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1、重庆市2020届高三数学三模考试试题 理(含解析)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1.已知为虚数单位,复数满足:,则在复平面内对应点的坐标为( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】把已知等式变形,利用复数代数形式的乘除运算化简即可【详解】由,得,复数z在复平面内对应的点为(0,1),故选:B【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算,考查复数的代数表示法及其几何意义,属于基础题2.已知集合,集合,若“”是“”的必要不充分条件,则实数的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由题意得,问题
2、转化为集合A是集合B的真子集,得到关于的不等式组,解出即可【详解】因为“”是“”的必要不充分条件,所以集合A是集合B的真子集,又集合,且,所以故选:A【点睛】本题考查了必要不充分条件,考查集合的包含关系,属于基础题3.等差数列的前项和为,已知,则的值等于( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由题意可得成等差数列,代入数据可得【详解】等差数列的前项和为,由题意可得成等差数列,故,代入数据可得,解得故选:C【点睛】本题考查等差数列前n项和的性质,属于基础题4.双曲线的一条渐近线与直线垂直,则双曲线的离心率为( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先求双曲线的一条渐
3、近线为,再利用直线互相垂直得,代入即可.【详解】双曲线的一条渐近线为,渐近线与直线垂直,得,即,代入故选:C【点睛】本题考查了双曲线的离心率求法,渐近线方程,属于基础题.5.二项式的展开式中第项是常数项,则的值是( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用二项展开式的通项公式,得第7项x的指数,利用指数为零,求出n的值【详解】二项式的展开式中第项为 ,由于第7项为常数项,则n90,解得n9故选:B【点睛】本题考查二项展开式的通项公式的理解与应用,属于基础题6.已知向量、的夹角为,则在方向上的投影为( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由题意,先求,再求在方向上
4、的投影为:,代值求出结果即可【详解】已知向量、的夹角为, 在方向上的投影为:故选:D【点睛】本题考查向量的投影的求法,考查向量数量积公式的应用,属于基础题7.如图给出计算值的一个程序框图,其中空白的判断框内应填入的条件是( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用程序框图的循环结构依次求出结果即可【详解】根据程序框图:,执行第一次循环时:,执行第二次循环时:,依此类推,当时,输出结果其中判断框内应填入的条件是:故选:C【点睛】本题考查循环结构的程序框图,主要考察学生的运算能力和转换能力,属于基础题8.已知是定义在上的奇函数,且满足,当时,则( )A. B. C. D. 【答案】
5、B【解析】【分析】根据奇函数和,得函数的周期为4,利用函数周期性和奇函数的关系进行转化即可得到结果【详解】奇函数f(x)满足,f(x+1)f(1x)f(x1),即f(x+2)f(x),则f(x+4)f(x+2)f(x),即函数f(x)是周期为4的函数,当x时,f(x)log2(x+1),f(2020)f(50541)f(1)f(1)log221.故选:B【点睛】本题主要考查函数值的计算,利用函数的奇偶性和周期性进行转化是解决本题的关键,属于基础题9.被誉为“中国现代数学之父”的著名数学家华罗庚先生倡导的“优选法”在生产和科研实践中得到了非常广泛的应用,就是黄金分割比的近似值,黄金分割比还可以表
6、示成,则( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由题意得m2sin18,4m24cos218,利用诱导公式,二倍角的正弦函数公式化简,计算即可得解【详解】由题意得m2sin18,4m244sin2184(1sin218)4cos218,故选:C【点睛】本题主要考查了同角三角函数基本关系式,诱导公式,二倍角的正弦函数公式在三角函数化简求值中的应用,属于基础题10.今年4月,习近平总书记专程前往重庆石柱考察了“精准脱贫”工作,为了进一步解决“两不愁,三保障”的突出问题,当地安排包括甲、乙在内的名专家对石柱县的个不同的乡镇进行调研,要求每个乡镇至少安排一名专家,则甲、乙两名专家安排在
7、不同乡镇的概率为( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先求出甲、乙两名专家被分配在同乡镇的概率,由此能求出甲、乙两名专家不在同乡镇的概率【详解】记甲、乙两名专家被分配在同乡镇的事件为A,名专家分到个不同的乡镇,共有2种情况,1种情况为1,1,3人,另1种情况为1,2,2人.那么,所以甲、乙两名专家不在同乡镇的概率为:故答案:【点睛】本题考查了分步计算原理的运用问题,也考查了间接法和古典概型的计算问题,属于基础题11.在长方体中,分别是棱的中点,是底面内一动点,若直线与平面平行,则三角形面积最小值为( )A. B. 1C. D. 【答案】C【解析】【分析】由直线与平面没有公共点
