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1、1982年全国高中数学联赛 1982年二十八省、市、自治区中学生联合数学竞赛 1选择题(本题48分,每一小题答对者得6分,答错者得0分,不答者得1分): 如果凸n边形F(n4)的所有对角线都相等,那么 AF四边形 BF五边形 CF四边形五边形 DF边相等的多边形内角相等的多边形 极坐标方程=所确定的曲线是 A圆 B椭圆 C双曲线 D抛物线 如果log2log(log2)=log3log(log3x)= log5log(log5x)=0,那么 Azxy Bxyz Cyzx Dzyx 由方程|x1|+|y1|=1确定的曲线所围成的图形的面积是 A1 B2 C D4 对任何(0,)都有 Asinsi
2、ncoscoscoscos Csincoscoscossin Dsincoscos0,N=(x,y)|arctanx+arccoty=,那么 AMN=(x,y)| |xy|=1 BMN=M CMN=N DMN=(x,y)| |xy|=1,且x,y不同时为负数 当a,b是两个不相等的正数时,下列三个代数式: 甲:(a+)(b+), 乙:(+)2, 丙:(+)2 中间,值最大的一个是A必定是甲 B必定是乙 C必定是丙 D一般并不确定,而与a、b的取值有关2(本题16分)已知四面体SABC中,ASB=,ASC=(0),BSC=(0)以SC为棱的二面角的平面角为求证:=arc cos(cotcot)3
3、(本题16分)已知: 半圆的直径AB长为2r; 半圆外的直线l 与BA的延长线垂直,垂足为T,|AT|=2a(2av点P在x轴和y轴上的射影分别为M、N求证:|AM|、|BM|、|CN|、|DN|分别为1、9、8、21982年二十八省、市、自治区中学生联合数学竞赛解答 1选择题(本题48分,每一小题答对者得6分,答错者得0分,不答者得1分): 如果凸n边形F(n4)的所有对角线都相等,那么 AF四边形 BF五边形 CF四边形五边形 DF边相等的多边形内角相等的多边形 解:由正方形及正五边形知A、B均错,由对角线相等的四边形形状不确定,知D错,选C 极坐标方程=所确定的曲线是 A圆 B椭圆 C双
4、曲线 D抛物线 解:=,知e=,选C 如果log2log(log2)=log3log(log3x)= log5log(log5x)=0,那么 Azxy Bxyz Cyzx Dzyx解:x=2,y=3,z=5;x=2=8,y=3=9,故xy,又x=32,z=25,故zx故选A 由方程|x1|+|y1|=1确定的曲线所围成的图形的面积是 A1 B2 C D4 解:此曲线的图形是一个正方形,顶点为(0,1),(1,0),(2,1),(1,2);其面积为2选B 对任何(0,)都有 Asinsincoscoscoscos Csincoscoscossin Dsincoscoscossin 解:由0sin
5、sin由0cos1,得sincos0,N=(x,y)|arctanx+arccoty=,那么 AMN=(x,y)| |xy|=1 BMN=M CMN=N DMN=(x,y)| |xy|=1,且x,y不同时为负数解:M是双曲线xy=1在第一、四象限内的两支;由arctanx=arccoty,x=,xy=1,若x0即N是xy=1在第四象限的一支故选B 当a,b是两个不相等的正数时,下列三个代数式: 甲:(a+)(b+), 乙:(+)2, 丙:(+)2 中间,值最大的一个是A必定是甲 B必定是乙 C必定是丙 D一般并不确定,而与a、b的取值有关解:甲乙,但甲、丙大小不确定故选D2(本题16分)已知四
6、面体SABC中,ASB=,ASC=(0),BSC=(0)以SC为棱的二面角的平面角为求证:=arc cos(cotcot)证明:在SC上取点D,使SD=1,在面SAC、SBC内分别作DESC,DFSC,分别交SA、SB于E、F,连EF则EDF为二面角ASCB的平面角即EDF=由BSC=,知SF=sec,DF=tan由ASC=,得SE=sec,DE=tan由ASB=,得EF2=SE2+SF2= DE2+DF22DEDFcos sec2+sec2=tan2+tan22tantancoscos=cotcot =arc(cotcot)3(本题16分)已知: 半圆的直径AB长为2r; 半圆外的直线l 与
7、BA的延长线垂直,垂足为T,|AT|=2a(2a); 半圆上有相异两点M、N,它们与直线l的距离|MP|、|NQ|满足条件 =1求证:|AM|+|AN|=|AB|证明:以AT中点O为原点,AB所在直线为x轴建立直角坐标系,则由已知,M、N是半圆(xar)2+y2=r2(y0)与抛物线y2=4ax的交点消去y得:x2+2(ar)x+2ra+a2=0条件2a0,于是此方程有两个不等实根x1,x2,即为M、N的横坐标由韦达定理,知x1+x2=(2a2r) |AM|=|MP|=x1+a,|AN|=|NQ|=x2+a |AM|+|AN|=x1+x2+2a=2r证毕又证:作MCAB,NDAB,垂足为C、D
8、则AN2=ADAB,AM2=ACAB, AN2AM2=(ADAC)AB=CDAB AN2AM2=(AN+AM)(ANAM)=(AN+AM)(NQMP)=(AN+AM)CD比较得,AN+AM=AB4(本题20分)已知边长为4的正三角形ABCD、E、F分别是BC、CA、AB上的点,且|AE|=|BF|=|CD|=1,连结AD、BE、CF,交成RQS点P在RQS内及边上移动,点P到ABC三边的距离分别记作x、y、z 求证当点P在RQS的顶点位置时乘积xyz有极小值; 求上述乘积xyz的极小值解: 利用面积,易证: 当点P在ABC内部及边上移动时,x+y+z为定值h=2;过P作BC的平行线l,交ABC的两边于G、H当点P在线段GH上移动时,y+z为定值,从而x为定值设y,m为定值则函数u=y(my)在点y=或y=时取得极小值于是可知,过R作AB、AC的平行线,过Q作AB、BC的平行线,过S作BC、AC的平行线,这6条平行线交得六边形STRUQV,由上证,易得只有当点P在此六点上时,xyz取得极小值由对称性易知,xyz的值在此六点处相等由=1,得=,x=h=h,y=h=h,z=h xyz=()3h3=5(本题20分)已知圆x2+y2=r2(r为奇数),交x轴于点A(r,0)、B(r,0),交y轴于C(0,r)、D(0,r)P(u,v)是圆周上的点,u=pm,v=qn