《2022年新人教a版高中数学（必修1）《第二章基本初等函数（i）》学案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年新人教a版高中数学（必修1）《第二章基本初等函数（i）》学案（26页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2.2对数函数22.1对数与对数运算1对数的概念一般地，如果axN (a0，且a1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作xlogaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数说明：(1)实质上，上述对数表达式，不过是指数函数yax的另一种表达形式，例如：3481与4log381这两个式子表达是同一关系，因此，有关系式axNxlogaN，从而得对数恒等式：alogaNN.(2)“log”同“”“”“”等符号一样，表示一种运算，即已知一个数和它的幂求指数的运算，这种运算叫对数运算，不过对数运算的符号写在数的前面(3)根据对数的定义，对数logaN(a0，且a1)具有下列性质：零和负数没有对数，即N0；1的
2、对数为零，即loga10；底的对数等于1，即logaa1.2对数的运算法则利用对数的运算法则，可以把乘、除、乘方、开方的运算转化为对数的加、减、乘、除运算，反之亦然这种运算的互化可简化计算方法，加快计算速度(1)基本公式loga(MN)logaMlogaN (a0，a1，M0，N0)，即正数的积的对数，等于同一底数的各个因数的对数的和logalogaMlogaN (a0，a1，M0，N0)，即两个正数的商的对数，等于被除数的对数减去除数的对数logaMnnlogaM (a0，a1，M0，nR)，即正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数(2)对数的运算性质注意点必须注意M0，N0，例如log
3、a(3)(4)是存在的，但是loga(3)与loga(4)均不存在，故不能写成loga(3)(4)loga(3)loga(4)防止出现以下错误：loga(MN)logaMlogaN，loga(MN)logaMlogaN，loga，logaMn(logaM)n.3对数换底公式在实际应用中，常碰到底数不为10的对数，如何求这类对数，我们有下面的对数换底公式：logbN (b0，且b1；c0，且c1；N0)证明设logbNx，则bxN.两边取以c为底的对数，得xlogcblogcN.所以x，即logbN.换底公式体现了对数运算中一种常用的转化，即将复杂的或未知的底数转化为已知的或需要的底数，这是数学
4、转化思想的具体应用由换底公式可推出下面两个常用公式：(1)logbN或logbNlogNb1 (N0，且N1；b0，且b1)；(2)logbnNmlogbN(N0；b0，且b1；n0，mR)2022年新人教a版高中数学（必修1）第二章基本初等函数（i）学案 题型一正确理解对数运算性质对于a0且a1，下列说法中，正确的是()若MN，则logaMlogaN；若logaMlogaN，则MN；若logaM2logaN2，则MN；若MN，则logaM2logaN2.A与B与CD、解析在中，当MN0时，logaM与logaN均无意义，因此logaMlogaN不成立在中，当logaMlogaN时，必有M0，
5、N0，且MN，因此MN成立在中，当logaM2logaN2时，有M0，N0，且M2N2，即|M|N|，但未必有MN.例如，M2，N2时，也有logaM2logaN2，但MN.在中，若MN0，则logaM2与logaN2均无意义，因此logaM2logaN2不成立所以，只有成立答案C点评正确理解对数运算性质公式，是利用对数运算性质公式解题的前提条件，使用运算性质时，应牢记公式的形式及公式成立的条件 题型二对数运算性质的应用求下列各式的值：(1)2log32log3log385log53；(2)lg25lg8lg5lg20(lg2)2；(3).分析利用对数的性质求值，首先要明确解题目标是化异为同，
6、先使各项底数相同，才能使用性质，再找真数间的联系，对于复杂的真数，可以先化简再计算解(1)原式2log32(log332log39)3log3232log325log3223log3231.(2)原式2lg52lg2lglg(210)(lg2)22lg(52)(1lg2)(lg21)(lg2)221(lg2)2(lg2)23.(3).点评对数的求值方法一般有两种：一种是将式中真数的积、商、幂、方根利用对数的运算性质将它们化为对数的和、差、积、商，然后化简求值；另一种方法是将式中的和、差、积、商运用对数的运算法则将它们化为真数的积、商、幂、方根，然后化简求值 题型三对数换底公式的应用计算：(lo
