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1、高考数学经典试题汇编1. 下表给出一个“等差数阵”：47（ ）（ ）（ ）712（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ） 其中每行、每列都是等差数列，表示位于第i行第j列的数（1）写出的值； （2）写出的计算公式；（）证明：正整数N在该等差数列阵中的充要条件是2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积讲解学会按步思维，从图表中一步一步的翻译推理出所要计算的值（1） 按第一行依次可读出：，；按第一行依次可读出：，；最后，按第列就可读出： （）因为该等差数阵的第一行是首项为4，公差为3的等差数列，所以它的通项公式是： 而第二行是首项为7，公差为5的等差数列，于是
2、它的通项公式为： 通过递推易知，第i行是首项为，公差为的等差数列，故有 （）先证必要性：若N在该等差数阵中，则存在正整数i，j使得从而，这说明正整数2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积再证充分性：若2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积，由于2N+1是奇数，则它必为两个不是1的奇数之积，即存在正整数k，l，使得，从而，由此可见N在该等差数阵中综上所述，正整数N在该等差数阵中的充要条件是2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积.2. 求 。3. “渐升数”是指每个数字比其左边的数字大的自然数（如2578），在二位的“渐升数”中任取一数比37大的概率是 。4. 函数及其反函数的图象与函数的图
3、象交于A、B两点，若，则实数的值等于_。 5. 从装有个球（其中个白球，个黑球）的口袋中取出个球，共有种取法。在这种取法中，可以分成两类：一类是取出的个球全部为白球，共有种取法；另一类是取出的个球有个白球和个黑球，共有种取法。显然，即有等式：成立。试根据上述思想化简下列式子： 。6. 某企业购置了一批设备投入生产，据分析每台设备生产的总利润（单位：万元）与年数满足如图的二次函数关系。要使生产的年平均利润最大，则每台设备应使用 （ C ）（A）3年 （B）4年 （C）5年 （D）6年7. （14分）已知函数，且（1）求的值；（2）试判断是否存在正数，使函数在区间上的值域为。若存在，求出这个的值；
4、若不存在，说明理由。解：（1），即，（2）， ；当，即时，；当时，这样的不存在。当，即时，这样的不存在。综上得， 。8. （14分）如图，设圆的圆心为C，此圆和抛物线有四个交点，若在轴上方的两个交点为A、B，坐标原点为O，的面积为S。（1） 求P的取值范围；（2） 求S关于P的函数的表达式及S的取值范围；（3） 求当S取最大值时，向量的夹角。解：（1）把 代入 得 由 ， 得 ，即 （2）设，的方程： ， 即 即 ， 即 点O到AB的距离，又 ， 即 （3）取最大值时，解方程，得 ， 向量的夹角的大小为。9. （16分）前段时期美国为了推翻萨达姆政权，进行了第二次海湾战争。据美军估计，这场以推
5、翻萨达姆政权为目的的战争的花费约为亿美元。同时美国战后每月还要投入约亿美元进行战后重建。但是由于伊拉克拥有丰富的石油资源，这使得美国战后可以在伊获利。战后第一个月美国大概便可赚取约亿美元，只是为此美国每月还需另向伊交纳约亿美元的工厂设备维护费。此后随着生产的恢复及高速建设，美国每月的石油总收入以的速度递增，直至第四个月方才稳定下来，但维护费还在缴纳。问多少个月后，美国才能收回在伊的“投资”？解：设个月后，美国才能收回在伊的“投资”，则 即，即个月后，美国才能收回在伊的“投资”。10. 数列的第2004项是_。6311. 在等比数列中，公比，若，则达到最大时，的值为_。812. 设函数，且；有两
6、个单调递增区间，则同时满足上述条件的一个有序数对为_。满足的任一组解均可13. 已知两条曲线（不同时为0）.则“”是“与有且仅有两个不同交点”的 A(A)充分非必要条件 （B）必要非充分条件 （C）充要条件 （D）既非充分也非必要条件14. 已知二次函数有最大值且最大值为正实数，集合，集合。（1）求和；（2）定义与的差集：且。设，均为整数，且。为取自的概率，为取自的概率，写出与的三组值，使，并分别写出所有满足上述条件的（从大到小）、（从小到大）依次构成的数列、的通项公式（不必证明）；（3）若函数中， （理）设、是方程的两个根，判断是否存在最大值及最小值，若存在，求出相应的值；若不存在，请说明理
