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1、2.4品格振动与声子绝热近似下，固体的运动近似地简化为两个相对较小的子系统：电子和核(或原子实)的运动问题。前面对电子体系的运动状态作了讨论，现在对第二个问题，即核(或原子实)子系统的运动作一简要回顾。如2.1中所述，对给定的电子系状态n,原子实系统经受的有效势场Vn(R)=vjR)+En(R),原子实问的库伦相互作用Vll(R)+依赖于核构型的电子能En(R)描述原子实系统运动的哈密顿方程为：A21-一一2X(R)+En(R)+VLL(R)X(R)=ESX(R)21Mli-n-S(2.4-1)2.4.1简谐近似和正则振动模上述方程涉及大量粒子的运动，数学上很难求解。需要一个好的近似作为讨论的
2、出发点。设晶体包含N个原胞，每个原胞有u个原子_第n个原胞中，第a个原子的平衡位置为k=Rn+R,Rn和R分别为原胞(代表点)位置和原子值在原胞中相对代表点的位置。原子相对平衡位置的瞬时位移的直角分量为Snaj(t)(i=1,2,3)。将有效势场Vn(R)在平衡核构型Ro=Rn/处作泰勒展开：1 2VzVnR=VnR。1、二一二.2 nin;Sn：Sn：i(2.4-2)取常数项为零，一次项在平衡构型下包等于零，展开式中第一个不为零的项就是二次项。考虑原子实围绕平衡位置作小振动的情形，高次项可忽略，这就是所谓的简谐近似。可以证明，由这样的简谐势场联系在一起的NU个粒子构成的体系的运动，可通过适当
3、的坐标变换，变为3NU个独立的正则坐标的一维简谐运动每个正则坐标的简谐运动描述的是体系所有粒子的集体运动，正则运动模式各粒子的运动彼此间有确定的关系对周期排布白原子体系(晶体)，固体物理中给出，这种正则运动模式为如下形式的格波：,(2.4-3)刹(q,t)=1M：e，?(q)expLqR-(q其中e(?(q)满足正交归一关系:工f(q)ei(q)=(2.4-4)，i这相当于正则运动模式的标准化条件：(2.4-5)-M：2snj)(q,t)*M12snjJ)(q,t)=jjni它描述的是晶格原子振动的一种基本模式，是以波矢为q和频率为3j(q)的波的形式传播的格波。格波的频率与波矢有一定的关系B
4、j(q)(后面常简记为3jq-),称为色散关系。每个格波可由j,q标记。这种由j,q确定的格波分为3支(由j标记)，每支都有N个不同波矢q的格波，共有3N种格波。这3N种格波就是晶体中原子振动的正则运动模式。一般的晶格振动可以表示为这些正则运动模式(或格波)的线性叠加这些正则模还可以分为不同类型。按照长波极限的振动特征，3支格波分成3支声学波(acousti。和3-3支光学波(optical)。前者是晶格振动中整个原胞的所有核或原子实同位相一起振动，后者是原胞内原子实的相对振动。按照振动方向是与波矢方向平行还是垂直,格波又分为横波(transverse)和纵波(longitudinal)。上述
5、不同类型的正则模(格波),常用TA,TO,LA,LO来标记，其中的字母是相关英文单词的第一个字母。局域振动模当杂质原子替代了基质原子，上述理想晶体的振动模式受到了扰动而有所变化。不过可以想到，杂质浓度很低时，对大多数振动模式的扰动是很小的。不过这时会出现个别的局域模，在这样的模式中，离杂质原子的距离越大，那里的原子振动越弱。这种模式的振动频率也不在原先的连续谱带内。由于这种模式的局域特性，它往往与杂质的局域电子态有较强的相互作用。2.4.2晶格振动的量子化原子振动(3N。个位移sh0(i(t)的一般情形，可以用(2.4-3)式那样的基本格波的线性叠加表示：l(t)=.1Qj(q)etQj.(q
6、)eij(q)te(q)exp(iqR)NMq,j(Qj士(q)为复振幅)考虑归一化和实数化1)=JNMLQj(q，t)Mi(q)exp(iqQ)(2.4-6)因为位移坐标ShGi(t)是实数,它要求eZ)(-q)=*)(q)和Qj(Qj(qt八2Qj(qi(qt)Qjqeq(t)(2.4-6)这样的表示式相当于一个坐标变换，把收个原子的三维振动(由3Nu个位移坐标描述)转换成3Nu个正则坐标Qj(q)的一维简谐运动Qj(q,t)。每个正则坐标描述的是Nu个原子的一种集体运动模式。利用上述那些关系，经过一系列计算，可得用正则坐标表示的体系哈密顿量：d1H=丁0(q,t)Qj(q,t沁(q,t)
