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1、北京师大附中20202020学年下学期高二年级期中考试数学试卷一、单项选择题，本大题共8小题，共32分。在各小题列出的四个选项中，有且只有一项是正确的，请选出符合要求的选项。1.函数在区间，+x上的平均变化率为A. B. 1+C. D. 2【答案】D【解析】【分析】由平均变化率的运算公式，即可求解，得到答案【详解】由题意，可得平均变化率，故选D【点睛】本题主要考查了平均变化率的求得，其中解答熟记平均变化率的计算公式是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题2.一个物体的位移s关于时间t的运动方程为s=1t+t2，其中s的单位是：m，t的单位是：s，那么物体在t=3 s时的瞬时速度是A.
2、 5 msB. 6 msC. 7 msD. 8 ms【答案】A【解析】【分析】由位移关于时间的运动方程为，则，代入，即可求解【详解】由题意，位移关于时间的运动方程为，则，当时，故选A【点睛】本题主要考查了瞬时变化率的计算，其中解答中熟记瞬时变化率的计算公式，准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题3.下列函数中，是奇函数且在定义域内为单调函数的是A. B. y=lnxC. y=x+sinxD. y=【答案】C【解析】【分析】根据函数的奇偶性的定义，以及函数的单调性的判定方法，逐项判定，即可求解【详解】由题意，对于函数在定义域内为偶函数，且先减后增，不符合题意；对于函数在定义域
3、上是非奇非偶函数，且是单调递增函数，不符合题意；对于函数在定义域为奇函数，且在单调递减，不符合在定义域内单调递减，不符合题意；对于函数，定义域为，则，所以函数为奇函数，且，所以函数单调递增函数，符合题意，故选C【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性的应用，以及利用导数研究函数的单调性的应用，其中解答中熟记函数的奇偶性的判定方法，以及导数与函数的单调性的关系是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题4.函数的导函数的图象如图所示，则函数的图象可能是A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据导函数的图象，可得当时，当时，进而可得原函数的图象，得到答案【详解】由题意，根据导函数的图象
4、，可得当时，则函数单调递增，当时，；函数单调递减，故选C【点睛】本题主要考查了导函数图象与原函数图象之间的关系，其中解答中熟记导函数的函数值的符号与原函数的单调性之间的关系是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题5.已知集合M=2，3，N=4,5,6，依次从集合M，N中各取出一个数分别作为点P的横坐标和纵坐标，则在平面直角坐标系中位于第一、二象限内的点P的个数是A. 4B. 5C. 6D. 7【答案】A【解析】【分析】由对于集合中的元素作为点的横坐标，中的元素作点的纵坐标，在第一象限的点共有个，在第二象限的点共有个，由分类计数原理，即可求解【详解】由题意，要使得点在平面直角
5、坐标系中位于第一、二象限内，对于集合中的元素作为点的横坐标，中的元素作点的纵坐标，在第一象限的点共有个；在第二象限的点共有个；由分类计数原理可得点个数为个，故选A【点睛】本题主要考查了分类计数原理的应用，其中解答中解答这类问题理解题意很关键，一定多读题才能挖掘出隐含条件解题过程中要首先分清“是分类还是分步”、“是排列还是组合”，在应用分类计数加法原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，这样才能提高准确率在某些特定问题上，也可充分考虑“正难则反”的思维方式6.若曲线在点（0，b）处的切线方程是x+y1=0，则A. a=1，b=1B. a=l，b=lC. a=l，b=1D. a=1，b=16【答
6、案】B【解析】【分析】求得函数的导数求得，由切线的方程为，求得，把点代入切线方程，求得的值，即可求解【详解】由题意，函数，则，所以，又由切线的方程为，所以，把点代入切线方程，即，解得，故选B【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用，其中解答中熟记导数的几何意义，合理利用切线的方程和切点的坐标适合切线，列出方程是解答的关键，着重考查了推基础题理与运算能力，属于7.“”是“函数在上单调递增”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】求得函数的导数，由函数在上单调递增，转化为在恒成立，求得，再根据充要条件的判定，即可求解【详解】由题
