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1、成都华杯赛课程讲义(B)主要内容：计数、几何、数论计数【例1(2009年第十四届“华罗庚金杯赛”初赛)按照中国篮球职业联赛组委会的规定， 各队队员的号码可以选择的范围是055号，但选择两位数的号码时，每位数字均不能超 过5,那么，可供每支球队选择的号码共()个.【分析】根据题意，可供选择的号码可以分为一位数和两位数两大类，其中一位数可以为 09,有10种选择；两位数的十位可以为15，个位可以为05，根据乘法原 理，两位数号码有5x6 = 30种选择.所以可供选择的号码共有10 + 30 = 40种.【巩固】一种电子表在6时24分30秒时的显示为6： 2430那么从5时到7时这段时间里， 此表的
2、5个数字都不相同的时刻一共有多少个？【分析】设A:BCDe是满足题意的时刻，有A为6，B、D应从0，1，2，3，4，5这6个数 字中选择两个不同的数字，所以有A2种选法，而C、E应从剩下的7个数字中选 择两个不同的数字，所以有A2种选法，所以共有A6 x A2 =1260种选法；A为5, B、D应从0，1，2, 3, 4,这5个数字中选择两个不同的数字，所以有A2种选法，5而C、E应从剩下的7个数字中选择两个不同的数字，所以有A2种选法，所以共 有A2 x A2 =840种选法，因此一共有1260 + 840 = 2100个【例2(2008年第十三届“华罗庚金杯赛”初赛)已知图中是一个轴对称图
3、形.若将图中 某些黑色的图形去掉后，得到一些新的图形，则其中轴对称的新图形共有()个.(A)9(B)8(C)7(D)6【分析】原图是一个轴对称图形，且对称轴只有1条，那么去掉图中的某些黑色图形后， 剩下的轴对称图形的对称轴与原图的相同.阴影5部分中去掉1个，有1种情况； 阴影5部分去掉2个，有2种情况；阴影5部分去掉3个，有2种情况；阴影5 部分中去掉4个，有1种情况；阴影5部分中去掉5个，有1种情况；所以共7 种情况，答案为C .另解：如右图，将阴影5部分标上字母，则A和B关于对称轴对称，C部分单独 关于对称轴对称，D和E关于对称轴对称，所以，如果要去掉某些黑色部分图形， 则A和B必须同时去
4、掉或保留，C既可去掉也可保留，D和E必须同时去掉或保 留，对这3组每组都有去掉或保留2种选择，共有2x2x2 = 8种选择，但是其中有 种情况5部分都没有去掉的情况，这样情况应予排除，所以符合条件的情况共有 8 -1 = 7 种.【例3】在图中1 x 5的格子中填入1, 2, 3,4, 5, 6, 7, 8中的5个数，要求填入的数各种不同的填法.不相同，并且填在黑格里的数比它旁边的两个数都大共有【分析】首先看填入1、2、3、4、5这五个数的情况.由于黑格里的数至少比两个数大， 所以至少为3;而白格里的数不能是最大的，所以5必须在黑格里.那么这五个数 填在黑格里的数是5和4时，不同的填法有2!x
5、3! = 12 （种）；填在黑格里的数是5 和3时，4只能在5的一侧，不同的填法有2x2 = 4 （种）.所以，共有不同填法 12 + 4 = 16 （种）.而要将填入的五个数选出来，一共有C5 = 56种，然后按照分析15这5个数的方 8法对应着数的相对大小来分析选出来的五个数，也各有16种填法，所以一共有： 56x 16 = 896 种填法.【巩固】在图23-5的空格内各填入一个一位数，使同一行内左边的数比右边的数大，同一 列内下面的数比上面的数大，并且方格内的6个数字互不相同，例如图23-6就是一种 填法。请问：一共有多少种不同的填法？图 23-5图 23-6【分析】为了方便说明，标上字
6、母:CD2AB3要注意到，A最大，D最小，B、C的位置可以互换.但是，D只能取4，5，6，因为如果取7，就找不到3个比它大的一位数了. 当D取4，5，6时分别剩下5，4，3个一位大数.有B、C可以互换位置.所有不同的填法共C5 x2+ C4 x2+ C； x2=10x2+4x2+1x2=30 种.【例4】一次自助餐，共有10种菜，每个人都有4个盘子可以选菜，每个盘子只能放1种 菜，但可以重复选菜，请问：共有多少种选菜方案？【分析】不重复选：C4 = 210重复 1 种：C1 C2 = 360重复2种：C2 = 451种重复3次：C1 C1 = 901种重复4次：C1 = 10共715种【例5】
7、如图的大正方形格板是由81个1平方厘米的小正方形铺成，B，C是两个格点。若 请你在其它的格点种标出一点A，使得三角形ABC的面积恰等于3平方厘米，则这样的A 点共有多少个？【详解】先找一个能够面积为3的点，比如A点，然后根据等积变换，底相等，高相等，即面积相等。可以做平行线，再下方也可以继续做平行线。共8个。【例5】（2006年第十一届“华罗庚金杯赛”初赛）如下图所示，将一张正方形纸片先由下向上对折压平，再由右翻起向左对折压平，得到小正方形ABCD .取AB的中 点M和BC的中点N，剪掉翊州得五边形AMNCD .).(A)【分析】由裁痕MN可对称地画出其它三条裁痕（如图）.所以答案为D .【例
