数学归纳法的历史

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1、1数学归纳法的历史数学归纳法是数学中一种重要的证明方法,用于证明与自然数有关的命题。一旦涉及无穷,总会花费人们大量的时间与精力,去研究它的真正意义。数学归纳法这个涉及“无穷”而无法直观感觉的概念,自然也需要一个漫长的认识过程。一般认为,归纳推理可以追溯到公元前6世纪的毕达哥拉斯时代。毕达哥拉斯对点子数的讨论是相当精彩的。他由有限个特殊情况而作出一般结论,具有明显的推理过程,但这些推理只是简单的列举,没有涉及归纳结果,因此是不完全的归纳推理。完整的归纳推理,即数学归纳法的早期例证是公元前3世纪欧几里得几何原本中对素数无限的证明。其中已经蕴含着归纳步骤和传递步骤的推理。16世纪中叶，意大利数学家莫

2、罗利科(FMaurolycus)对与自然数有关命题的证明进行了深入的研究。莫罗利科认识到，对于一个与自然数有关的命题，为了检验其正确与否，若采取逐一代入数进行检验的方法，那不是严格意义上的数学证明，要把所有的自然数都检验一遍是不可能做得到的，因为自然数有无穷多个。那么对于这类问题该如何解决呢?1575年，莫罗利科在他的算术一书中，明确地提出了“递归推理”这个思想方法。法国数学家B帕斯卡(Pascal)对莫罗利科提出的递归推理思想进行了提炼和发扬。在他的论算术三角形中首次使用数学归纳法，并用其证明了“帕斯卡三角形”(二项展开式系数表，中国称为“贾宪三角性”或“杨辉三角形”)等命题。“数学归纳法”这一名称最早见于英国数学家A.德摩根1838年所著的小百科全书的引言中。德摩根指出“这和通常的归纳程序有极其相似之处”，故赋予它“逐次归纳法”的名称。由于这种方法主要应用于数学命题的证明，德摩根又提出了“数学归纳法”这个名称。虽然数学归纳法早就被提出并广泛应用了，一直以来它的逻辑基础都是不明确的。1889年意大利数学家皮亚诺(GPeano建立了自然数的序数理论，将“后继”作为一种不加定义的基本关系，列举了自然数不加证明的五条基本性质，其中归纳公理便为数学归纳法的逻辑基础。至此，数学归纳法有了严格的逻辑基础，并逐渐演变为一种常用的数学方法。