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1、三角形全等的判定（二）一、教案目的和要求熟练掌握角边角公理，能正确找出公理的条件，从而证明两个三角形全等，进而由三角形 全等还可以得出对应边相等和对应角相等。利用三角形全等解决证明边相等或角相等的问 题。二、教案重点和难点重点：对于证明两个三角形全等条件的正确运用，可以由两角和夹边对应相等的条件证明 三角形全等，在图形较复杂的情况下，对应关系应当找对，同时对角角边公理应加以重 视。难点：例题难度加强了，使学生能够经过几步推理逐渐找到解题最佳途径。证明两次全 等，运用不同判定公理时，要思路清楚。二、教案过程（一復习、引入提问：1. 我们已经学习了角边角公理，“角、边、角”的含义是什么？（两个三角
2、形的两个角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等）。2. 已知两个三角形有两个角相等，能否推出第三个角也对应相等？为什么？由此可以得到 哪个判定公理？（第三个角也应相等，因为三角形内角和等于180由此可以得到角角边公理）。3. 两个直角三角形中，斜边和一个锐角对应相等，这两个三角形全等吗？为什么？（全等，由AAS公理可得出）4. 两个直角三角形中，有一条直角边和它的对角对应相等，这两个直角三角形全等吗？为 什么？（全等，由AAS公理可得出）5. 两个直角三角形中，有一条直角边和与它相邻的锐角对应相等，这两个直角三角形全等 吗？为什么？（全等，由AAS公理可得出）（二）新课刚才同学们能很快运用AS
3、A和AAS公理证明三角形全等，但是有些题目的条件比较隐蔽，需经过分析方能找到解题的思路，这类题目能锻炼同学们的思维能力，请特别注意， 下面我们看几个例题：例1已知：如图 67,三1=/2, AD = AE求证：OB = OCA图67分析：这题与书中例 1图相同，但改变了已知条件，难度有所增加，所求线段0B和0C分别在BOD和COE中，但直接证这两个三角形全等，条件不够，需要从另两个三角形 全等中创造条件。根据已知条件，可证明AABE三:ACD。证明：在. ABE 和 :ACD 中2A=NA（公共角）丿AE = AD（已知）N2 =N1（已知）.：ABE 三. ：ACD（ ASA ）.AB =
4、AC （全等三角形对应边相等） B = C （全等三角形对应边相等）又 AD = AE （已知）BD 二 CEZ1 = Z 2.BDO =. CEO在.：BOD 和.COE 中2bdoCEO（已证）* BD =CE（已证）NB =NC（已证）.：BOD 三 COE （ ASA ） OB = OC （全等三角形对应边相等）例2已知：如图68, 1= . 2, 3 =. 4 求证：/ADC = ZBCD。DCB分析：所要求证相等的两个角分别在两个三角形中，即UACD和BDC中，欲让此两三角形全等有已知.3 = . 4,这时可有两种思路：若用边角边公理，则应找到AD = BC , AC =BD，若用
5、角边角公理则应证出AC = BD , ACD = . BDC，经过分析，用第一种思路较好。证明：T . 1 = . 2, . 3 = . 4.1 + . 3= 2 +. 4即.BAD = . ABC 在.ABD和, ：BAC中22 =Z1（已知）AB = BA（公共边）NBAD =NABC（已证）.：ABD 三 BAC（ASA）.AD = BC , BD = AC （全等三角形对应边相等）在.:ADC和 BCD中AD = BC（已知）心3 =N4（已证）AC = BD（已证）.：ADC = BCD（SAS）. ADC = BCD （全等三角形对应角相等） 例 3 已知：如图 69, AB/CD
6、 , AB = CD, AD、CB 交于 0 点。 求证：OE= OF。图69分析：此题可以开发学生一题多解的思维，即COD与.汨0A全等既可以用“ AAS ”，又可以用“ ASA ”，进一步再证 OCF :- OBE即可。证明： AB/CD （已知）.C = . B, . D = . A （两直线平行内错角相等） 在.QCD和.QBA中ZC=ZB（已证）；CD = BA（已知）ZD=ZA（已证）.：QCD =. QBA （ ASA ）此时可提问学生：还有没有其他办法证这两个三角形全等?.QC = QB （全等三角形对应边相等）在.QCF和QBE中ZC=B（已证）0C =0B（已证）NFOC
