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1、2013年中考数学专项讲解 待定系数法知识梳理 对于某些数学问题，若得知所求结果具有某种确定的形式，则可研究和引入一些尚待确定的系数(或参数)来表示这样的结果通过变形与比较建立起含有待定字母系数(或参数)的方程(组)，并求出相应字母系数(或参数)的值，进而使问题获解这种方法称之为待定系数法 使用待定系数法解题的一般步骤是：(1)确定所求问题含待定系数的解析式；(2)根据恒等条件，列出一组含待定系数的方程； (3)解方程或消去待定系数，从而使问题得到解决 初中数学中，待定系数法主要用途如下：典型例题一、在求函数解析式中的运用 这是待定系数法的一个主要用途，学生也是在这种运用过程中开始较深入的接触
2、待定系数法初中阶段主要有正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数这几类函数，前面三种分别可设y=kx，y=kx+b的形式(其中k、b为待定系数，且k0)而二次函数可以根据题目所给条件的不同，设成y=x2+bx+c(、b、c为待定系数)，y=(xh) 2+k(、k、h为待定系数)，y=(xx1)(xx2)( 、x1、x2为待定系数)三类形式根据题意(可以是语句形式，也可以是图象形式)，确定出h、k、c、b、x1、x2等待定系数【例1】 (05上海)点A(2，4)在正比例函数的图象上，求这个正比例函数的解析式【解】设这个正比例函数的解析式为y=kx(k0)，把A(2，4)代入得4=2k，k=2，
3、y=2x【例2】 已知y与x+1成反比例，且x=2时，y=4，求函数的解析式【分析】 y与x+1成反比例，把x+1看作一个整体，即可设为： (k0)，然后把x=2，y=4代入，求出k的值即得函数的解析式【解】 y与x+1成反比例，可设(k0) 将x=2，y=4代入(k0)，得，解得k=12 所求的函数的解析式为【解题反思】 本题中y与x+1成反比例关系，但y与x不是反比例关系，所以当自变量为x时，不是反比例函数【例3】二次函数的图象经过A(1，0)、B(3，0)、C(2，1)三点(1)求这个函数的解析式(2)求函数与直线y=x+1的交点坐标【解】 (1)设这个函数的解析式为y=x2+bx+c依
4、题意得：解这个方程组得 这个函数的解析式是：y=x24x+3 (2) 解这个方程组得：， 函数与直线的交点坐标是：(1，0)、(2，1)【解题反思】 运用待定系数法，由已知建立方程(组)，可求其系数的值，在把、b、c的值代入解析式时要注意符号二、在确定方程或解方程时，某些时候使用待定系数法也可使问题得到简化 例如：已知一元二次方程的两根为x1、x2，求二次项系数为1的一元二次方程时，可设该方程为x2+mx+n=0，则有(xx1)(xx2)=0，即x2(x1+x2)x+x1x2=0，对应相同项的系数得m=(x1+x2)，n=x1x2，所以所求方程为：x2(x1+x2)x+x1x2=0【例4】 已
5、知三次方程x36x2+11x6=0，有一根是另一根的2倍，解该方程【解】设方程的三根分别为、2、b，则有x36x2+11x6=(x)(x2)(xb)，左右分别展开，并把相同项的系数作比较，可得：3b=6，22+3b=11，22b=6解得=1，b=3，所以该方程的根分别为：x1=1，x2=2，x3=3三、待定系数法在分式展开化为部分分式中的应用 分式化为部分分式时，如果用待定系数法也会产生很好的效果【例5】 把分式化为部分分式【解】设，然后将右边进行通分，化成一个分式，由于左右两边分母相同，则只要分子相同，即：11x+7=(AB)xB由各项系数相同得：11x=AB，7=B，解得A=3，B=7所以
6、四、待定系数法在因式分解中的应用【例6】 分解因式：2x2xyy2+13x+8y7【解】 因为2x2xyy2=(2x+y)(xy)，所以可设2x2xyy213x+8y7=(2x+y+8)(xy+b)，展开比较相同项系数，可得：=1，b=7，所以2x2xyy2+13x+8y7=(2x+y1)(xy+7)五、待定系数法在多项式除法中的应用【例7】 当、b为何值时，2x3x2+bx+1能被2x1整除?【解】 设2x2x2+bx+l=(2x1)(x2+mx1)，右边展开由x的相同项的系数相同可得、b，m的方程组，解得：=3，b=3m=1综合训练1已知：一次函数的图象经过(4，15)、(6，5)两点，求
7、此一次函数的解析式2(08镇江)二次函数的图象经过点A(0，3)，B(2，3)，C(1，0) (1)求此二次函数的关系式； (2)求此二次函数图象的顶点坐标；(3)填空：把二次函数的图象沿坐标轴方向最少平移_个单位，使得该图象的顶点在原点3如图所示，已知抛物线的对称轴是直线x=3，它与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点A、C的坐标分别是(8，0)、(0，4)，求这个抛物线的解析式 4(07枣庄)在平面直角坐标系中，AOB的位置如图所示，已知AOB=90，AO=BO，点A的坐标为(3，1) (1)求点B的坐标 (2)求过A，O，B三点的抛物线的解析式；(3)设点B关于抛物线的对称轴的对称点为
8、B1，求AB1B的面积参考答案 1y=2x+7 2(1)设y=x2+bx3，把点(2，3)，(1，0)代入得，解方程组得 y=x22x3(也可设y=(x1) 2+k) (2)y=x22x3=(x1) 24，函数的顶点坐标为(1，4) (3)5 3解：观察图象可知，A、C两点的坐标分别是(8，0)、(0，4)，对称轴是直线x=3因为对称轴是直线x=3，所以B点坐标为(2，0)设所求二次函数为y=(xx1)(xx2)，由已知，这个图象经过点(8，0)、(2，0)，可以得到y=(x8)(x+2)又由于其图象过(0，4)点，将点代入，得所求二次函数的关系式是 4解：(1)作ACx轴，BDx轴，垂足分别为C，D，则ACO=ODB=90 AOC+OAC=90又AOB=90，AOC+BOD=90OAC=BOD又AO=BO，ACOODBOD=AC=1，DB=OC=3点B的坐标为(1，3) (2)抛物线过原点，可设所求抛物线的解析式为y=x2+bx将A(3，1)，B(1，3)代入，解得，故所求抛物线的解析式为 (3)抛物线的对称轴的方程是点B关于抛物线的对称轴的对称点为在AB1B中，底边B1B=46，高为2
