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1、精品文档数列基础知识点和方法归纳.等差数列的定义与性质定义： an 1 and （ d 为常数）， aan 1 dn1等差中项： x， A， y 成等差数列2 Axya1an nn n 1d前 n 项和 Snna122性质：an 是等差数列（）若 m np q，则 amana p aq；（）数列 a2n 1, a2n, a2n 1仍为等差数列， Sn， S2nSn， S3nS2 n仍为等差数列，公差为 n 2 d ；（）若三个成等差数列，可设为a d， a， a d（）若 an， bn 是等差数列，且前 n 项和分别为 Sn， Tn ，则 amS2 m 1bmT2 m 1（） an 为等差数列
2、Snan2bn （ a， b 为常数，是关于 n 的常数项为的二次函数）Sn 的最值可求二次函数Snan2bn 的最值；或者求出an 中的正、负分界项，即：当 a10， dan00 ，解不等式组可得 Sn 达到最大值时的 n 值.an 10当 a1 0， dan00 ，由可得 Sn 达到最小值时的 n 值.an 10()项数为偶数 2n 的等差数列an ，有S2 nn(a1a2n ) n(a2a2 n 1 )n(an an 1 )(an , an 1为中间两项 )S偶S奇nd ， S奇an .S偶an 1（）项数为奇数 2n1的等差数列an ， 有.精品文档S2 n 1(2n1)an (an)
3、 ，S奇S偶an ， S奇n.S偶n1.等比数列的定义与性质定义： an 1q （ q 为常数， q0 ）， an a1qn 1an.等比中项：x G y 成等比数列G2xy ，或 Gxy .na1 (q1)前 n 项和： Sna1 1qn（要注意！）1( q1)q性质： an是等比数列（）若mnp q，则 a ana aqmp（） Sn S2 nSn S3 nS2 n仍为等比数列 ,公比为 q n .注意：由 Sn 求 an 时应注意什么？n 1 时， a1 S1 ；n 2 时， anSnSn 1 .求数列通项公式的常用方法（）求差（商）法如：数列 an ， 1 a1 12 a21nan 2
4、n5 ，求 an解 n 1 时， 1 a12222 1 5 ， a1 142n 2 时， 1 a11a21an 12n 1 52222n 1得： 1an2 ， an2n1 ， an14 (n1)2n 1 (n2)2n练习数列a满足 SS5 aa4 ，求 annnn 13n 11注意到 an 1Sn 1Sn ，代入得 Sn14又 S14 ， Sn 是等比数列， S 4nSnn；.精品文档n 2 时， an Sn Sn 134n 1（）叠乘法如：数列an 中， a1an 1n，求 an3n 1an解a2 a3an12n 1an1又 a13，n3 ， ana1 a2an 123na1n .（）等差型
5、递推公式由 an an 1f ( n) a1a0 ，求 an ，用迭加法a2a1f (2)n 2 时，a3a2f (3)两边相加得 an a1f (2) f (3)f (n)anan 1 f ( n) an a0f (2)f (3)f (n)练习数列an中， a1n 1an 1nan13n11， an 32 ，求 an （2）（）等比型递推公式ancan1d （ c、d 为常数， c0 c 1 d0 ）可转化为等比数列，设 anx c an 1xancan1c1 x令 (c1)x d ， xd， and是首项为a1dc 为公比的等比数列c1c 1c1 anda1cd cn 1 ， ana1d1
6、cn 1d1c11cc（）倒数法如： a11 an 12an，求 anan2由已知得：1an21 1，111an 12an2 anan 1an21为等差数列，11 ，公差为1， 11n111 n 1 ，ana12an22.精品文档2 ann1(附：公 式 法 、 利 用 anS (n 1)1Sn Sn 1 ( n 2) 、 累加 法 、 累 乘 法 . 构 造 等 差 或 等比an 1 pan q 或 an 1pan f (n) 、待定系数法、对数变换法、迭代法、数学归纳法、换元法).求数列前项和的常用方法() 裂项法把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项.n1如： an是公
7、差为 d 的等差数列，求k 1 akak 1解：由11111d 0ak ak dd akak 1ak ak 1n1nk 1 ak ak 1k 11111111111d akak 1d a1a2a2a3anan 1111da1an 1练习求和：1111212 312 3n1anSn21n1（）错位相减法若 an为等差数列， bn为等比数列，求数列 anbn（差比数列）前 n 项和，可由Sn qSn ，求 Sn ，其中 q 为 b的公比 .n如： Sn1 2x 3x24 x3nx n 1xSnx 2x23x34x4n 1 xn 1nxn1 x Sn1x x2xn 1nxn.精品文档1xnnn n 1nx ， x1 时， Snx 1 时， Snx21 2 3n11 x2（）倒序相加法把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加.Sna1a2an 1an相加 2Sna1 ana2 an 1a1 anSnanan 1a2a1x2练习已知f ( x)1x2 ，则f (1)f (2) f1f1f (4)1f (3)3f2412x2x2由 f ( x)1x11f1 x2121 x21 x2x
