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1、 本科毕业论文论文题目： 分块矩阵的应用 学生姓名： 学号： 专业： 数学与应用数学 指导教师： 学 院： 年 月 日毕业论文设计内容介绍论文设计题 目 分块矩阵的应用选题时间 完成时间论文设计字数关 键 词分块矩阵，行列式，矩阵的秩，逆矩阵，特征值论文设计题目的来源、理论和实践意义：题目来源和理论：论文设计的主要内容及创新点：主要内容：创新点： 附：论文设计本人签名： 年 月 日目 录摘要1Abstract1引言21.分块矩阵的定义及相关运算性质3分块矩阵的定义3分块矩阵的相关运算性质3加法3数乘3乘法3转置3分块矩阵的初等变换32分块矩阵的应用4用分块矩阵解决行列式的问题42.2 分块矩阵
2、在解线性方程组的应用7分块矩阵在相似问题中的应用9用分块矩阵证明矩阵秩的问题92.5 用分块矩阵求逆矩阵的问题112.6 分块矩阵在矩阵的特征值问题中的应用13结论16参考文献17分块矩阵的应用摘要：矩阵论是代数学中一个重要组成局部和主要研究对象，在线性代数中占有非常重要的地位。分块矩阵可以用来降低较高级数的矩阵级数，使矩阵的结构更清晰明朗，从而使矩阵的相关计算简单化，而且还可以用于证明一些与矩阵有关的问题。本文将分块矩阵运用于行列式运算、解线性方程组、求逆矩阵的问题以及特征值的问题的求解，还包括有关矩阵秩的证明和矩阵相似问题。关键词：分块矩阵；行列式；矩阵的秩；逆矩阵；特征值.Applica
3、tions of Block MatrixAbstract: The matrix theory is not only a significant part of algebra, but also a subject which is worth studying, also it plays an important role in linear algebra. We can use block matrix to reduce the higher matrix to a lower rank so as to make the structure of matrix much cl
4、earer and simplify the related calculation, whats more, it can be used for proving some problems which are related to matrix. This article will use block matrix as a tool to solve those problems which are about determinant calculation, linear equation, inverse matrix and eigenvalue. Meanwhile，the au
5、thor will try to prove the matrix rand and the similarity to matrix.Keywords: block matrix; determinant; inverse matrix ; eigenvalue.引言矩阵作为数学工具之一有其重要的实用价值，它常见于很多学科中，如：线性代数、线性规划、统计分析，以及组合数学等，在实际生活中，很多问题都可以借用矩阵抽象出来进行表述并进行运算，如在各循环赛中常用的赛格表格等，矩阵的概念和性质相对矩阵的预算较容易理解和掌握，对于矩阵的运算和应用，那么有很多的问题值得我们去研究，其中当矩阵的行数和列数
6、都相当大时，矩阵的计算和证明中会是很烦琐的过程，因此这时我们得有一个新的矩阵处理工具，来使这些问题得到更好的解释，矩阵分块的思想由此产生.矩阵分块,就是把一个大矩阵看成是由一些小矩阵组成的。就如矩阵的元素(数) 一样,特别是在运算中,把这些小矩阵当作数一样来处理.把矩阵分块运算有许多方便之处。因为在分块之后,矩阵间的相互关系可以看得更清楚,在实际操作中与其他方法相比,一般来说,不仅非常简洁,而且方法也很统一,具有较大的优越性,是在处理级数较高的矩阵时常用的方法。本文即是通过查阅相关文献和学习相关知识后总结并探讨分块矩阵在各方面的应用，以计算和证明两大方面为主.在已有的相关文献中，分块矩阵的一些
