《几何体的几何特征与点线面关系》由会员分享，可在线阅读，更多相关《几何体的几何特征与点线面关系（31页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、备战2020高考夕冲破压轴）第四章立体几何专题16几何体的几何特征与点线面关系【压轴综述】在立体几何中，判定和证明空间的线线、线面以及面面之间的位置关系（主要是平行与垂直的位置关 系），计算空间图形中的几何量（主要是角与距离）是两类基本问题.正确揭示空间图形与平面图形的联系， 并有效地实施空间图形与平面图形的转换是分析和解决这两类问题的关键.要善于将空间问题转化为平面 问题：这一步要求我们具备较强的空间想象能力，对几何体的结构特征要牢牢抓住立体几何压轴题多以选择题、填空题形式出现，往往与不等式、导数、三角函数等相结合，具有一定 的综合性.其中折叠问题、几何体的切接及截面问题、角的计算问题等比较
2、多见一. 折叠问题最重要的是找到折叠之前与折叠之后不变量，这是两个图形的桥梁，再结合新图形的新特征处理.二. 空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应 点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程 组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角.三. 几何体的切接、截面问题：（1）求解与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接.解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位 置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的
3、中心， 正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的 直径等.通过作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素 间的关系求解.这样才能进一步将空间问题转化为平面内的问题；（2）转化后如何算？因为已经是平面内的问题，那么方法就比较多了，如三角函数法、均值不等式、坐标法， 甚至导数都是可以考虑使用的工具.四. 角的计算问题1. 二面角的平面角及其求法有：定义法、三垂线定理及其逆定理、找公垂面法、射影公式、向量法等，依 据题目选择方法求出结果.2. 求异面直线所成角的步骤:一平移，将两条异面直线平移成相交直线.二定
4、角,根据异面直线所成角的定义 找出所成角.三求角，在三角形中用余弦定理或正弦定理或三角函数求角.四结论.3. 线面角的计算：（1）利用几何法：原则上先利用图形“找线面角”或者遵循“一做-二证-三计算”.（2）利用向量法求线面角的方法（i分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角（或其补角）；（ii）通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角（钝角时取其补角），取其余角 就是斜线和平面所成的角.下面通过例题说明应对这类问题的方法与技巧.【压轴典例】兀 例1. （2019 .安徽局三月考（理）在长方体ABCD ABfD中，BC = CC = 1
5、, NA?B ，则直线AB1与BC1所成角的余弦值为（）f2，AD = Bq - yf2，由 NADB =，知 AB 6，又BC P ADZB AD1是AR与Bq所成的角.在 AABD 中，AB = BD =、目，cos ZB AD =M 土 .选 D.1 1 i i ii i 2714例2. （2019 -陕西高三月考（理）已知正方体ABCD - AiBiCiDi的体积为16J2，点P在正方形AgCg上，且AC到p的距离分别为2,2寸则直线CP与平面BDDiBi所成角的正切值为（）A巫 A.2b1c. 21D. 3【答案】A【解析】易知AB = 2克；连接CP，在直角ACCP中，可计算CP
6、= JCP2 CC2 2；又AP = 2,AC = 4 1111111所以占P是AC的中点；连接AC与BD交于占O ,易证AC 平面BDD B ,直线CP在平面BDD B内 i i,jj 八、，匕i i，一i i的射影是OP，所以ZCPO就是直线CP与平面BDD1B1所成的角，在直角ACPO中，2一 COtan ZCPO =PO2例3. （2019 浙江高考真题）设三棱锥V - ABC的底面是正三角形，侧棱长均相等，P是棱VA上的点（不含端点），记直线PB与直线AC所成角为a，直线PB与平面ABC所成角为P，二面角P- AC- B的平B. P a,P yC. P a,yaD. aP,Y P方法
