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1、曲线拟合的应用摘要：在实际问题中，常常会从一组数据中筛选出对自己有用的部分，这样的问题可转化为寻找一种 函数曲线去拟合这些数据，在解决这类问题的数据处理和误差分析中应用最广泛的是曲线拟合。它不 但可以提高数据处理效率，而且还能保证相当的精确度。关键词：曲线拟合，最小二乘法，应用1. 直线拟合直线拟合数据点（土，少（iT2的最小二乘法，即找一个一次函麴=小+ B，使二元函数E(A, B) = 2： (Ax + B - y )2i=1达到最小。由多元函数取得极值的必要条件知，由方程组:dE (A, B) =乙冷 +-p x. = 0i=1EABl=2 2( x +-y ) .1=0dBi ivi=
2、1化简可得正规方程组:（1-1）A(Zx2) + B(Ex ) = lLxyi i i ii=1i=1i=1A(2Lx ) + nB = lLyi=1i=1由方程组（1-1）解出AB，即得一次函数y = Ax+B为所求的拟合直线2. 幂函数拟合在某些情况下的拟合函知=Axm，其中M是一个已知常数 设（七,七）有n个点，最小二乘幂函数拟合曲线y = Axm，求函数E（A）的最小值?E(A)=云(Ax M - y )2i=1对上式求关于A的导数:令导数等于0,化简得:Ef(A)=云 2(Axm - y ) . (xm ) i J J i=1A(Z X 2 M )- (XMy ) = 0i=1i=1
3、 (XMy) i iA = -i=1乙X 2 M i i=1即：y = Axm为所求的拟合曲线。3. 指数拟合3.1求解y = CeAx的非线性最小二乘法设给定一组点集(土, yi)(i = 1,2,n)，需要拟合指数曲线采用非线性最小二乘法求下式的最小值:E(A, C) = (CeAxi - y )2 i i=1对上式分别求关于的偏导数，并令导数等书E* C)= 2(CeAxi - y )CeAxi -(x) = 0dAi ii=1洗.C)= 2(CeAx, - y ) . (eA. ) = 0 cCii=1C (x e2Ax.) - (x y eAx.) = 0 ii=1LC (eI i=
4、1方程(3.1-3)对于未知数A和C化简可得正规方程组:(3.1-3)i i i=12 Axi )- (y eAxi) = 0i i=1是线性的，可用牛顿法求解。但这是一个耗时的计算，而且迭代 需要好的A和C的初始值。3.2求解y = CeAx线性化方法设给定一组点集(土, yi)(i =1,2,n，求指数函数y = CeAx的拟合曲线对上式两边同取对数得：ln y = ln C + Ax令：Y = In y , B = In C , X = x得：Y = AX + Bxy平面上的初始点集3, y)变成平面上XY的点集(X ,Y) = (x ,ln y)，这个过程称为数据线性化。i ii i
5、i i这样可用最小二乘拟合曲线拟合点集(XY)，求解A和B的正规方程组为:AXt 2)+ B (土) 二 土匕vi=1i=1i=1A(Xx.) + nB = Hl i=1i=1解出A和B，C = eB.4. 线性最小二乘法的一般形式一般地，设给定数据组(x, y)(i =1,2, n , P (x)& (x),P (x)为已知的一组屋,b上线性i i01m无关的函数，选取近似函数为：P (x) = a p (x) + a p (x) + + a p (x)0 01 1m m使得:Vr I V V 工y -p(x)2 = y 一无ai ii=1i=1a p (x )k=0(4-1)=min 咒y
6、 -v (x ) 2H为p0(x),p1(x), ,pm(x)的线性组合的全体，这就是线性最小二法的一般形式。特别地，取pk(x) = xk(k = 0,L , m)，就是多项式拟合。上述问题的正规方程组为 y -p(x )p (x ) = 0i i j ii=1ap (x )p (x ) = yp (x )k k i j ii j ik=0i=1如果记(pk , p.) = %( x)p.( x)k=1(j = 0,1, , m)(4-2)即:(j = 0,1, , m)(4-3)li=1(y,p ) = W y p (x )方程组(4-3)可表示成矩阵形式: ji j ii=1-（私中）（
7、中，中）（中，中）_a (y,中)000 10 m00(中&)（中，中）（中，中）a（y,中）:1 011 1 m:1 =:1L (气,%)（气咒）.*(气n-a mL( y,气)(4-4)由中（x）（k = 0,1,m）线性无关可导出式（4-4）的系数非奇异，从而保证了方程组的解存在唯k 5. 多项式拟合对给定的数据组（七，七）（i= 0，L，n去一个m次多项式（秫 n）+ a Xmm使得:Ee 2 =E y P (x )2 = F (a , a , a , , a )ii m i012 mii=1i=1（5-2）为最小，即选取参数:a （i = 0,Li,m），使得,a ） = y - p
