《高数上册知识点》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高数上册知识点（18页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、高等数学上册知识点二函数与极限(一)函数1、函数定义及性质(有界性、单调性、奇偶性、周期性)；2、反函数、复合函数、函数的运算；3、初等函数：募函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数、双曲函数、反双曲函数；4、函数的连续性与间断点；函数f(x)在X0连续limf(x)f(X0)XX0第一类：左右极限均存在.间断点A可去间断点、跳跃间断点:第二类：左右极限、至少有一个不存在.无穷间断点、振荡间断点5、闭区间上连续函数的性质：有界性与最大值最小值定理、零点定理、介值定理及其推论.(二)极限1) 定义2) 数列极限limxna0,N,nN,xnan3) 函数极限limf(x)A0,0,x,当
2、0xx0时，f(x)AXX0左极限：f(x0)limf(x)右极限：f(x0)limf(x)xx0xx0limf(x)A存在f(x0)f(x0)xX02、极限存在准则1)夹逼准则:1) ynxnZn(n叫)A2) limynlimznalimxna7nnn2、 单调有界准则：单调有界数列必有极限.3、 无穷小(大)量1) 定义：若1im0则称为无穷小量；若lim则称为无穷大量.2) 无穷小的阶：高阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小、k阶无穷小Th10();Th2 , lim 一存在，贝U lim lim(无穷小代换)4、 求极限的方法1) 单调有界准则;2) 夹逼准则；3) 极限运算准则及函数连
3、续性;a)sin x lim x 0 x4) 两个重要极限：一1xb)lim(1x)xlim(1-)eU)x0xx5) 无穷小代换：(x0)a) xsinxtanxarcsinxarctanx12b) 1C0sx2xc) ex1x(ax1xlna)d) ln(1 x) x(loga(1x) In a)e)(1x)1x导数与微分（一）导数定义：f （xo）limx x0f(x) xf(x。) xo左导数:右导数:f(x)f(xo)f(x0)lim-xxoxx0f(x)f(xo)f(x0)lim-xxoxx0函数f（x）在x点可导f（x。）f（x。）2、 几何意义：f（x）为曲线yf（x）在点x,
4、f（x）处的切线的斜率.3、 可导与连续的关系：f（x）在小点可导f（x）在x0点连续4、 求导的方法1）导数定义；2）基本公式；3）四则运算；4）复合函数求导（链式法则）；5）隐函数求导数；6）参数方程求导；7）对数求导法.5、 高阶导数d2yddy1) te义：dx2dxdx(n)2) Leibniz 公式：uvCku(k)v(n k) o（二）微分i）定义：y f（xox）f(x0) Ax o(x）,其中A与x无关.2）可微与可导的关系：可微可导，且dy f(x。) x f (%)dx三、微分中值定理与导数的应用（一）中值定理1、Rolle定理：若函数f(x)满足：1)f(x)Ca,b；
5、2)f(x)D(a,b)；3)f(a)f(b)；则(a,b),使f()0.2、Lagrange中值定理：若函数f(x)满足：1)f(x)Ca,b；2)f(x)D(a,b)；则(a,b),使f(b)f(a)f()(ba).3、Cauchy中值定理：若函数f(x),F(x)满足：l)f(x),F(x)Ca,b；2)f(x),F(x)D(a,b)；3)F(x)0,x(a,b)(a,b),使f(b)F(b)f(a)F(a)（二）洛必达法则、/、八、,、二二汪息:1、尽量先化简（有理化、无穷小代换、分离非零因子）再用洛必达法则！1XcosX如：lim4X0tanx2、对于某些数列极限问题，可化为连续变量
6、的极限,然后用洛必达法则！如：limn3.洛必达法则是一种很有效的方法，但不是万能的!x+cos(x7)如：limx-1oov如：limXFcoslXsinx（三）Taylor公式n阶Taylor公式:f(X)f(X。) f (Xo)(X X。)f (A),、22! (x xo)f (Xo)n!(x Xo)nf (n 1) ()(n 1)!n 1(X Xo)在xo与X之间.当X。0时，成为n阶麦克劳林公式:f(x) f(0)H0)x X10)x2 X XUx”1!2!n!(n 1)!在0与x之间.常见函数的麦克劳林公式:1)12xx2!1n一xn!(nen1x1)!2)sinx3)cosx4)
