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1、返回返回上页上页下页下页目录目录高等数学多媒体课件牛顿（牛顿（Newton）莱布尼兹（莱布尼兹（Leibniz）8/26/20241返回返回上页上页下页下页目录目录第三章第三章 微分中值定理与导数的应用微分中值定理与导数的应用 第三节第三节 洛必达法则洛必达法则 第二节第二节 泰勒泰勒 ( Taylor )公式公式 第四节第四节 函数的单调性与曲线的凹凸性函数的单调性与曲线的凹凸性第五节第五节 函数的极值与最大值、最小值函数的极值与最大值、最小值第一节第一节 微分中值定理微分中值定理第六节第六节 函数图形的描绘函数图形的描绘第七节第七节 曲率曲率8/26/20242返回返回上页上页下页下页目录
2、目录第一节第一节 微分中值定理微分中值定理 第三章第三章 二、微分中值定理二、微分中值定理一、函数的极值一、函数的极值三、小结与思考题三、小结与思考题（The Mean Value Theorem）罗尔中值定理罗尔中值定理拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理柯西中值定理8/26/20243返回返回上页上页下页下页目录目录一、函数的极值一、函数的极值（Extremums of Function）8/26/20244返回返回上页上页下页下页目录目录 注意：注意：函数的极大值、极小值与最大值、最小值的区别函数的极大值、极小值与最大值、最小值的区别函数的极值是对一点的邻域来说的，是函数的极值是
3、对一点的邻域来说的，是局部性概念局部性概念；而；而最值（最大值、最小值的简称）是最值（最大值、最小值的简称）是整体性概念整体性概念 8/26/20245返回返回上页上页下页下页目录目录费马引理费马引理（Fermat Lemma）且且 存在存在证证: 设设则则证毕证毕8/26/20246返回返回上页上页下页下页目录目录二、微分中值定理二、微分中值定理1. 罗尔（罗尔（Rolle）定理）定理满足满足:(1) 在区间在区间 a , b 上连续上连续(2) 在区间在区间 (a , b) 内可导内可导(3) f ( a ) = f ( b )使使证证:故在故在 a , b 上取得最大上取得最大值值 M
4、和最小值和最小值 m .在在( a , b ) 内至少存在一内至少存在一点点8/26/20247返回返回上页上页下页下页目录目录若若 M = m , 则则因此因此若若 M m , 则则 M 和和 m 中至少有一个与端点值不等中至少有一个与端点值不等,不妨设不妨设 则至少存在一点则至少存在一点使使则由费马引理得则由费马引理得 注意注意:定理条件条件不全具备定理条件条件不全具备, 结论不一定成立结论不一定成立. 例如例如,8/26/20248返回返回上页上页下页下页目录目录提示：提示：8/26/20249返回返回上页上页下页下页目录目录有且仅有一个小于有且仅有一个小于1 的的正实根正实根 .证证:
5、 1) 存在性存在性 .则则在在 0 , 1 连续连续 , 且且由介值定理知存在由介值定理知存在使使即方程有小于即方程有小于 1 的正根的正根2) 唯一性唯一性 .假设另有假设另有为端点的区间满足罗尔定理条件为端点的区间满足罗尔定理条件 ,至少存在一点至少存在一点但但矛盾矛盾, 故假设不真故假设不真!设设例例2 证明方程证明方程（补充题）（补充题）8/26/202410返回返回上页上页下页下页目录目录2. 拉格朗日（拉格朗日（Lagrange）中值定理）中值定理(1) 在区间在区间 a , b 上连上连续续满足满足:(2) 在区间在区间 ( a , b ) 内可内可导导至少存在一点至少存在一点
6、使使思路思路: 利用利用逆向思维逆向思维找出一个满足罗尔定理条件的函数找出一个满足罗尔定理条件的函数作辅助函数作辅助函数显然显然 ,在在 a , b 上连续上连续 ,在在 ( a , b ) 内可导内可导, 且且证证: 问题转化为证问题转化为证由罗尔定理知至少存在一点由罗尔定理知至少存在一点即定理结论成立即定理结论成立 . 证毕证毕8/26/202411返回返回上页上页下页下页目录目录推论推论: 若函数若函数在区间在区间 I 上满足上满足则则在在 I 上必为常数上必为常数.证证: 在在 I 上任取两点上任取两点日中值公式日中值公式 , 得得由由 的任意性知的任意性知, 在在 I 上为常数上为常