7、=ZEOB（对顶角相等）.：OCF 三.：OBE （ASA ）.OF = 0E （全等三角形对应边相等） 例4 已知：如图 70，在. ABC中，AD_BC于D, CF_AB于F, AD与CF相交于 G,且CG = AB。求证：/ BCA的度数。C分析：图形比较复杂，图中三角形较多，正确分析已知条件后可知应当证明AB和CG所在的三角形，即 UBD和.：CGD全等，然后可知对应边 AD = DC,则DC为等腰直角三 角形，BCA = 45。证明： AD_BC, CF/B-ZB + BAD = . B + DCG = 90 （直角三角形两个锐角互余）.BAD = DCG 在BAD和GGCD中NBA
8、D =NDCG（已证）* NADB = NCDG （垂直定义）AB =CG（已知） : BAD 三 GCD（AAS） AD = CD （全等三角形对应边相等）/ Rt . ADC 中ZBCA = 45（三）巩固练习1. 已知：如图 71, .=2, C = /D 求证：AC = AD。n图712. 已知：如图 72，点 B、F、C、E同在一条直线上，FB = CE , AF = DC , ZAFB =.DCE。求证：AB = DE ; AC = DF。A（四 ）小结1. 三角形全等公理2与推论有同等重要的地位，应牢记。只要两个三角形有两个角和一条 边对应相等，就可以证出全等三角形，但对应关系应
9、当找对，不能一个三角形是AAS，而另一个三角形是 ASA。2. 在求边相等或角相等的题目中，应首先观察所要求证相等的边或角在哪两个三角形中， 若直接用三角形全等，条件不够，则应当考虑先证其他三角形全等，得出所需的条件，因 而可以解决问题，也就是要证两次全等的类型题目。（五）作业1.已知：如图73, ABC中，N是AB中点，BCMN是平行四边形 求证：AP = PC。A图732.已知：如图 74, ABC 中，BDJC , CE_AB 垂足分别是 D、E。. ABC = . ACB , BD和CE相交于 0。 求证：0D = OEo图743. 已知：如图 75,点E、F在BC上，BE = CF。
10、AB = DC, ZB = ZC, AF和DE相交成60角，且AF、DE相交于O点, 求：.DFE和.AFE的度数。an图75答案及揭示巩固练习1.证明：在ABD和. ABC中丄1 =N2（已知）AB = AB（公共边）ND =NC（已知）.ABD 三 ABC （ASA ）.AC = AD （全等三角形对应边相等）2.证明：在ABF和ADEC中”FB =CE（已知）*NAFB =NDCE（已知）、AF = DC（已知）.ABF = DEC （SAS）AB = DE （全等三角形对应边相等） B = E （全等三角形对应角相等）BF + FC= EC + FC （等量加等量和相等）在ABC和厶C
11、EF中AB = DE（已证）=NE（已证）BC = FE（已证）., ：ABC =. DEF （ SAS）.AC = DF （全等三角形对应边相等）作业：1. 证明：T N是AB中点.AN = BN （中点定义） BCMN是平行四边形BN = CM = AN AB/MC （平行四边形对边平行）ZANP = . M （两直线平行内错角相等）在. ANP和. CMP中NANP =NM（已证）丿AN =CM（已证）NAPN =NCPM（对顶角相等）.：ANP 三 CMP （ AAS ）.AP = PC （全等三角形对应边相等）2. 证明：T BD_AC, CE_AB （已知）. BEC = . CD
12、B （直角定义）在BCD和.CBE中2BEC =NCDB（已证）*NABC =NACB（已知）、BC = BC（公共边）.：BCD 三 CBE （AAS ）.BE = CD （全等三角形对应边相等）在 OBE 和 :OCD 中2bE0 =NCDO（已证）*NEOB=NDOC（对顶角相等）.BE =CD（已证）.：OBE = QCD （ AAS ） OD = OE （全等三角形对应边相等）3. 解：T BE = CF （已知）.BE + EF= FC + EF （等量加等量和相等）即 BF=CE在. ABF = . DCE 中”AB = DC （已知）;/C（已知）BF =CE（已证）.：ABF 二CDCF （ SAS） . AFE二.DEC （全等三角形对应边相等）.EOF =60 （已知）.AFE . DEC =120.DEF AFE =60# / 8