7、ln(1x)5)(1x)(四)2、在0与x之间,357xxx3!5!7!在。与X之间,246xxx2!4!6!在0与x之间，234xxxx一一一234在0与x之间,1x2!(1)(在0与x之间,单调性及极值单调性判别法：f(x)1)m1)m1)2m1x(2m1)!2m2x(2msincos2)!1)(2)3!(n(2m1)-22m1x(2m1)!2m22mx(2m)!nn1(1)x1)(1)n1(1)(n1)nxn!n)(1)n1n1x(n1)!Ca,b,f(x)D(a,b)单调增加；则若f(x)0,则f(x)单调减少.极值及其判定定理:则若f(x)0,则f(x)a)必要条件：f(x)在x0可
8、导，若x0为f(x)的极值点，则f(刈)0.b)第一充分条件：f(x)在X。的邻域内可导，且f(%)0,则若当XX。时，f(X)0,当XX。时，f(x)0,则X。为极大值点；若当XX。时，f(X)。，当XX。时，f(X)。，则X。为极小值点；若在X。的两侧f(X)不变号，则X。不是极值点.c)第二充分条件：f(X)在X。处二阶可导，且f(X。)。，f(x0)0,则若f(X。)。，则X。为极大值点；若f(X。)。，则X。为极小值点.3、凹凸性及其判断，拐点,、X0,X1X2、f(Xi)f(X2)1)f(X)在区间I上连续，若X1,X2I,f(y二)1222,则称f(X)在,上XX2、f(X1)f
9、(x2)区间I上的图形是凹的；若X1,X2I,f(工一)2，则称f(X)在区间I上的图形是凸的.2)判定定理：f(X)在a,b上连续，在(a,b)上有一阶、二阶导数，则a)若x(a,b),f(X)。,则f(x)在a,b上的图形是凹的;b)若x(a,b),f(x)。,则f(x)在a,b上的图形是凸的.3)拐点：设yf(x)在区间I上连续，x。是f(x)的内点，如果曲线yf(x)经过点(x。，f(x。)时，曲线的凹凸性改变了，则称点(x。，f(x。)为曲线的拐点.(五)不等式证明1、利用微分中值定理；2、利用函数单调性；3、利用极值(最值).(六)方程根的讨论1、 连续函数的介值定理；2、Roll
10、e定理；3、函数的单调性；4、极值、最值；5、凹凸性.(七)渐近线1、铅直渐近线：limf(x)，则xa为一条铅直渐近线；xa2、水平渐近线：Jimf(x)b，则yb为一条水平渐近线；xf(x)3、斜渐近线：limkhmf(x)kxb存在，则ykxb为一条斜xxX渐近线.(八)图形描绘步骤：1 .确定函数yf(x)的定义域，并考察其对称性及周期性；2 .求f(x),f(x)并求出f(x)及f(x)为零和不存在的点；3 .列表判别函数的增减及曲线的凹向，求出极值和拐点；4 .求渐近线；5 .确定某些特殊点，描绘函数图形.四、不定积分(一)概念和性质1、原函数：在区间I上，若函数F(x)可导，且F
11、(x)f(x),则F(x)称为f(x)的一个原函数.2、不定积分：在区间I上，函数f(x)的带有任意常数的原函数称为f(x)在区间I上的不定积分.3、基本积分表（P188,13个公式）；4、性质（线性性）.（二）换元积分法1、第一类换元法（凑微分）：f（x）（x）dxf（u）duu（x）2、第二类换元法（变量代换）：f（x）dxf（t）出ti（x）（x）（三）分部积分法：udvuvvdu（四）有理函数积分1、“拆”；2、变量代换（三角代换、倒代换、根式代换等）.五、定积分（一）概念与性质:b定义：af(x)dxn叫 f( i) xii 12、性质：（7条）性质7 （积分中值定理）函数f（x）在
12、区间a,b上连续，则a,b,使bf (x)dxf( )(b a)f(x)dx(平均值：f()七)ba（二）微积分基本公式（NL公式）x1、变上限积分：设（x）afdt,则（x）f（x）d(x)推广一，、f(t)dtf(x)(x)f(x)(x)dx(x)b2、NL公式：若F(x)为f(x)的一个原函数，则af(x)dxF(b)F(a)(三)换元法和分部积分b1、换元法：f(x)dxf(t)(t)dtabbb2、分部积分法：udvuvaavduaa(四)反常积分1、 无穷积分：tf(x)dxlimf(x)dxatabbf(x)dxlimtf(x)dx0f(x)dxf(x)dxf(x)dx2、 瑕积
13、分：bbaf(x)dxlimtf(x)dx(a为瑕点)ataf(x)dxtlimaf(x)dx(b为瑕点)tba两个重要的反常积分：,p1dx1p1) axp-p1P1(b a)1q1 qdxbdxbdx2) a(xa)qa(bx)q六、定积分的应用（一）平面图形的面积b1、直角坐标：Af2（x）fi（x）dxa222、极坐标：A22()1()d（二）体积1、旋转体体积:a）曲边梯形yf（x）,xa,xb,x轴，绕x轴旋转而成的旋转体的体积:b2Vxf(x)dxab)曲边梯形yf(x),xa,xb,x轴，绕y轴旋转而成的旋转体的体积:bVya2xf(x)dx(柱壳法)b2、平行截面面积已知的立体：VA(x)dxa(三)弧长1、直角坐标：sf(x)2dxa:221.2、参数方程：s(t)(t)出223、极坐标：sV()()d七、微分方程(一)概念1、微分方程：表
