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1、12章习题答案 例题分析例题12-1有一半径为r的均匀刚性导体圆环，其总电阻为R，处于磁感应强度为B的匀强磁场中以匀角速度(方向如图12-6所示)绕通过中心并处于圆面内的轴线旋转，该轴线垂直于B。试求当圆环平面转至与B平行的霎时：(1)ab和ac(其中a点是圆环与转轴的交点，ac是四分之一圆周，b是ac的中点)；(2)比拟此时a和c两点的电势、a和b两点的电势。解(1)在环的a、b之间任意一点P附近取元段dl，dl的方向沿环的切向，v?B的方向与转轴平行并指向下方，如图12-6中虚线箭头所示。故有?=?=bababaablBlBsindcosdd)(vvlBv,由于sinr=v,ddlr=，代
2、入上式，得abrBBr=-?2242814sin()/d0.用同样的方法能够得到acrBBr=?2224sind0/2.积分所得皆为正值，这表示积分方向就是动生电动势的方向。所以，假如把导体环的ab段和ac段看作电源内部，那么a端是电源的负极，b端和c端是电源的正极。从这里我们得到一个重要的启示：假如得到的电动势为负号，表示电动势的极性与积分方向相反，假如得到的电动势为正号，表示电动势的极性与积分方向一样。我们曾经对电源电动势的极性作出过这样的规定：沿电源内部、从负极到正极的方向是电源的正方向。(2)根据动生电动势的方向，能够判定导体环中电流是沿顺时针方向的，电流的大小为IRBrRac=42.
3、所以UIRBrBrcaac=-=-=444022,这表示a、c两点等电势。UIRBrbaab=-=-842,这表示a点的电势高于b点的电势。例题12-2一无限长的同轴电缆是由两个半径分别为R1和R2的同轴圆筒状导体构成，其间充满磁导率为的磁介质，在内、外圆筒状导体中通有方向相反的电流I。求单位长度电缆的磁场能量和自感系数。图12-6解对于这样的同轴电缆来讲，磁场只存在于两圆筒状导体之间的磁介质内，由安培环路定理可求得磁场强度的大小为HIr=2.而在rR2的区域，磁场强度为零。所以磁场能量也只储存在两圆筒导体之间的磁介质中。磁场能量密度为wHIrm=12822.如今我们来计算一段单位长度的电缆所
4、储存的磁场能量：ddddmmmWwwrrIrr=242,WWIrrIRRRRmmdd=?22214412ln.计算自感系数通常有三种方法：(1)利用自感系数的定义式，求自感系数；由于=LI，所以自感系数为LI=;(2)通过电路的自感电动势，求自感系数；由于自感电动势表示为=-LItdd，所以自感系数为LtI=-dd.(3)通过电路所储存的自感磁能(即磁场能量)，求自感系数。由于WLIm=122，所以自感系数能够表示为LWIIH=?21222md.在我们的问题中，只能采用第三种求自感系数的方法。单位长度电缆所储存的磁场能量为Wm，所以单位长度电缆的自感系数为LWIRR=22221mln.可见，自
5、感系数只决定于电路本身的构造、几何性质以及所充磁介质的磁导率。 习题解答12-7在磁感应强度大小为B=0.50T的匀强磁场中，有一长度为l=1.5m的导体棒垂直于磁场方向放置，如图12-7所示。假如让此导体棒以既垂直于本身的长度又垂直于磁场的速度v向右运动，则在导体棒中将产生动生电动势。若棒的运动速率v=4.0m?s-1，试求：(1)导体棒内的非静电性电场K；(2)导体棒内的静电场E；(3)导体棒内的动生电动势的大小和方向；(4)导体棒两端的电势差。解(1)根据动生电动势的表达式?=llBd)(v,由于(B?v)的方向沿棒向上，所以上式的积分可取沿棒向上的方向，也就是dl的方向取沿棒向上的方向
6、。于是可得Blv=.另外，动生电动势能够用非静电性电场表示为=?=?KldlKl.以上两式联立可解得导体棒内的非静电性电场，为1mV0.2-?=BKv,方向沿棒由下向上。(2)在不构成电流的情况下，导体棒内的静电场与非静电性电场相平衡，即EK=-,所以，E的方向沿棒由上向下，大小为E=?-201.Vm.(3)上面已经得到V0.3=KlBlv,方向沿棒由下向上。(4)上述导体棒就相当于一个外电路不通的电源，所以导体棒两端的电势差就等于棒的动生电动势，即U=30.V,棒的上端为正，下端为负。12-8如图12-8所表示，处于匀强磁场中的导体回路ABCD，其边AB能够滑动。若磁感应强度的大小为B=0.
