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1、特殊角的锐角三角函数值特殊角的三角函数值三角函数角度sincostan3045160方法归纳：（1）解有关等边三角形、等腰直角三角形及与30、45、60角相联系的其他三角形问题时，常常要用特殊角的三角函数值。（2）必须熟练掌握特殊角的三角函数值，既能由角求三角函数值，又能由三角函数值求角。（3）正弦、正切值随锐角度数的增大（或减小）而增大（或减小），余弦值随锐角度数的增大（或减小）而减小（或增大）。总结：1. 特殊角三角函数在计算及应用题里广泛使用，应理解概念并熟练应用。2. 能够解决含特殊角的三角函数问题，并能根据三角函数值求角的度数。例题1 如图所示，已知直线yx，求这条直线与x轴的夹角（
2、锐角）。解析：直线与x轴、y轴相交围成一个直角三角形，然后根据直线与x轴、y轴交点坐标即可求解。答案：设yx与x轴、y轴交点为A、B两点，则A（1，0）、B（0，），OA1，OBtanBAO，BAO60。答：直线与x轴夹角（锐角）为60。点拨：本题关键利用RtAOB来求出OA、OB，进而求出BAO的正切值，最后求出度数，是已知两边求度数的一种常用方法。例题2 已知：如图，RtABC中，BAC90，D是AC上一点，ABDC，直线EF过点D，与BA的延长线相交于F，且EFBC，垂足为E。探索：设t，若ADFEDB，试求t的值。解析：t的值就是ABC两边的比值，所以我们可以考虑通过相似三角形和其它特
3、殊图形求出AC与AB的数量关系，再求其比值。或者能求出ABC或C的度数也可以，因为BAC90，在直角三角形中利用三角函数求t值。答案：BAC90，EFBC，ADFCDE，FC。ABDC，FABD。ADFEDB，FEBD，在RtABC中，CABDEBD，又CABDEBD90，CABDEBD30，ABC60。tanABC，即t。点拨：本题中t值是C的正切值，所以需要求出C的度数要求一个角的度数，特别是在没有已知度数的角的情况下，应考虑利用三角形内角和或特殊的三角形、四边形来求。利用三角形内角和时，这三个内角必须具有倍分关系，才能转化成一元一次方程求出角的度数，本题中是证明的三个角相等且和为90。锐
4、角三角函数是角的度数与线段的长度之间相互转化的重要工具，是解决三角形边角关系的常用数学方法。在中考试题中对特殊角三角函数的考查有的直接考查，以填空题和选择题的形式出现，一般比较容易；有的融入到其他知识或题型中间接考查，如三角形、四边形、圆等，常以解答题、操作说明题、阅读题等形式出现，综合性较强，难度较。满分训练 阅读下面的材料，先完成阅读填空，再按要求答题：sin30，cos30，则sin230cos230_；sin45，cos45，则sin245cos245_；sin60，cos60，则sin260cos260_；观察上述等式，猜想：对任意锐角A，都有sin2Acos2A_。（1）如图，在锐
5、角三角形ABC中，利用三角函数的定义及勾股定理对A证明你的猜想；（2）已知：A为锐角（cosA0）且sinA，求cosA。解析：（1）证明：过点B作BDAC于D，在RtADB中，sinA，cosA，由勾股定理得，BD2AD2AB2，（）2（）21，sin2Acos2A1；（2）A为锐角（cosA0），sinA，sin2Acos2A1，cosA。点拨：本题属于阅读理解题，读懂题意，弄清题目所给的定义和规律是解答这类问题的关键。比本题中可总结出同角的三角函数关系，sin2Acos2A1，类似的还有tanA等。（答题时间：30分钟）一、选择题1. 式子2cos30tan45的值是（ ）A. 2B.