8、6】（2008年第十三届“华罗庚金杯赛”初赛）如图所示，矩形ABCD的面积为24平方厘米.三角形ADM与三角形BCN的面积之和为7.8平方厘米，则四边形 PMON的面积是平方厘米.【分析】因为三角形ADO与三角形BCO的面积之和是矩形ABCD的面积的一半，即12平 方厘米，又三角形ADM与三角形BCN的面积之和为7.8平方厘米，则三角形 AMO与三角形BNO的面积之和是4.2平方厘米，则四边形PMON的面积=三角形 ABP面积-三角形AMO与三角形BNO的面积之和-三角形ABO面积 =12-4.2-6 = 1.8 （平方厘米）.【巩固】如图所示，长方形ABCD内的阴影部分的面积之和为70, A
9、B = 8 , AD = 15，四 边形EFGO的面积为.【分析】利用图形中的包含关系可以先求出三角形AOE、DOG和四边形EFGO的面积之 和，以及三角形AOE和DOG的面积之和，进而求出四边形EFGO的面积.由于长方形ABCD的面积为15x8 = 120，所以三角形BOC的面积为120x1 = 30，43 所以三角形AOE和DOG的面积之和为120x -70 = 20 ;4=30，所以四边又三角形AOE、DOG和四边形EFGO的面积之和为120 x形EFGO的面积为30-20 = 10 .另解：从整体上来看，四边形EFGO的面积=三角形AFC面积+三角形BFD面积 -白色部分的面积，而三角
10、形AFC面积+三角形BFD面积为长方形面积的一半， 即60，白色部分的面积等于长方形面积减去阴影部分的面积，即120 - 70 = 50，所 以四边形的面积为60-50 = 10 .【例7】（2004年第九届“华罗庚金杯赛”初赛）如图，大小两个半圆，它们的直径在同一直线上，弦AB与小圆相切，且与直径平行，弦AB长12厘米.求图中阴影部 分的面积（圆周率n= 3.14）.O【分析】设小圆的半径为r，大圆的半径为R，那么所求的阴影部分的面积为欢2一 n .2如图，设大圆圆心为O ,连接OB ,过O作AB的垂线，垂足为C .那么C为AB的 中点.由于AB与小圆相切且与直径平行，所以OC的长与小圆半径
11、相等，即OC = r .一. 、一.一，一（12V考虑直角三角形OBC，根据勾股定理，R 2 - r 2 =3） = 36，所以阴影部分的面积为诋欢=18n = 56.52 （平方厘米）.2（此处需要讲一个整体求解的几何题，跟圆环有关。）【例8】（2009年第十四届“华罗庚金杯赛”初赛）如下图所示，AB是半圆的直径，O是圆心，AC = CD = DB，M是CD的中点，H是弦CD的中点.若N是OB上一 点，半圆的面积等于12平方厘米，则图中阴影部分的面积是平方厘米.a） 如下图所示，连接OC、OD、OH .M本题中由于C、D是半圆的两个三等分点，M是CD的中点，H是弦CD的中点， 可见这个图形是
12、对称的，由对称性可知CD与AB平行.由此可得ACHN的面积与 CHO的面积相等，所以阴影部分面积等于扇形COD面积的一半，而扇形COD的 面积又等于半圆面积的-，所以阴影部分面积等于半圆面积的1，为12x- = 2平366方厘米.【巩固】如图，正方形的边长为10，四边形EFGH的面积为5，那么阴影部分的面积 是.分析如图所示，设AD上的两个点分别为M、N .连接CN根据面积比例模型，ACMF与ACNF的面积是相等的，那么ICMF与NBNF的面 积之和，等于XCNF与ABNF的面积之和，即等于ABCN的面积.而ABCN的面积为正方形ABCD面积的一半，为102 x - = 50 .2又ICMF与
13、ABNF的面积之和与阴影部分的面积相比较，多了 2个四边形EFGH的 面积，所以阴影部分的面积为：50-5x 2 = 40 .【巩固】如下图，在梯形ABCD中，AB与CD平行，且CD = 2AB，点E、F分别是AD和 BC的中点，已知阴影四边形EMFN的面积是54平方厘米，则梯形ABCD的面积是 平方厘米.【分析】连接EF，可以把大梯形看成是两个小梯形叠放在一起，应用梯形蝴蝶定理，可以 确定其中各个小三角形之间的比例关系，应用比例即可求出梯形ABCD面积.1 3 设梯形ABCD的上底为a，总面积为S .则下底为2a，EF = -(a + 2a)= -a .2 2.33所以 AB: EF = a
14、 :一 a = 2:3，EF : DC = a :2a = 3: 4 .由于梯形 ABFE 和梯形22EFCD 的 高 相 等，所 以S梯 形ABFE:S梯形=(AB + EF ): (EF + DC)=(3 r 3)a + a 2 :a + 2a L 2 J=5: 7八57梯 形ABFE 12 ，梯形 EFCD -2 根据梯形蝴蝶定理，梯形ABFE内各三角形的面积之比为一一 ，一995322 : 2 x 3 : 2 x 3:3 2 = 4: 6: 6:9，所以 S =S = x S = S ;EMF 4 + 6 + 6 + 9 梯 形ABFE25 1220一9973同理可得 S =S = x
15、 S S，ENF 9 +12 +12 +16 梯形EFCD 49 1228339所以，EMFN等EMF + S ENF=赤+五=示S，由于S EMFN 54平方厘米， 所以S = 54 + -9 210(平方厘米).350数论【例9】（2009年第十四届“华罗庚金杯赛”初赛）在大于2009的自然数中，被57除后，商与余数相等的数共有个.【分析】根据题意，设这样的数除以57所得的商和余数都为a （ a 2009，得到 a 2009:58 = 34，由于a 为整数，所 58以a至少为35.又由于a 57，所以a最大为56，则a可以为35, 36, 37, ， 56.由于每一个a的值就对应一个满足条件的数，所以所求的满足条件的数共有 56 - 35 +1 = 22 个.【巩固