7、应用如下：1从行列式的性质出发，推导出分块矩阵的假设干性质，并举例说明这些性质在行列式计算和证明中的应用.2借助分块矩阵的初等变换可以发现分块矩阵在计算行列式、求逆矩阵及矩阵的秩方面的应用.3利用分块矩阵求高阶行列式.如设、都是阶矩阵，其中，并且，那么可求得.4利用分块矩阵求解线性方程组.分块矩阵有非常广泛的应用，本文将通过对分块矩阵性质的研究，比拟系统的总结讨论分块矩阵在计算和证明方面的应用，从而确认分块矩阵为处理很多代数问题带来很大的便利.1.分块矩阵的定义及相关运算性质1.1分块矩阵的定义定义1 将m*n矩阵A=(作如下分块 其中是阵i=1,2s(j=1,2t) =m =n 注：分块矩阵
8、的每一行列的小矩阵有相同行列数.1.2分块矩阵的相关运算性质1.2.1加法设，其中 是矩阵i=1,2s, j=1,2t)=m =n,那么1.2.2数乘设，k是任意数，定义分块矩阵与的数乘为1.2.3乘法设,其中是矩阵，是矩阵，(i=1,2s,j=1,2t,k=1,2, r) =m, =n,那么AB=其中。1.2.4转置设A=那么定义分块矩阵A=的转置为.1分块矩阵的初等变换(一将m+n阶单位矩阵分块进行如下变换： (1) 对进行两行互换得： ；(2) 用一个可逆阵左乘的某一行的所有子矩阵得：或； (3) 将的某一行的所有子矩阵左乘一个矩阵再加到另一行的对应子矩阵上去得：或；将上述定义中的“行换
9、成“列,“左乘换成“右乘, 即得分块矩阵的初等列变换的定义, 分块矩阵的初等行变换和初等列变换统称为初等变换.(二)初等变换的性质1均是可逆矩阵; (2) 用分块初等矩阵左右乘(要可乘可加)相当于对其作相应的分块初等行列变换.2分块矩阵的应用2.1用分块矩阵解决行列式的问题利用矩阵分块的方法求行列式的值是行列式求值的常用方法之一, 但通常所用的?高等代数?教材中对能够用矩阵分块法求值的行列式要求较为严格, 多数为形式较特殊的行列式.下面给出了一个应用范围较为广泛的行列式的分块矩阵求值方法.引理1 假设为阶方阵，为阶方阵，为矩阵, 那么有在上述引理中, 对子块的要求是较为严格的, 即子块当中有一
10、个为零矩阵, 更一般的有如下的结论. 定理1.假设阶方阵可分为其中为阶方阵, 为矩阵, 为矩阵, 为阶方阵, 那么有1当为可逆矩时； 2当为可逆矩阵时.在进行行列式的求值运算时, 假设能找到符合本定理条件要求的矩阵分块方法, 就可应用定理的结论进行行列式的计算, 现举例说明如下：例1. 计算行列式.解：设那么为可逆矩阵，由定理1的结论2知 ，将及代入得.例2. 矩阵，求行列式的值.解：行列式的主对角线元素为，其余元素为，因此：1当时，由行列式的性质知=0；2当时，从第一行开始，将行列式的前行减去后行得，令由定理1可知，而 ，计算结果得.假设定理中的矩阵和均为可逆矩阵时，定理的两个结论均成立，可
11、以利用公式进行转换求行列式的值，举例说明如下.推论1. 假设均为阶方阵，且可逆，那么.例3. 计算行列式.进行分块解：对，其中显然可逆，且，所以，而，所以，. 定理2.假设均为阶方阵，那么.例4计算行列式.解：对矩阵进行分块，其中由于 ，所以.2.2 分块矩阵在解线性方程组的应用设个未知数个方程的线性方程组为： 1，设,其中表示矩阵的转置,那么方程1的矩阵形式为.把方程1的矩阵形式改写成如下分块矩阵的形式，其中， ， ，方程组1有解时，我们解方程组1时总是把1化成简单的同解方程组，从而求出其解.定理3.设方程组1有解且，那么方程组与同解.例5方程组 1求此方程组的解并证明此方程组和方程组 2同
12、解.解：令，其中，所以此方程组的齐次线性方程组的解为，又是方程组的一个特解，所以此方程组的解为，由上可知并且，所以由定理3可证方程组1和2同解.2.3分块矩阵在相似问题中的应用定理4.如果方阵，方阵，那么.证明：因为方阵，方阵，所以 ，而，所以.2.4用分块矩阵证明矩阵秩的问题引理2. 设,为矩阵，为矩阵，那么有，且当 时，. 证明：设在初等变换下的标准形为，又设在初等变换下的标准形为，那么，对前行前列作初等变换，对它的后行后l列也作初等变换可把化为，现在利用左上角的1经列初等变换消去位置中的非零元；再用左上角的1经行初等变换消去它上面处的非零元素，于是把再化作，那么有.引理3. 分块矩阵的初
13、等变换不改变分块矩阵的秩定理5 设都是矩阵，那么.证明 ：由分块矩阵的初等变换可知 ： (A+B)秩秩=秩=秩=A秩+B秩定理6.设为矩阵，为矩阵，假设，那么.证明：由于AB=0，将下面矩阵第一列右乘(-B加至第二列得：(A)+ (B) =所以.定理7.(弗罗贝尼乌斯不等式) 设A,B,C分别为矩阵，那么(ABC) (AB)+ .证明：因为 例6. 设为阶矩阵，且，证：.证明：因为又因，由例7知，所以.例7. 设A、B都是n阶矩阵，求证：.证明：因为，所以，又，都可逆，所以，而，又，所以.2.5 用分块矩阵求逆矩阵的问题分块矩阵是高等代数中的一个重要的工具，在求解高阶矩阵问题中的应用尤为广泛。求矩阵的逆矩阵可以用伴随矩阵或初等变换的方法来解决，而此类方法对于级数较高的矩阵运算量较大，对某些
