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1、名校精品资料数学高考真题备选题库第2章 函数、导数及其应用第11节 导数的应用考点一 应用导数研究函数的单调性1（2013新课标全国，5分）已知函数f(x)ex(axb)x24x，曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程为y4x4.(1)求a，b的值；(2)讨论f(x)的单调性，并求f(x)的极大值解：本题主要考查导数的基本知识，利用导数判断函数单调性、求极值(1)f(x)ex(axab)2x4.由已知得f(0)4，f(0)4.故b4，ab8.从而a4，b4.(2)由(1)知，f(x)4ex(x1)x24x，f(x)4ex(x2)2x44(x2).令f(x)0得，xln 2或x2.从而当x
2、(，2)(ln 2，)时，f(x)0；当x(2，ln 2)时，f(x)0时，f(x)0，当0x时，f(x)时，f(x)0，函数f(x)单调递增所以函数f(x)的单调递减区间是，单调递增区间是.当a0时，令f(x)0，得2ax2bx10.由b28a0，得x1，x2.当0xx2时，f(x)x2时，f(x)0，函数f(x)单调递增所以函数f(x)的单调递减区间是，单调递增区间是.综上所述，当a0，b0时，函数f(x)的单调递减区间是(0，)；当a0，b0时，函数f(x)的单调递减区间是，单调递增区间是；当a0时，函数f(x)的单调递减区间是，单调递增区间是，.(2)由题意知，函数f(x)在x1处取得
3、最小值由(1)知是f(x)的唯一极小值点，故1，整理得2ab1即b12a.令g(x)24xln x，则g(x).令g(x)0，得x，当0x0，g(x)单调递增；当x时，g(x)0，g(x)单调递减因此g(x)g1ln 1ln 40.故g(a)0，即24aln a2bln a0，即ln a2b.3（2012福建，5分）已知f(x)x36x29xabc，ab0；f(0)f(1)0；f(0)f(3)0.其中正确结论的序号是()ABC D解析：f(x)x36x29xabc，f(x)3x212x93(x1)(x3)，令f(x)0，得x1或x3.依题意有，函数f(x)x36x29xabc的图像与x轴有三个
4、不同的交点，故f(1)f(3)0，即(169abc)(3363293abc)0，0abc4，f(0)abc0，f(3)abc0，故是对的答案：C4（2012辽宁，5分）函数yx2ln x的单调递减区间为()A(1,1 B(0,1C1，) D(0，)解析：函数yx2ln x的定义域为(0，)，yx，令y0，则可得0x1.答案：B5(2009江苏，5分)函数f(x)x315x233x6的单调减区间为_解析：f(x)3x230x333(x210x11)3(x1)(x11)0，解得：1x0时，(xk)f(x)x10，求k的最大值解：(1)f(x)的定义域为(，)，f(x)exa.若a0，则f(x)0，
5、所以f(x)在(，)上单调递增若a0，则当x(，ln a)时，f(x)0，所以，f(x)在(，ln a)上单调递减，在(ln a，)上单调递增(2)由于a1，所以(xk)f(x)x1(xk)(ex1)x1.故当x0时，(xk)f(x)x10等价于k0)令g(x)x，则g(x)1.由(1)知，函数h(x)exx2在(0，)上单调递增而h(1)0，所以h(x)在(0，)上存在唯一的零点故g(x)在(0，)上存在唯一的零点设此零点为，则(1,2)当x(0，)时，g(x)0.所以g(x)在(0，)上的最小值为g()又由g()0，可得e2，所以g()1(2,3)由于式等价于k0.解：(1)由题意得f(x