8、可知线面平行,补全所给截面后,易得两个平行截面,从而确定点P所在的线段,计算即可【详解】分别取的中点H,Q,R,补全截面EFG为截面EFGHQR如图所示,设BRAC,直线D1P与平面EFG不存在公共点,D1P平面EFGHQR,易知平面ACD1平面EFGHQR,PAC,且当P与R重合时,BPBR最短,此时PBB1的面积最小,由等面积法:BRACBABC,得,即,又BB1平面ABCD,BB1BP,PBB1为直角三角形,PBB1的面积为:.故选:C点睛】本题考查了线面平行,面面平行的应用,三角形面积公式,属于中档题12.已知函数 ,函数F(x)f(x)b有四个不同的零点x1,x2,x3,x4,且满足
9、:x1x2x3x4,则的取值范围是( )A. ,+)B. (3,C. 3,+)D. 【答案】D【解析】【分析】函数 有4个不同的零点x1,x2,x3,x4,转化为有4个交点,结合函数的图象得 x1+x24,x3x41,利用换元法求出新函数的值域即可【详解】函数图象如图所示,函数F(x)f(x)b有四个不同的零点x1,x2,x3,x4,且满足:x1x2x3x4,转化为有4个不同的交点,由图象,结合已知条件得 x1+x24,x3x41,0b1,解不等式0log3x1得:x31,令tx32,则t1,令g(t)2t+,则g(t)在,上单调递减,1)上是增函数g(),g(), ,g()g(t)g(),即
10、2t+故选:D【点睛】本题考查了函数零点与函数图象的关系,对数的运算,函数单调性的判断与应用,属于中档题二、填空题:本题共4个小题,每小题5分,共20分,把答案填写在答题卡相应位置上13.已知随机变量服从正态分布,若,则_.【答案】0.8【解析】【分析】随机变量服从正态分布,则正态分布密度函数曲线关于x2对称,由P(3)0.9,即可求得【详解】随机变量服从正态分布,则正态分布的密度函数曲线关于x2对称,所以P(23)P(12),且P(3)0.9,所以P(3)10.90.1,P(1)P(3)=0.1则1-P(3)-P(1)=0.8故答案为:0.8【点睛】本题主要考查了正态分布曲线的对称性解决概率
11、问题,属于基础题14.已知直线与曲线相切,则实数的值为_.【答案】【解析】【分析】设切点坐标P(,ln2),求出导函数y,利用导数的几何意义得ky|xa,再根据切点也在切线上,列出关于和k的方程,求解即可【详解】设切点坐标为P(,ln2),曲线yln2x,y,ky,又切点P(,ln2)在切线ykx上,ln2k,由,解得,代入得k,实数k的值为故答案为:【点睛】本题考查了导数的几何意义求切线的斜率,属于基础题15.已知实数满足,其中,则的最大值为_.【答案】【解析】【分析】由定积分得=2,即实数满足,画出可行域,化简目标函数,令,化为直线方程的斜截式,数形结合得到最大解,把最大解的坐标代入目标函
12、数即可【详解】由定积分计算得,所以实数满足 ,画出可行域,如图所示:化简目标函数,令,得,在可行域内平移,当移动到A时,取最大值.,把A代入,得,此时故答案为:【点睛】本题考查了定积分和指数的计算,简单的线性规划,目标函数的几何意义,考查了数形结合的解题思想方法,属于中档题.16.抛物线和圆,直线与抛物线和圆分别交于四个点(自下而上的顺序为),则的值为_.【答案】16【解析】【分析】设,结合已知条件和抛物线的定义得|AF|x1+2=|AB|+2,即|AB|x1,同理可得:|CD|x4,将直线的方程代入抛物线方程,利用韦达定理求得x1x4,即可得结果【详解】设,y28x,焦点F(2,0),的圆心
13、为,半径,所以直线既过抛物线的焦点F,又过圆的圆心.抛物线的准线 l0:x2由抛物线定义得:|AF|x1+2,又|AF|AB|+2,|AB|x1,同理:|CD|x4,则直线:yx2代入抛物线方程,得:x212x+40,x1x44,则|AB|CD|4又,综上所述,44=16故答案为:16【点睛】本题主要考查抛物线的定义,直线与抛物线和圆的位置关系,韦达定理的应用,考查学生的计算能力,属于中档题三、解答题:共70分.解答时应写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程.并答在答题卡相应的位置上.第17题第21题为必考题,每个试题考生都必须做答.第22题第23题为选考题,考生根据要求作答(一)必考题:共6
14、0分17.已知函数,其中,且的最小值为,的图象的相邻两条对称轴之间的距离为,的图象关于原点对称.(1)求函数的解析式和单调递增区间;(2)在中,角所对的边分别为,且,求.【答案】(1)f(x)2sin(x+),递增区间为:;(2)【解析】【分析】(1)由题意可求f(x)的A和周期T,利用周期公式可求,利用正弦函数的对称性可求,可得f(x)的解析式和单调递增区间;(2)由余弦定理,结合已知条件,求出B,代入f(x)化简求值即可.【详解】(1)函数,其中,函数的最小值是-2,A2,的图象的相邻两条对称轴之间的距离为,T,解得:.又的图象关于原点对称, f(x)的图象关于对称. ,解得:,又,解得:可得:f(x)2s