弯曲问题，研究时一般以未变形的板的中面为平面，厚度方向为轴方向。一、克希霍夫（Krchhoff）假设分析薄板弯曲问题时,采用克希霍夫（Kirchoff）假设：（）法线假设在变形前，垂直于中面的法线，在变形后仍垂直于薄板弯曲了的中面,且法线线段没有伸缩，板的厚度没有变化。这样,垂直于中面的应变可以忽略不计，即根据几何方程,可得因此挠度只是坐标和的函数，表示为 （7-)也就是说薄板中面每一条法线上的所有各点都有相同的位移。(）正应力假设在平行于中面的截
4、面上,应力分量、和远小于其他三个应力分量、和,可以忽略不计.（3）小挠度假设板中面只发生弯曲变形而没有面内变形，即板中面内各点没有平行于中面的位移，表示为在这些假设前提下，薄板的位移、应变和应力都可以用挠度表示。由于仅为和的函数。因此,实际薄板的复杂三维问题就可以简化为二维问题来进行分析和计算。位移与挠度的关系:方向的位移：方向的位移：因在垂直于板面的载荷作用下,薄板中面每一条法线上的所有各点都没有绕轴的转动，所以则对于中面上的某点，例如点，由于此时，所以其唯一只剩下、和三个位移分量。二、应变分量与曲率由法线假设:，所以应变分量只剩下、和，分别为 （7-)上式为薄板弯曲问题的几何方程。令 （7
5、-3）式中称为薄板弯曲的广义应变.和是板中面在和方向的变形曲率,是在面上的扭率。则 （74)三、应力分量与广义应力由法线假设和正应力假设,得。由弹性力学物理方程,得 （7-5）式中称为薄板弯曲问题的弹性矩阵。取微元体，则在微元体上作用着弯矩、和扭矩，它们是正应力、和剪应力在板截面上的合力矩。如果、和表示单位宽度上的内力矩，则薄板弯曲的广义应力为（6）式中是平板厚度。内力矩的方向如图。则用内力矩表示的平板应力为 （7-7)在平板的上下表面处应力最大,为 由以上分析可知，板中面的挠度可以作为基本未知量。如果已知挠度,则板中位移、应变和应力都可按照上述公式计算。第二节 矩形板单元一、 矩形薄板单元对
6、于薄板弯曲，只研究其中面的变形；因此对于举行单元，可以只研究一个矩形平面，但是此单元上的一点实际上代表着一个长度为板厚的法线段。设有矩形薄板单元1234，其边长分别为、,矩形的两边分别与、平行。取矩形单元的四个角点作为节点。 引入一个局部坐标系,局部坐标的原点取在矩形单元的形心，和轴分别平行于整体坐标系和轴,其坐标变换的关系为式中 ， ,其中是节点的整体坐标，。在局部坐标系中,节点的坐标是,它们的值分别是。矩形薄板单元每个节点位移有三个位移分量:沿z轴方向挠度和绕x， y轴的转角、（i1，3,).其中角位移是按右手坐标系规定其正向。则节点的位移可用列阵表示为 （i=1,3,4） (-8）矩形板
7、单元自由度是12，单元节点位移向量可表示为 （79)二、位移模式选取十二个参数的多项式作为位移模式： （10）式中、为待定常数。由位移模式可见，在单元内挠度是坐标的四次函数，在单元的边界上挠度是坐标的三次函数.例如，在、边上,坐标是个常数,所以挠度是坐标的三次函数;而在、和边上，挠度是坐标的三次函数。将()式对、分别求导，得转角为 （11） 将四个节点的位移和坐标代入上式，从中解出、 ，得 （7)或写成 (7-13） 112 1其中形函数矩阵: 单元节点向量: 形函数： (i=，2,3，4） (7-4） 式中 。注：位移模式的连续性的研究（1）由位移模式（71)可以看出，整个薄板的位移完全由中
8、面在z方向的挠度所决定,而在中面各点没有x和y方向的位移.因此,薄板所可能产生的刚体位移就只有沿z方向的平动以及绕x和y轴的转动,没有绕z轴的转动。位移模式中前三项代表了中面平板的刚体位移，其中代表了薄板在z方向的刚体位移；和分别代表了薄板绕x和y轴的刚体转动.将式(710）中的求二阶偏导数,得, ,即这3个二次项经二阶微分后给出常曲率,反映了中面变形的3种常应变。故矩形单元是完备的.(2)在矩形单元的每一条边界上，挠度是坐标或的三次函数,它正好可以由此边两端的四个唯一参数所完全确定,因而挠度和挠度沿边界切向方向的一阶偏导数是连续的。例如，在边上，坐标是个常数，挠度是坐标的三次函数,所以、和这
