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1、 大象群落的稳定发展摘要本文根据非洲某国的国家公园近两年内从公园运出的大象的大致年龄和性别的统计情况，探讨大象的合理的存活率并推测当前的年龄结构，针对不同情况给出如何进行避孕注射以达到控制大象数量的目的。首先，充分利用给出的近两年来运出的大象的数量与性别统计表，分析近两年来的大象群落的情况，建立一个线性方程组的数学模型，通过求解方程组得到年龄在2岁到60岁之间的大象的总数，并且求出了存活率为：98.9718%；因为假设公园内2岁到60岁之间的大象占总大象的比例等于运出的2岁到60岁之间的大象占总移出大象的比例，所以通过一些比例之间的关系得到这个大象群落的当前的年龄结构（见表1）。然后，建立一个
2、按年龄分组的种群增长的差分方程模型，运用第一问求出的各年龄段大象的存活率以及繁殖率，求解当前大象群落对应的Leslie矩阵的特征根，发现该特征根大于1，根据Leslie矩阵的稳定性理论知道：如果不进行避孕注射该大象种群将无限增长（如果环境允许）；据此，利用Leslie矩阵稳定的充要条件求出应该保持多大的繁殖率才能使种群保持稳定，求解的主要思路是：特征根取为1、把繁殖率当成未知数，将此时的各年龄段的存活率代入方程VI，求解这个以繁殖率为未知数的方程可以得到要使种群保持稳定繁殖率的取值；根据需要避孕掉母象所生的幼象的数目等于注射避孕药使得母象没有繁殖幼象的数目这一条件建立一个方程，最后求得每年注射
3、避孕药的母象头数为：1393（头）。最后，假设被转移的大象只考虑处于160岁之间，这样可以认为转移后的大象看成每年多死了这么多头大象，即意味着死亡率将增加，存活率将减少；仍然按照解决第二问的模型，只需将此时不同的各年龄段大象的存活率代入那个以繁殖率为未知数的方程（方程VI），求出应该保持多大的繁殖率才能使种群保持稳定。考虑到求解的数据比较多，采取计算机模拟的方法来确定移出大象后所需要进行避孕的母象头数（见表2），为了检验计算机模拟的正确性，用理论去验证。模拟的思路方法见计算机模拟流程图图2。关键词：关键字：线性方程组、差分方程模型、Leslie矩阵、计算机模拟问题重述位于非洲某国的国家公园中栖
4、息着近11000头大象。管理者要求有一个健康稳定的环境以便维持这个11000头大象的稳定群落。管理者逐年统计了大象的数量，发现在过去的20年中，整个大象群经过一些偷猎枪杀以及转移到外地还能保持在11000头的数量，而其中每年大约有近600头到800头是被转移的。由于近年来，偷猎被禁止，而且每年要转移这些大象也比较困难，现决定采取避孕注射法以维持大象数量的平衡。我们已知此公园近两年内从这个地区运出的大象的大致年龄和性别的统计。根据这些信息我们需要解决以下问题：1. 探讨年龄在2岁到60岁之间的象的合理的存活率的模型，推测这个大象群落的当前的年龄结构。2. 估计每年有多少母象要注射避孕药，可以使象
5、群固定在11000头左右。这里不免有些不确定性，是否能估计这种不确定性的影响。3. 假如每年转移50至300头象到别处，那么上面的避孕措施将可以有怎样的改变？问题假设1、假设大象的性别比近似认为1：1，并且采用措施维持这个性别比；2、假设母象可以怀孕的年龄为11岁60岁、最高年龄为70岁，70岁的死亡率为100%，并且6170岁的大象的头数呈线性递减；3、假设大象在各年龄段中的分布率不变，即年龄结构不变，并采用各种措施维持这一结构；4、假设被转移的大象只考虑处于160岁之间，转移后的大象看成每年多死了这么多头大象；5、假设0岁大象能够活到1岁的比例为75%；符号说明 ： 表示一年中大象的头数（
6、i=0表示0岁大象的头数，i=1表示1-60岁大象头数，i=2表示6170岁大象的头数）；： 表示存活率（表示0岁大象的存活率，表示160岁大象的存活率，表示61岁70岁大象的存活率）；： 表示时段k第i年龄组的大象数量； ： 第i年龄组每个（母象）个体在1个时段内平均繁殖的数量； ： 第i年龄组的存活率； ： Leslie矩阵； ： 矩阵的那个唯一正特征根； ： 表示移出大象的头数； 问题分析对于问题一，利用给出的近两年来运出的大象的数量与性别统计表，可以分析近两年来的大象群落的情况，比如移出的各个年龄段的大象占移出的总的大象的头数的比例是多少，还可以根据两年移出大象后大象总数都是11000
7、来建立方程，用于求解存活率。对于问题二，因为考虑的是公园在未来很长一段时间的大象种群控制问题，所以可以建立一个按年龄分组的种群增长的差分方程模型，根据差分方程的 Leslie矩阵的特征根，结合 Leslie矩阵的稳定性理论对当前大象种群的情况进行分析。为了保持大象种群的稳定，必须使得Leslie矩阵的最大特征根为1，而这样，特征根取为1、把繁殖率当成未知数，将此时的各年龄段的存活率代入方程特征方程，求解这个以繁殖率为未知数的方程可以得到要使种群保持稳定繁殖率的取值；根据需要避孕掉母象所生的幼象的数目等于注射避孕药使得母象没有繁殖幼象的数目这一条件建立方程来求解应该对多少头母象进行避孕。对于问题