7、g2125log425log85)(log52log254log1258)分析由题目可获取以下主要信息：本题是一道对数化简求值题，在题目中各个对数的底数都各不相同解答本题可先通过对数换底公式统一底数再进行化简求值解方法一原式log25(3log52)13log2513.方法二原式13.点评方法一是先将括号内换底，然后再将底统一；方法二是在解题方向还不清楚的情况下，一次性地统一为常用对数(当然也可以换成其他非1的正数为底)，然后再化简上述方法是不同底数对数的计算、化简和恒等证明的常用方法已知log(x3)(x23x)1，求实数x的值错解由对数的性质可得x23xx3.解得x1或x3.错因分析对数的
8、底数和真数必须大于0且底数不等于1，这点在解题中忽略了正解由对数的性质知解得x1，故实数x的值为1.对数的定义及其性质是高考中的重要考点之一，主要性质有：loga10，logaa1，alogaNN (a0，且a1，N0)1(上海高考)方程9x63x70的解是_解析9x63x70，即32x63x70(3x7)(3x1)03x7或3x1(舍去)xlog37.答案 log372(辽宁高考)设g(x)则g_.解析gln0，geln，g.答案1对数式log(a3)(7a)b，实数a的取值范围是()A(，7) B(3,7)C(3,4)(4,7) D(3，)答案C解析由题意得解得3a7且a4.2设alog3
9、2，则log382log36用a表示的形式是()Aa2 B3a(1a)2C5a2 Da23a1答案A解析alog32，log382log363log322(log321)3a2(a1)a2.3log56log67log78log89log910的值为()A1 Blg5 C. D1lg2答案C解析原式.4已知loga(a21)loga2a0，a1，loga(a21)loga2a，0a1.a0，a1)在1,3上最大值与最小值之和为a2，则a的值为()A4 B. C3 D.答案D6若方程(lgx)2(lg7lg5)lgxlg7lg50的两根为，则等于()Alg7lg5 Blg35 C35 D.答案D
10、解析lglg(lg7lg5)lg35lg.7已知f(log2x)x，则f_.答案解析令log2x，则2x，f2.8log(1)(1)_.答案1解析log1(1)log1log(1)1.9已知lg20.301 0，lg30.477 1，lgx20.778 1，则x_.答案0.06解析lg20.301 0，lg30.477 1，而0.301 00.477 10.778 1，lgx2lg2lg3，即lgxlg102lg6.lgxlg(6102)，即x61020.06.10(1)已知lgxlgy2lg(x2y)，求log的值；(2)已知log189a,18b5，试用a，b表示log365.解(1)lg
11、xlgy2lg(x2y)，xy(x2y)2，即x25xy4y20.即(xy)(x4y)0，解得xy或x4y，又x2y0，xy，应舍去，取x4y.则logloglog44.(2)18b5，log185b, 又log189a，log365.11设a，b，c均为不等于1的正数，且axbycz，0，求abc的值解令axbyczt (t0且t1)，则有logta，logtb，logtc，又0，logtabc0，abc1.12已知a，b，c是ABC的三边，且关于x的方程x22xlg(c2b2)2lga10有等根，试判定ABC的形状解关于x的方程x22xlg(c2b2)2lga10有等根，0，即44lg(c
12、2b2)2lga10.即lg(c2b2)2lga0，故c2b2a2，a2b2c2，ABC为直角三角形22.1对数与对数运算(一) 学习目标1理解对数的概念，能进行指数式与对数式的互化2了解常用对数与自然对数的意义3理解对数恒等式并能用于有关对数的计算 自学导引1如果a(a0且a1)的b次幂等于N，就是abN，那么数b叫做以a为底N的对数，记作blogaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数2对数的性质有：(1)1的对数为零；(2)底的对数为1；(3)零和负数没有对数3通常将以10为底的对数叫做常用对数，以e为底的对数叫做自然对数，log10N可简记为lgN，logeN简记为lnN.4若a0，且a1，则abN等价于logaNb.5对数恒等式：alogaNN(a0且a1). 一、对数式有意义的条件例1求下列各式中x的取值范围：(1)log2(x10)；(2)log(x1)(x2)；(3)log(x1)(x1)2.分析由真数大于零，底数大于零且不等于1可得到关于x的不等式(组)，解之即可解(1)由题意有x10