9、四个节点位移完全可以确定挠度。由于以节点1、2为共同边界的2个相邻单元在节点1、具有相同的上述4个节点位移，2个单元的挠度函数在边上将是完全相同的一条三次曲线，从而保证了2个单元之间的挠度和挠度沿边界切向方向的一阶偏导数是连续的。由式（711）可知，在边上,挠度沿边界法向方向的一阶偏导数为显然在边上，一阶偏导数也是的三次式,需要四个常数才能确定它.但现在只有两个参数和,不能唯一地确定边上三次变化的。因此，单元之间的法向导数的连续性不能满足,即单元之间的法向导数不连续。因此,矩形薄板单元是非协调单元。（3）实际计算结果表明，当单元逐步取小时,计算结果还是能够收敛于正确解的。三、矩形薄板单元的刚度
10、矩阵将(7-4)式代入几何方程（-3)式，可以将单元应变用节点位移列阵表示 （-15） 式中(716)记号、等分别表示、。式中 (i=,2,3，)单元刚度矩阵为 （17）其中任一子块为式中 单元刚度矩阵的具体表达式可见相关文献。四、单元等效节点载荷与内力矩单元等效节点载荷单元受有分布横向载荷的作用，则单元等效节点力为 （i=，2,3，4）（718）若分布横向载荷为常数，则, ， （i=，2,，)2。 内力矩由方程（77），知 （7-7)若要计算单元应力，必须算出内力矩。根据几何方程（-）,由(15),得所以内力矩为 （719）五、边界条件 对于典型的边界条件边简支： ， ,边固定： , , 边
11、自由： ， ,其中W是沿z方向的横向剪力.例题设有边长,板厚的正方形板,弹性模量为E，泊松比,两对边固定，另外两对边简支。求(1）均匀分布载荷作用下的节点位移;(2）在点集中载荷P作用下的节点位移。解：利用结构对称性,取板的作为研究对象,离散化为一个单元,其中。位移边界条件：边是对称轴,有边简支， 有 ， 边固定, 有 ， ，边是对称轴,有 节点位移向量为故只保留第1、6行和列，则中的为中的为中的为（1）在均布载荷作用下节点等效载荷为同样节点等效载荷也只保留第1,6列。则得从而可得，第三节 考虑横向剪切影响的平板弯曲单元前面一节的薄板弯曲矩形单元是建立在克希霍夫（ichhff）薄板理论的基础上
12、,在计算挠度时忽略了剪切变形的影响。按照克希霍夫薄板理论，在相邻单元之间，挠度和它的导数都应该是连续的。但是实际上，只有挠度和挠度沿边界切向方向的一阶偏导数是连续的，而挠度的法向导数不连续。为了解决这个问题,人们曾经应用以下几种方法来解决该问题.1. 采用杂交单元2增加单元节点自由度，即在节点参数中还包含挠度的二次导数项。用这种方法所构造的协调单元的缺点是:在实际应用时涉及高阶导数的自由度的边界条件，难以处理；另外，它不是一种普遍适用的方法。3。 将三角形或四边形单元划分为一些子三角形，然后通过增加边中节点或添加某些限制，使子三角之间协调而构造的三角形单元或四边形单元。这种方法所构造的协调单元
13、，有些收敛速度快,有些则较差，而且计算公式都比较复杂。某些好的单元还要有消去内自由度的静凝聚过程，计算时间相对地增加。4. 采用考虑剪切变形影响的明德林(Minin）薄板理论，挠度和转动分别插值。即放弃薄板理论中的直法线假定，而计及横向剪切变形的影响，从而克服这一困难。用这种方法建立的板单元计算比较简单,精度较好，并能利用坐标变换以适应不规则的几何形状，因而实用价值较大。一、 明德林（Midlin）薄板理论（1）板的挠度是微小的；（）变形前板中面上的法线在变形后仍为直线,但不再垂直于变形后的中面;（3)垂直于中面的正应力可以忽略。根据上述假设,板内任一点的位移可按下式计算 ， ， （720）式中和分别表示板中面法线变形后绕和轴的转角，但在数值上不再等于斜率和。由上可见,平板的变形完全有中面挠度和法线绕绕和轴的两个转角、所决定.将式(70)代入几何方程，可以得到板内应变为（721)式中，。由此可见，板内横向剪切应变和沿厚度为常数。板的应力按下式计算 （7-22）式中弹性矩阵为 (723）其子矩阵为式中是考虑实际的剪应变沿厚度方向非均