7、数 .令令则则拉格朗日中值定理的拉格朗日中值定理的有限增量形式有限增量形式:8/26/202412返回返回上页上页下页下页目录目录证证: 设设由推论可知由推论可知 (常数常数) 令令 x = 0 , 得得又又故所证等式在定义域故所证等式在定义域 上成立上成立.自证自证:经验经验: 欲证欲证时时只需证在只需证在 I 上上例例3 证明等式证明等式8/26/202413返回返回上页上页下页下页目录目录证证: 设设中值定理条件中值定理条件,即即因为因为故故因此应有因此应有例例4 证明不等式证明不等式8/26/202414返回返回上页上页下页下页目录目录3、柯西、柯西(Cauchy)中值定理中值定理分析
8、分析:及(1) 在闭区间 a , b 上连续(2) 在开区间 ( a , b ) 内可导(3)在开区间 ( a , b ) 内至少存在一点使满足 :要证8/26/202415返回返回上页上页下页下页目录目录且且使使即即由罗尔定理知由罗尔定理知, 至少存在一点至少存在一点思考思考: 柯西定理的下述证法对吗柯西定理的下述证法对吗 ?两个两个 不不一定相同一定相同错错! !上面两式相比即得结论上面两式相比即得结论. 证证: 作辅助函数作辅助函数8/26/202416返回返回上页上页下页下页目录目录解题思路：解题思路：8/26/202417返回返回上页上页下页下页目录目录内容小结内容小结1. 微分中值
9、定理的条件、结论及关系微分中值定理的条件、结论及关系罗尔定理罗尔定理拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理柯西中值定理2. 微分中值定理的应用微分中值定理的应用(1) 证明恒等式证明恒等式(2) 证明不等式证明不等式(3) 证明有关中值问题的结论证明有关中值问题的结论关键关键: 利用逆向思维利用逆向思维设辅助函数设辅助函数费马引理费马引理8/26/202418返回返回上页上页下页下页目录目录课后练习课后练习习题习题3-1 3；5；7；8；12；14思考与练习思考与练习1. 填空题填空题1) 函数函数在区间在区间 1, 2 上满足拉格朗日定理上满足拉格朗日定理条件条件, 则中值则中值2)
10、设设有有个根个根 , 它们分别在区间它们分别在区间上上.方程方程8/26/202419返回返回上页上页下页下页目录目录且在且在内可导内可导, 证明至少证明至少存存在一点在一点使使提示提示: 由结论可知由结论可知, 只需证只需证即即验证验证在在上满足罗尔定理条件上满足罗尔定理条件.设设2. 设设8/26/202420返回返回上页上页下页下页目录目录可导可导, 试证在其两个零点间一定有试证在其两个零点间一定有的零点的零点. 提示提示: 设设欲证欲证:使使只要证只要证亦即亦即作辅助函数作辅助函数验证验证在在上满足上满足罗尔定理条件罗尔定理条件.3. 若若8/26/202421返回返回上页上页下页下页
11、目录目录使使证证: 法法1 用柯西中值定理用柯西中值定理 .则则 f (x) , F(x) 在在 1 , e 上满足柯西中值定理条上满足柯西中值定理条件件, 令令因此因此 即即分析分析:4. 试证至少存在一点试证至少存在一点8/26/202422返回返回上页上页下页下页目录目录使使法法2 令令则则 f (x) 在在 1 , e 上满足罗尔中值定理条上满足罗尔中值定理条件件,使使因此存在因此存在4. 试证至少存在一点试证至少存在一点8/26/202423返回返回上页上页下页下页目录目录使使法法3 令令则则 f (x) 在在 1 , e 上满足零点定理条件上满足零点定理条件,由于由于4. 试证至少存在一点试证至少存在一点故由零点定理即证！故由零点定理即证！8/26/202424返回返回上页上页下页下页目录目录考研真题考研真题提示：提示：8/26/202425