7、由。（文）写出的最大值，并判断是否存在最大值及最小值，若存在，求出相应的值；若不存在，请说明理由。（1）有最大值，。配方得，由。 ，。 （2）要使，。可以使中有3个元素，中有2个元素， 中有1个元素。则。中有6个元素，中有4个元素， 中有2个元素。则。中有9个元素,中有6个元素,中有3个元素。则。 （3）（理），得。， ，当且仅当时等号成立。在上单调递增。 又，故没有最小值。 （文）单调递增，又，没有最大值。15. 把数列的所有数按照从大到小，左大右小的原则写成如下数表：第行有个数，第行的第个数（从左数起）记为，则 。16. 我边防局接到情报，在海礁AB所在直线的一侧点M处有走私团伙在进行交易
8、活动，边防局迅速派出快艇前去搜捕。如图，已知快艇出发位置在的另一侧码头处，公里，公里，。（1）（10分）是否存在点M，使快艇沿航线或的路程相等。如存在，则建立适当的直角坐标系，求出点M的轨迹方程，且画出轨迹的大致图形；如不存在，请说明理由。（2）（4分）问走私船在怎样的区域上时，路线比路线的路程短，请说明理由。解：（1）建立直角坐标系（如图），点M的轨迹为双曲线的一部分， ，即 点M的轨迹方程为 （2）走私船如在直线的上侧且在（1）中曲线的左侧的区域时， 路线的路程较短。 理由：设的延长线与（1）中曲线交于点， 则 17. 已知函数对任意的整数均有，且。 （1）（3分）当，用的代数式表示； （
9、2）（理）（10分）当，求的解析式； （文）（ 6分）当，求的解析式； （3）如果，且恒成立， 求的取值范围。（理5分；文9分）解：（1）令 （2）（理）当时， 上述各式相加，得 当时， 上述各式相加，得，即 综上，得。 （文）， （3）恒成立 令，是减函数 18. 设A（x1，y1），B（x2，y2）是两个互异的点，点P的坐标由公式确定，当R时，则 （ C ）AP是直线AB上的所有的点 BP是直线AB上除去A的所有的点CP是直线AB上除去B的所有点 DP是直线AB上除去A、B的所有点19. 设（nN）的整数部分和小数部分分别为In和Fn，则Fn (Fn+In)的值为（A ）A1B2C4D与n
10、有关的数 20. 将参加数学竞赛的1000名学生编号如下0001，0002，0003，1000，打算从中抽取一个容量为50的样本，按系统抽样的方法分成50个部分，如果第一部分编号为0001，0002，0020，第一部分随机抽取一个号码为0015，则第40个号码为 079521. 设x、y、z中有两条直线和一个平面，已知命题为真命题，则x、y、z中一定为直线的是 z22. 秋收要到了，粮食丰收了。某农户准备用一块相邻两边长分别为a、b的矩形木板，在屋内的一个墙角搭一个急需用的粮仓，这个农户在犹豫，是将长为a的边放在地上，还是将边长为b的边放在地上，木板又该放在什么位置的时候，才能使此粮仓所能储放
11、的粮食最多。请帮该农户设计一个方案，使粮仓所能储放的粮食最多（即粮仓的容积最大）设墙角的两个半平面形成的二面角为定值 。将b边放在地上，如图所示，则粮仓的容积等于以ABC为底面，高为a的直三棱柱的体积。由于该三棱柱的高为定值a，于是体积取最大值时必须ABC的面积S取最大值。设AB= x，AC = y ，则由余弦定理有ABCxyab第22题答图，于是，从而，S=。当且仅当x=y时，S取最大值。故当AB=AC时，(Vb)max = 。同理，当a边放在地上时，(Va)max = 。显然，当ab时，(Va)max (Vb)max ；当ab时，(Va)max (Vb)max ；当a=b时，(Va)max
12、 = (Vb)max 。故当ab时，将a边放地上，且使底面三角形成以a为底边的等腰三角形；当ba时，将b边放地上，且使底面三角形成以b为底边的等腰三角形；当a=b时，无论将a边还是b边放在地上均可，只须使底面三角形构成以所放这条边为底边的等腰三角形即可。23. 已知一个数列an的各项是1或3首项为1，且在第k个1和第k+1个1之间有2k-1个3，即1，3，1，3，3，3，1，3，3，3，3，3，1，记数列的前n项的和为Sn（）试问第2004个1为该数列的第几项？ （）求a2004；（）S2004；（）是否存在正整数m，使得Sm=2004？如果存在，求出m的值；如果不存在，说明理由将第k个1与第
13、k+1个1前的3记为第k对，即（1，3）为第1对，共1+1=2项；（1，3，3，3）为第2对，共1+（22-1）=4项；为第k对，共1+（2k-1）=2k项；故前k对共有项数为2+4+6+2k=k(k+1)（）第2004个1所在的项为前2003对所在全部项的后1项，即为2003(2003+1)+1=4014013（项）（）因4445=1980，4546=2070，故第2004项在第45对内，从而a2004=3（）由（）可知，前2004项中共有45个1，其余1959个数均为3，于是S2004=45+31959=5922（）前k对所在全部项的和为Sk(k+1)=k+3k(k+1)-k=3k2+k易得，S25(25+1)=3252+25=1900，S26(26+1)=