6、)12x22a.当a0时，f(x)0恒成立，此时f(x)的单调递增区间为(，)当a0时，f(x)12(x)(x)，此时函数f(x)的单调递增区间为(，和，)，单调递减区间为， .(2)证明：由于0x1，故当a2时，f(x)|2a|4x32ax24x34x2.当a2时，f(x)|2a|4x32a(1x)24x34(1x)24x34x2.设g(x)2x32x1,0x1，则g(x)6x226(x)(x)，于是x0(0，)(，1)1g(x)0g(x)1减极小值增1所以，g(x)ming()10.所以当0x1时，2x32x10.故f(x)|2a|4x34x20.考点二 应用导数研究函数的极值和最值1（2
7、013新课标全国，5分）已知函数f(x)x3ax2bxc，下列结论中错误的是()A. x0R，f(x0)0B.函数yf(x)的图象是中心对称图形C.若x0是f(x)的极小值点，则f(x)在区间(，x0)单调递减D.若x0是f(x)的极值点，则 f(x0)0解析：本题考查三次函数的性质，考查数形结合思想，考查考生分析问题和解决问题的能力由于三次函数的三次项系数为正值，当x时，函数值，当x时，函数值也，又三次函数的图象是连续不断的，故一定穿过x轴，即一定x0R，f(x0)0，选项A中的结论正确；函数f(x)的解析式可以通过配方的方法化为形如(xm)3n(xm)h的形式，通过平移函数图象，函数的解析
8、式可以化为yx3nx的形式，这是一个奇函数，其图象关于坐标原点对称，故函数f(x)的图象是中心对称图形，选项B中的结论正确；由于三次函数的三次项系数为正值，故函数如果存在极值点x1，x2，则极小值点x2x1，即函数在到极小值点的区间上是先递增后递减的，所以选项C中的结论错误；根据导数与极值的关系，显然选项D中的结论正确. 答案：C2（2013福建，5分）设函数f(x)的定义域为R，x0(x00)是f(x)的极大值点，以下结论一定正确的是()AxR，f(x)f(x0)Bx0是f(x)的极小值点Cx0是f(x)的极小值点Dx0是f(x)的极小值点解析：本题主要考查函数的极值点、导数等基础知识，意在
9、考查考生的数形结合能力、转化和化归能力、运算求解能力取函数f(x)x3x，则x为f(x)的极大值点，但f(3)f，排除A；取函数f(x)(x1)2，则x1是f(x)的极大值点，但1不是f(x)的极小值点，排除B；f(x)(x1)2，1不是f(x)的极小值点，排除C，故选D.答案：D3已知函数f(x)x(ln xax)有两个极值点，则实数a的取值范围是()A(，0)B.C(0,1) D(0，)解析：本题主要考查导数的应用，利用导数研究函数极值的方法，考查考生运算能力、综合分析问题的能力和化归与转化能力由题知，x0，f(x)ln x12ax，由于函数f(x)有两个极值点，则f(x)0有两个不等的正
10、根，显然a0时不合题意，必有a0，所以0a.答案：B4（2013广东，14分）设函数f(x)x3kx2x(kR)(1)当k1时，求函数f(x)的单调区间；(2)当k0时，求函数f(x)在k，k上的最小值m和最大值M.解：本题以三次函数为背景，主要考查导数在研究函数的单调性、极值、最值中的应用，意在考查考生运用数形结合思想、分类讨论思想解决问题的能力(1)当k1时，f(x)x3x2x，f(x)3x22x1.方程3x22x10的判别式44380，f(x)0恒成立，f(x)的单调递增区间为(，)(2)当k0时，f(x)3x22kx1，方程3x22kx10的判别式4k2434(k23)，当0时，有k230，即k0时，f(x)0恒成立，这时f(x)在k，k上单调递增，有mf(k)k3kk2kk，Mf(k)k3kk2k2k3k.当0时，有k230，即k，令f(x)3x22kx10，解得x10，x20，且x1x20，又x1kk0，于是kx1x20，当kxx1或x2xk时，f(x)0，f(x)为增函数；当x1xx2时，f(x)0，f(x)为减函数，故Mmaxf(k)，f(x1)，mminf(k)，f(x2)先证f(k)f(x1)