7、Qj(q,t)2 jq一Aaaaa.二十P；(q,t)Pj(q,t)：Q；(q，t)Qj(q,t)2jq(2.4-7)其中，K(q,t)三Qq,t)为与Qj共腕的正则动量。可见哈密顿量是3趾个独立项之和。上面已表明描述晶格振动的哈密顿量1 2_*_-iHF，PjPj+2QjQj2jq包含3N个独立的组分，每个组分都具有典型的线谐振子哈密顿量的形式。这与电磁辐射场的情形类似，可以用同样的方法量子化。将正则坐标和正则动量转换为算符，它们满足对易关系Qj(q)用(q)十H(2.4-8)引进湮灭和产生算符夕三(2隈-Q?+iP*)夕？三(2隈厂d*-i(2.4-9)于是，哈密顿算符变为?1(2.4-1
8、0)H1力冏珞+彳jq2i【注：得到这一表达式时，利用了：巨03)(Q*qELQjqPjq一户工网(QjqPjqQj,*r)=0,因为两项求和都取jqjq到所有的q,正好抵消】。其每一项对应一个由(j,q)确定的模式：一个频率为6j(q),波矢为q的格波。式中a?(q)aj(q)为粒子数算符，它的本征值为6(q),”口一一二、二1,二、也即能量本征值为：nj(q)oj(q)。类似于辐射场的情形,I2)能量量子网j(q)称为声子，(q)称为该模式中的声子数，该模式的状态可用其中的声子数表示，写成nj(q)。一个正则模中可以有任意数量的声子，也即声子是波色粒子。系统的总能量为所有模的能量之和:E八
9、j(q)nj(q)jq-与谐振子情形类似，产生与湮灭算符作用在声子态上有如下结果:a?(q)(q)=,1+(q)|(q)+1)和(2.4-11)j(q)(q)=7?()|19)-1)由式（2.4-9）可得：12(2.4-12)Q?j（q,t）=-（船+。）jqJ12E（q，t）=ll冏一厂翁I2jq）于是，原子（实）位移（2.4-6）就可以用产生和湮灭算符表示。,、1Sn：i=vNM二jq(2.4-13)h2jqJ12第q.?j,-qe(j)(q)exp(iqR)2.4.3 声子的热平衡在所用的简谐近似下，各正则振动模相互独立。没有相互作用也就没有模式间的热平衡。实际上，由于势能展开式中还存在
10、高次项（称为非谐项），它意味着不同振动模式间存在相互作用，称之为声子-声子相互作用，它可以导致不同振动模式间的能量交换，即振动状态（声子状态）的改变，使不同模式间达至U热平衡。这种达到热平衡的过程比光跃迁的速率快得多，在光跃迁的问题中，通常都可以认为光跃迁是在振动态热平衡条件下进行的。在热平衡条件下，一个频率为值q的振动模处于本征态In）,或模中有n个声子的几率R正比于玻尔兹曼(Boltzmann)因子：exp(-己仍/kBT),kB是玻尔兹曼常数。因为总几率工Pn=1,Pn可表示成：nexp(nkBT)R二、exp(-nkBT)n=0kBTn-kBTn=(1-eB)eB=(1-r)r上式最后
11、一个等号右边引进了简化符号r=exp/kBTOOnexp(-nkBT)n=0频率为&q的振动模中的热平均声子数可以表示为:n厂exp(nkBT)n=0r(2.4-15)expkBT12.4.4 电子-声子相互作用在绝热近似下，由大量重粒子原子实和轻粒子电子组成的固体的运动状态问题，简化为两个相对较小的准独立的系统的问题：大量电子在固定原子实中的运动和给定电子态下大量原子实的运动。固体系统的定态具有乘积波函数的形式：WnlRC=Xni（R如2.1中所述，在这一近似中，省略了哈密Z顿方程中的I一1XmI2X）项。考虑这一项的存在，电子和品格原子实的运动不再独立，是偶合在一起的。换言之，电子和声子间
12、存在相互作用，因而，所得到的电子态和声子态不再是严格的定态，它们的状态将随时间变化，或说是发生状态间的跃迁，从ni（R,r）=X/R）,n（R,r）跃迁到能量相同的另一个状态Vn，i，（R,r）=Xnr（R卅n,（R，r这里，电子态的变化是伴随声子态的变化，没有光子的参与，常称之为非（无）辐射跃迁。即使在绝热近似下，电子系与原子实的运动也相互关联或说也存在电子-声子相互作用。如2.1节中所述，原子实运动的有效势场包含了因而原子实的运已用下标指明其“电子态”的能量，它包含了电子系与原子实相互作用的贡献,动依赖于电子态。我们在标记原子实的本征波函数和本征能时,相应的电子态。这种关联导致了光跃迁过程中可以有声子参与。在后面相应章节,我们将会针对具体情况，采用具体模型进行讨论。小结：通过上面的回顾，我们看到，通过若干基本的近似，可以把本课程要讨论的问题归结为三个子系统：辐射场，固体的电子体系和声子体系：三者之间的相互作用所引发的他们状态的变化过程各种辐射和非辐射过程。本书关注的主要是，与光跃迁直接有关的辐射场与固体的电子系的相互作用以及协同参与各种过程的电子-声子本目互作用。辐射场与声子系相互作用会引发红外波段的跃迁，因为涉及的量子能量小得多，不在本书讨论的范围。此外，电子-电子和声子-声子相互作用在体系达到热平衡的过程中起重要作用，但也不是本课程的中心议题。