6、0C. 2D. 22. 如图所示，矩形ABCD中，AB1，BC，AC与BD相交于O，则tanAOB等于（ ）A. B. C. 1D. *3. 如图所示是类似“羊头”的图案，它左右对称，由正方形、等腰直角三角形构成，如果标有数字“13”的正方形的边长是，那么标有数学“2”的等腰直角三角形斜边的长是（ ）A. 2B. 2C. 2D. *4. 如图，在半径为1的O中，AOB45，则sinC的值为（ ）A. B. C. D. 二、填空题5. 在RtABC中，C90，AB2BC，现给出下列结论：sinA；cosB；tanA；tanB，其中正确的结论是_（只需填上正确结论的序号）。*6. ABC中，a、b
7、、c分别是A、B、C的对边。已知a，b，c，则bsinBcsinC的值是_。*7. 如图，RtABC中，A90，ADBC于点D，若BD：CD3：2，则tanB_。*8. 如图所示，已知l1l2l3，相邻两条平行直线间的距离相等，若等腰直角三角形ABC的三个顶点分别在这三条平行直线上，则sin的值是_。三、解答题9. 已知a是锐角，且sin（15），计算4cos（3.14）0tan）1的值。*10. 对于钝角，定义它的三角函数值如下：sinsin（180），coscos（180）。（1）求sin120，cos120，sin150的值；（2）若一个三角形的三个内角的比是1：1：4，A、B是这个三角
8、形的两个顶点，sinA、cosB是方程4x2mx10的两个不相等的实数根，求m的值及A和B的大小。*11. 如图，风车的支杆OE垂直于桌面，风车中心O到桌面的距离OE为25cm，小小风车在风吹动下绕着中心O不停地转动，转动过程中，叶片端点A、B、C、D在同一圆O上，已知O的半径为10cm。（1）风车在转动过程中，当AOE45时，求点A到桌面的距离（结果保留根号）。（2）在风车转动一周的过程中，求点A相对于桌面的高度不超过20cm所经过的路径长（结果保留）。*12. 现场学习：我们知道，若锐角的三角函数值为sinm，则可通过计算器得到角的大小，这时我们用arc sin m来表示，记作：arc s
9、in m；若cos m，则记arc cos m；若tan m，则记arc tan m。解决问题：如图，已知正方形ABCD，点E是边AB上一动点，点F在AB边或其延长线上，点G在边AD上。连接ED、FG，交点为H。（1）如图1，若AEBFGD，请直接写出EHF_；（2）如图2，若EFCD，GDAE，设EHF。请判断当点E在AB上运动时，EHF的大小是否发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，请求出。1. B 解析：原式21（1）110故选B。2. A 解析：因为ABCD是矩形，所以AOBO，则OABOBA。AB1，BC，tanCAB，CAB60，OBAOAB60。AOB180606060
10、，tanAOBtan60。故选A。3. B 解析：可利用勾股定理或三角函数从标有“13”的正方形开始倒序计算至标有“2”的等腰直角三角形的斜边长。4. B 解析：过点A作ADOB于点D，在RtAOD中，AOB45，ODADOAcos451，BDOBOD1，AB，AC是O的直径，ABC90，AC2，sinC，故选B。5. 解析：在RtABC中，C90，AB2BC，sinA，故错误；A30，B60，cosBcos60，故正确；A30，tanAtan30，故正确；B60，tanBtan60，故正确。6. 解析：不难验证，a2b2c2，所以ABC是直角三角形，其中a是斜边，bsinBcsinCbca。
11、7. 解析：在RtABC中，ADBC于点D，ADBCDA，BBAD90，BADDAC90，BDAC，ABDACD，BD：CD3：2，设BD3x，CD2x，ADx，则tanB。8. 解析：分别过点A、B作AEl1，BFl1，易得AECCFB（AAS），设平行线间距离为d1，CEBF1，AECF2，ACBC，AB，则sin。9. 解析：sin（15），1560，45。当45时，原式24cos451tan453221133。10. 解：（1）由题意得，sin120sin（180120）sin60，cos120cos（180120）cos60，sin150sin（180150）sin30；（2）三角形
12、的三个内角的比是1：1：4，三个内角分别为30、30、120，当A30，B120时，方程的两根为和，将代入方程得：4（）2m10，解得：m0，经检验是方程4x210的根，m0符合题意；当A120，B30时，两根均为，不符合题意；当A30，B30时，两根为和，将代入方程得：4（）2m10，解得：m0，经检验不是方程4x210的根。综上所述：m0，A30，B120。11. 解：（1）当AOE45时，过点A作AFOE于F，则OFOAcosAOE105cm；（2）过点A作AGOE于G，交O于另一点H。OE25cm，当OG5cm时点A到桌面的距离正好是20cm。在RtOAG中，OG5cm，OA10cm，
13、即sinOAG，OAG30，AOG60，AOH120。在扇形OAH中，劣弧的长度（cm）。即风车转动一周，点A相对于桌面的高度不超过20cm所经过的路径长为cm。12. 解：（1）45 提示：连接FC、GC，则ADEBCFDCG，从而DEFC，CGF是等腰直角三角形，所以EHFGFC45。（2）不会变化。证明：如图2，过点F作FED交CD于，连接G。正方形ABCD中，ABCD，四边形EFMD为平行四边形。EFDM，DEFM。EDCFMC，EHFHFM。EFCD，GDAE，。，AGDM90，DGMAED。，。GDHMDH90，GDHDMG，MDHCMF，DMGCMF90，GMF90。在RtGFM中，tan。arc tan。