8、 （x ）2 = minmi=1 m 1 咿其中H为至多m次多项式集合。.这就是数据的m次多项式拟合，y -v （x ）2iii=1称为这组数据的最小二嘛次拟合多项式。由多元函数取得极值的必要条件，得方程组:竺= -2(y -axk). xj = 0dai k i iji=1k=0(i = 0,1, , m)移项得:a(xk+j) = yxj k ii ik=0 i=1i=1（5-3）即:na + a 乙)+ a (x 2) + + a (x m) =y 01 i 2 im iii=1i=1i=1i=1a (乙)+ a (x 2) + a (Ex：) + +a ( =yx0 i 1 i 2 i
9、m ii ii=1i=1i=1i=1i=1a (Exm) + a (Exm+1) +a (Exm，) + +a (Ex 2m) =yxm0 i 1 i2 im ii ii=1i =1i =1i =1i =1（5-4）这是最小二乘拟合多项式的系数ak（k = 0,1, ,m）应满足的方程组，称为正规方程组。由函数组1,x, x2, , xm的线性无关性可证明，方程组5-4）存在唯一解，且解所对应的多项式5-1）必定（5-1）是已给数据组(Xj,七)(i =1,2, , n的最小二乘初次拟合多项式。 6. 矛盾方程组的最小二乘解设 A g Rmxn, X g R ,b g R 方程组为 Ax =
10、b(6-1)其中A为列满秩矩阵，且方程组6-1)是矛盾方程组，则Ax = b n At Ax = Arb因为A列满秩，所以ATA正定对称，因而可逆，从而x = ( AtA)-i ATb为矛盾方程组的最小二乘解。7. 求解数据组的最小二乘拟合函数的一般步骤(1) 由给定数据点确定近似函数的表达式，一般可通过描点观察或经验估计得到。(2) 按最小二乘原则确定表达式中的参数，即由偏差平方和最小导出正规方程组，求解参数。注意：一些简单的非线性最小二乘问题通常需先做变量代换将问题化为线性最小二乘问题再求解。8. 典型应用(1)已知一组实验数据如下表，求它的拟合曲线?Xi-2-1012yi101029解：
11、建立文件w1.mx=-2,-1,0,1,2;y=10,1,0,2,9;plot（x,y,o）xlabel（自变量xi）ylabel（函数 yi）title（散点图）画出所给数据（乂,七）的散点图.,散点图 ，109 -一8 -7 -6 -数5-函4 -3 - 0-2- O-1rrI：III 0-2-1.5-1-0.500.511.52自变量xi图8-1数据的散点图从图可见它像一条抛物线，因而可取抛物线函数=a + ax + a x2. 012将数据带入方程组（5-4）中，得：5a +10 a = 22 10 a =-1110 a + 34 a = 79V 02解得：a = -0.1， a =
12、2.5，a = -0.6.拟合曲线为：y = -0.60.1x+2.5x2（2）设一发射源的发射强度公式形如：/ = Ie -勺 0现测得与的数据如下表：ti0.20.30.40.50.60.70.8Ii3.162.381.751.341.000.740.56使用最小二乘法确定1。与a 0 .解：文寸强度公式两边同取对数得：lnI = -a t + ln10令：Y = In I , X = t, A = -a 0, B = ln 10得：Y = AX + B表8-2数据的代换Xi0.20.30.40.50.60.70.8Y i1.15060.86710.559620.292670-0.3011
13、1-0.57982将数据带入方程组(1-1)中得：J2.03 A + 3.5B = 0.18583.5 A + 7 B = 1.98906解得：A = 2.88832 , B = 1.728311a 0 = 2.88832 , 10 = exp(B) = 5.631135则：强度公式为：I = 5.6313.88位(3) 某乡镇企业2004-2010年的利润如下表所示，试预测2011和2012年的生产利润?年份2004200520062007200820092010利润/（万80116144158174196202元）解：由已知数据做一草图，发现该乡镇企业的年生产利润呈直线上升趋势，因此，可用中（x） = a。+ x作为拟合函数来预测该乡镇企业未来的年生产利润，为简化计算，可把年份记为Xj = 2003 + ti，相应年份的利润记作，求如表8-3所示数据的线性最小二乘拟备=at + b .表8-3数据的简化ti1234567yi80116144158174196202方法一：