8、三，由于假设被转移的大象只考虑处于160岁之间，故可以认为转移后的大象看成每年多死了这么多头大象，即意味着死亡率将增加，存活率将减少。按照解决第二问的模型，只需将此时不同的各年龄段大象的存活率代替原来的存活率，就可以求出此时应该保持多大的繁殖率才能使种群保持稳定。为了方便，可用采用计算机模拟的方法来确定移出的大象在哪个年龄段，考虑到计算机模拟的不确定性，可以对模拟结果进行检验。 探讨大象的存活率和当前大象的年龄结构下面将根据给出的近两年来运出的大象的数量与性别统计表，分析近两年来的大象群落的情况，建立一个线性方程组数学模型，通过求解方程组得到年龄在2岁到60岁之间的大象的存活率，并给出大象各年
9、龄所占的比例，进而得到这个大象群落的当前的年龄结构。 1、线性方程组模型的建立（1）首先，计算一年中大象的头数。 大象群是由0岁，160岁，61岁70岁组成 ,且稳定在11000头。设0岁的头数为X0，160岁大象头数为X1，61岁70岁大象头数为X2。所以得到第一个方程：X0+X1+X2=11000 （I）（2）其次，考虑到前一年大象的总数等于前两年存活下来的大象加上新生的幼儿再减去运出的大象数。设0岁大象的存活率为，160岁大象的存活率为，61岁70岁大象的存活率为。则经过一年后，新生的大象存活下来的头数为X0；1到60岁的大象存活下来的头数为X1；61岁70岁的大象能存活下来的头数为X2
10、，因此得到第二个方程：（X0+ X1+ X2）+ X0-622=11000 （II）联立（I）、（II）得到方程组： （*）2、模型的求解根据近两年来运出的大象的数量与性别统计表，得到如下分析结果：（1）计算0岁的大象头数由表中统计，1岁10岁的大象占1岁60岁的大象比例为：（67/622+169/876）/2=15.032% 所以得到：11岁60岁能生小象的母象占1岁60岁的大象比例为：（1-15.032%）0.5 =42.48%因为能生小象的母象每3.5年生一头小象，且双胞胎的机会为1.35%，相当于每年生0.2896头 ，所以0岁的大象占1岁60岁的大象比例为： 0.42480.2896
11、=0.12303这样0岁的大象共有： =0.12303 （III） （2）计算61岁70岁的大象头数从表中计算运出的59岁的大象占运出的总大象比率为：（14/622+22/876）/2=0.0238由于运出的大象都是1岁60岁的，所以0.0238也可看为59岁的大象占160岁的大象的头数比例，得到60岁的大象占的比例为0.0238，由假设可以知道：61岁70岁的大象头数为：=1/2100.0238X1 （ IV） 61岁70岁的大象经过一年能存活下来的头数为： （V）（3）、将（III）、（V）和（IV）两个式子代入上面方程组（*）得：又由假设知道，0岁大象的存活率为=75%代入上述方程组，然
12、后用Mathematica解之得：再依次将、代入（III）、（V）和（IV）求得： 所以， 0岁大象的总头数为1091（头）；160岁的大象的存活率为98.9719%，总头数为8865（头）；61岁70岁的大象头数为1091（头）。把070岁的大象分为八个年龄段，由假设知道，各个年龄段占总数可以用各个年龄段移出的头数除以移出的总头数来衡量。下面以110年龄段的大象头数计算为例：前一年总共移出622头，其中110岁移出为67头；前两年总共移出876头，其中110岁移出169头。故110年龄段的大象头数可以这样计算：=1333（头）其他的年龄段用同样的方法计算，得到如下表（附饼形图）： 表1（大象
13、年龄结构）年龄01-1011-2021-3031-4041-5051-6061-70头数10911333177710691255188815441044比例（%）101216101117149 图1（大象年龄结构饼图）3、结果分析（1）由结果可以知道，260岁大象的存活率为98.9718%，这与题目给出的大于95%是相一致的，所以可以认为结果是合理的；（2）从图1可以看出，各个年龄段的大象所占的比例基本上是一样的，2130岁和4150岁的大象比例相对比较大，因为这段大象正处于年龄的黄金时期。由此，可以认为求出的大象年龄也是合理的。估计每年注射避孕药的母象头数为了估计每年注射避孕药的母象头数，首
14、先建立一个按年龄分组的种群增长的差分方程模型；然后用Leslie矩阵稳定的充要条件分析如果不进行避孕注射种群的增长情况；最后仍然利用Leslie矩阵稳定的充要条件求出应该保持多大的繁殖率才能使种群保持稳定，进而利用一个方程求出每年注射避孕药的母象头数。1、按年龄分组的种群增长的差分方程模型的建立记时段k第i年龄组的大象数量为，k=0，1，2，i=1，2，n,第i年龄组的繁殖率为，即第i年龄组每个（母象）个体在1个时段内平均繁殖的数量，第i年龄的存活率为，我们这里假设和不随时段k变化，在稳定的环境下这个假设是合理的。和可由统计资料获得。的变化规律由以下的基本事实得到：时段k+1第1年龄组种群数量是时段k各年龄组繁殖数量之和，即 时段k+1第i+1年龄组的种群数量是时段k第i年龄组存活下来的数量，即 记时段k种群按年龄组的分布向量为由繁殖率和存活率构成的矩阵为根据Leslie矩阵的性质可以得到如下的定理：定理1：矩阵有唯一的正特征根，且它是单重根的，对应正特征向量 矩阵的其他n-1个特征根都是满足 该定理表明矩阵的特征方程 只有一个正根，并且易知，2、如果不进行避孕注射种群的增长情况（1）建立Leslie矩阵首先，