7、5T，电阻为R=0.2，AB边长为l=0.5m，AB边向右平移的速率为v=4m?s-1，求：(1)作用于AB边上的外力；(2)外力所消耗的功率；(3)感应电流消耗在电阻R上的功率。解(1)当将AB向右拉动时，AB中会有电流通过，流向为从B到A。AB中一旦出现电流，就将遭到安培力F的作用，安培力的方向为由右向左。所以，要使AB向右移动，必须对AB施加由左向右的力的作图12-7图12-8用，这就是外力F外。在被拉动时，AB中产生的动生电动势为BlABv=?=lBd)(v,电流为RBlRIv=.AB所受安培力的大小为N1N25.122=?=RlBIlBIFvBl,安培力的方向为由右向左。外力的大小为
8、N1=FF外,外力的方向为由左向右。(2)外力所消耗的功率为W5=W)425.1(?=v外外FP.(3)感应电流消耗在电阻R上的功率为W522222222=RlBRRlBRIPvv.可见，外力对电路消耗的能量全部以热能的方式释放出来。12-9有一半径为r的金属圆环，电阻为R，置于磁感应强度为B的匀强磁场中。初始时刻环面与B垂直，后将圆环以匀角速度绕通过环心并处于环面内的轴线旋转/2。求：(1)在旋转经过中环内通过的电量；(2)环中的电流；(3)外力所作的功。解(1)在旋转经过中环内通过的电量为qItRtRRrBRtt=-=?ddd)=00021(.(2)根据题意，环中的磁通量能够表示为=BSt
9、cos,故感应电动势为=-=ddtBStsin.所以，环中的电流为IRBStRrBRt=sinsin2.(3)外力所作的功，就是外力矩所作的功。在圆环作匀角速转动时，外力矩的大小与磁力矩的大小相等，故力矩为MmBISBIrBt=sinsinsin2,式中是环的磁矩m与磁场B之间的夹角。在从=0的位置转到=/2的位置，外力矩克制磁力矩所作的功为AMIrBtBrRrBR=?ddd0/2/22224203424sinsin.此题可以以用另一种方法求解。外力矩作的功应等于圆环电阻上消耗的能量，故有AIRtBrRttBrRrBRtt=?20224220224203424ddd/2sinsin.与上面的结
10、果一致。12-10一螺绕环的平均半径为r=10cm，截面积为S=5.0cm2，环上均匀地绕有两个线圈，它们的总匝数分别为N1=1000匝和N2=500匝。求两个线圈的互感。解在第一个线圈N1中通以电流I1，在环中产生的磁场为BnINrI10110112=.该磁场在第二个线圈N2中产生的磁通量为121202112=BSNNNSIr.所以两个线圈的互感为MINNSr=?-121012425010.H.12-11在长为60cm、半径为2.0cm的圆纸筒上绕多少匝线圈才能得到自感为6.0?10-3H的线圈？解设所绕线圈的匝数为N，若在线圈中通以电流I，则圆筒内的磁感应强度为BNlI=0.由此在线圈本身
11、引起的磁通量为=NBSNSIl02,所以线圈的自感为LINSl=02,由此解得线圈的匝数为NLlS=?031510.12-12一螺绕环的平均半径为r=1.2?10-2m，截面积为S=5.6?10-4m2，线圈匝数为N=1500匝，求螺绕环的自感。解此螺绕环的示意图表示于图12-9中。在线圈中通以电流I，环中的磁感应强度为BnINrI=002,该磁场引起线圈的磁通量为图12-9=NBSNSIr022.所以螺绕环的自感为LINSr=?-02222110.H.12-13若两组线圈绕在同一圆柱上，其中任一线圈产生的磁感应线全部并均等地通过另一线圈的每一匝。两线圈的自感分别为L1和L2，证实两线圈的互感
12、能够表示为MLL=12.解题意所表示的情形，是一种无漏磁的理想耦合的情形。在这种情形下，能够得到两个线圈的自感分别为LNSl1012=,LNSl2022=.用类似的方法能够得到它们的互感为MNNSl=012.比拟以上三式，能够得出MLL=12.12-14一无限长直导线，其圆形横截面上电流密度均匀。若通过的电流为I，导线材料的磁导率为，证实每单位长度导线内所储存的磁能为wIm=216.解由于电流在导线横截面上分布均匀，所以能够把电流密度的大小表示为jIR=.在导线的横截面上任取一半径为r(导体内的磁感应强度为BHrIR=422.H和B的方向可根据电流的流向用右手定则确定。导线内的磁场能量密度为w
13、HBrIRm=1282242.在导线内取一长度为1、半径为r、厚度为dr的同心圆筒，图12-10是其横截面的示意图。圆筒薄层内的磁场能量为dddmmmWwVwrr=2,导线单位长度的磁场能量为WwrrrIRrIRRmm0dd=?241603242.证毕。12-15一铜片放于磁场中，若将铜片从磁场中拉出或将铜片向磁场中推进，铜片将遭到一种阻力的作用。试解释这种阻力的来源。解这种阻力来自磁场对铜片内产生的涡流的作用。12-18证实平行板电容器中的位移电流能够表示为ICVtddd=,式中C是电容器的电容，V是两极板间的电势差。假如不是平行板电容器，而是其他形状的电容器，上式适用否？解电容器中的位移电
14、流，显然是在电容器被充电或放电时才存在的。设电容器在被充电或放电时，极板上的自由电荷为q，极板间的电位移矢量为D，则根据定义，位移电流能够表示为Itdd=?DS,或者Itdd=?DS.根据电容器形状的对称性，作高斯面恰好将电容器的正极板包围在其内部，并且高斯面的一部分处于电容器极板之间，如图12-11所示。这样，上式可化为IttqtqtCVCVtdd=?=?DS()()0.证毕。在上面的证实中，固然图12-11是对平行板电容器画的，但是证实经过并未涉及电容器的详细形状，并且对所作高斯面的要求，对于其他形状的电容器都是能够办到的。所以，上面的结果对于其他形状的电容器也是适用的。12-19由两个半径为R的圆形金属板组成的真空电容器，正以电流I充电，充电导线是长直导线。求：(1)电容器中的