7、1：如图G为AC中点，V在底面ABC的投影为O则P在底面投影D在线段AO上，过D作de垂直AE，易得PE / /VG，过P作PF/ AC交VG于F过D作DH / /AC，交BG于h，则PF a = ZBPF, p = /PBD, y = APED，则 cos a = -jEGPBDH BD 八=tan pED BD即J p，综上所述，答案为B.tan y =方法2：由最小角定理pa，记V AB C的平面角为Y（显然Y = Y由最大角定理p%=” 即二三 Am： r .故选：A.例5.（黑龙江省哈尔滨市第六中学2018届押题卷（一）如图，在正方体三二三_二_中，苴=1 ,过直线三二一的平面Q -
8、平面二_三三则平面Q截该正方体所得截面的面积为（）A. 5 B.3C. = D. y【答案】D【解析】如图所示，连接二二交三二一于三，取.=一中点r,连接三=、.-_、=三一和二一%危一A村易得二-：-_，-，-_- 面二_口-二：一面二 _ 口 -，；三二藏如.-二为平面:，截该正方体所得截面，且二-二三二，三二二土王二土二二三一次危号二一三三，即平面:截该正方体所得截面的面积为；.故选D.例6. （2018年理新课标I卷）已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面a所成的角相等，则a截此 正方体所得截面面积的最大值为（）3J32-J33J2 J3A. 丁B. 丁C. 丁D.- 【答案】A
9、【解析】根据相互平行的直线与平面所成的角是相等的，所以在正方体中，平面由与 线所成的角是相等的，所以平面，|久与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等的，同理 平面J/）也满足与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等，要求截面面积最大，则截面的位置为夹在 两个面，久与c/。中间的，且过棱的中点的正六边形，且边长为*，所以其面积为 故选A.例7.（黑龙江省哈尔滨市第六中学2018届押题卷（二）在匕。中，项出:分别为AHC.AC三边中点，将分别沿，几优向上折起，使W拓重合，记为，则三棱锥S的外接球面积的最小值为.【答案】列 【解析】由题意得三棱锥S-EFG的对棱分别相等，将三棱锥S-EFG补充成长
10、方体，则对角线长分别为婉，Vim设长方体的长宽高分别为jg yr小则x2 +y2 -m, y2 + z2 = 10z x2 -z2 = n?x2+y2 + z2 = 5 + J:品+ 而=4,（）2 =4 ,. U+亨纹三棱锥S-EFG的外接球面积的最小值为：4jtx ：=9工故选：D.例8. （2017 全国高考真题（理）a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC 所在直线与a，b都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论： 当直线AB与a成60角时，AB与b成30。角； 当直线AB与a成60角时，AB与b成60。角； 直线AB与a所成角的最小值为45； 直线
11、AB与a所成角的最大值为60.其中正确的是.（填写所有正确结论的编号）【答案】【解析】由题意知，a、b、AC三条直线两两相互垂直，画出图形如图，不妨设图中所示正方体边长为1, 故|AC|=1, |AB| =、万斜边AB以直线AC为旋转轴，则A点保持不变，B点的运动轨迹是以C为圆心，1为半径的圆，以C坐标原点，以CD为x轴，CB为y轴，CA为z轴，建立空间直角坐标系，则 D （1，0，0），A （0，0，1），直线 a 的方向单位向量 a = （0，1，0），| a |=1， 直线b的方向单位向量b = （1，0，0），| b |=1，设B点在运动过程中的坐标中的坐标B/（cos0，sin0，0
12、）， 其中0为B，C与CD的夹角，0 eQ，2n ），.AB，在运动过程中的向量，AB = （cos0，sin0，-1），| AB，| =巨兀设AB1与a所成夹角为a eQ，（-coSB，- szn0，1）-（0,1，0 ）| 扼则 cosa =厂E =i Isin0 |eQ，a J AB2兀a日 ，4兀5】，.正确，错误.兀设AB，与b所成夹角为p仁0，AB-b（-cosB，sinB，1）.（1，0,0） -J2兀当AB与a夹角为6Q。时，即a=|sin0| =飞：2cosa = （2cos吐=32R技 cos20 +sin20 一 1，cosp = |cos0p仁0，了 ，p =，此时AB与b的夹角为6Q， 匕J.正确，错误.A故答案为：.【压轴训练】1. （2018届湖南省郴州市二中第六次月考）已知三棱锥二-二三的底面二二是直角三角形，.-：L工， .-一三二.-一三二=，如平面.51,是二的中点.若此三棱锥的体积为则异面直线疽与所成角的大小为（A. 45B. 90C. 60D. 30【答案】 【解析】 ,二二上平面=二：，二一三：=二二口 二-= .三棱锥的体积=:二-二，.二-=4,.二支-二-一：二二m ：二二设的中点为I,连接三，侦，如图，则三二：二二 了 疽=手 =：.二 二三二：三二=-二.=是正三角