7、意，函数，则，因为函数在上单调递增，则在恒成立，即在恒成立，即在恒成立，解得，所以“”是“在上单调递增”的充分不必要条件，故选A【点睛】本题主要考查了导数的应用问题，其中解答中熟记函数的导数与原函数的关系，求得实数的取值范围，再根充要条件的判定方法求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题8.某电动汽车“行车数据”的两次记录如下表：记录时间累计里程（单位：公里）平均耗电量（单位：公里）剩余续航里程（单位：公里）2020年1月1日40000.1252802020年1月2日41000.126146（注：累计里程指汽车从出厂开始累计行驶的路程，累计耗电量指汽车从出厂开始累计消耗的电量，
8、平均耗电量=，剩余续航里程=，下面对该车在两次记录时间段内行驶100公里的耗电量估计正确的是A. 等于12.5B. 12.5到12.6之间C. 等于12.6D. 大于12.6【答案】D【解析】【分析】根据累计耗电量的计算公式，即可求解【详解】由题意，可得，所以对该车在两次记录时间段内行驶100公里的耗电量估计正确的是：大于12.6，故选D【点睛】本题主要考查了函数模型的应用，其中解答中正确理解题意，根据累计耗电量的公式，准确计算是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题二、多项选择题，本大题共2小题，共8分。在各小题列出的五个选项中，至少有两项是正确的，请选出符合要求的选项。
9、9.下列函数中，存在极值点的是A. B. C. D. E. 【答案】BDE【解析】【分析】利用导数求得函数的单调性，再根据函数极值的概念，即可求解，得到答案【详解】由题意，函数，则，所以函数在内单调递增，没有极值点函数，根据指数函数的图象与性质可得，当时，函数单调递减，当时，函数单调递增，所以函数在处取得极小值；函数，则，所以函数在上单调递减，没有极值点；函数，则，当时，函数单调递减，当时，函数单调递增，当时，函数取得极小值；函数，则，当时，函数单调递减，当时，函数单调递增，所以处取得极小值故选BDE【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的极值问题，其中解答中利用导数求得函数的单调性，确定函数
10、的极值点或极值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题10.设函数，则下列说法正确的是A. 定义域是（0，+）B. x（0，1）时，图象位于x轴下方C. 存在单调递增区间D. 有且仅有两个极值点E. 在区间（1，2）上有最大值【答案】BC【解析】【分析】利用函数的解析式有意义求得函数的定义域，再利用导数求解函数的单调区间和极值、最值，逐项判定，即可求解，得到答案【详解】由题意，函数满足，解得且，所以函数的定义域为，所以A不正确；由，当时，所以在上的图象都在轴的下方，所以B正确；所以在定义域上有解，所以函数存在单调递增区间，所以C是正确的；由，则，所以，函数单调增，则函数只有一个根，使
11、得，当时，函数单调递减，当时，函数单调递增，所以函数只有一个极小值，所以D不正确；由，则，所以，函数单调增，且，所以函数在先减后增，没有最大值，所以E不正确，故选BC【点睛】本题主要考查了函数的定义域的求解，以及利用导数研究函数的单调性与极值、最值问题，其中解答中准确求解函数的导数，熟记函数的导数与原函数的关系是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题三、填空题，本大题共6小题，共30分。11.用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时，应假设为_【答案】三角形的内角至少有两个钝角【解析】反证法证明时，需要假设反面成立，即原条件的否定。故应假设为：三角形的内角至少有两个钝角。故答
12、案为：三角形的内角至少有两个钝角。12.已知命题：“在平面内，周长一定的曲线围成的封闭图形中，圆的面积最大”，类比上述结论，可得到空间中的相关结论为_。【答案】在空间中，表面积一定的曲面围城的封闭几何体中，球的体积最大【解析】【分析】由已知中的平面内的性质：“在平面内，周长一定的曲线围成的封闭图形中，圆的面积最大”，根据平面上的线的性质类比空间的面的性质，可得空间中“表面积一定的曲面围城的封闭几何体中，体积最大是球体”，即可得到答案【详解】根据平面中有：“在平面内，周长一定的曲线围成的封闭图形中，圆的面积最大”，利用类比推理，可得空间中“表面积一定的曲面围城的封闭几何体中，球的体积最大”【点睛
13、】本题主要考查了类比推理的应用，其中类比推理是依据两类数学对象的相似性，将已知的一类数学对应的性质类比到另一类数学对象上却，其一般步骤：（1）找出两类事物的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得很一个明确的结论，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题13.只用1,2,3三个数字组成一个四位数，规定这三个数必须同时使用，且同一数字不能相邻出现，这样的四位数有 个【答案】【解析】试题分析：由题意知，本题需要分步计数中必有某一个数字重复使用次第一步确定谁被使用次，有种方法；第二步把这个相等的数放在四位数不相邻的两个位置上，也有种方法；第三步将余下的个数放在四位数余下
14、的个位置上，有种方法故共可组成个不同的四位数故答案为：.考点：排列、组合及简单计数问题.【方法点晴】本题考查分步计数原理，是一个数字问题，数字问题是排列组合和计数原理中经常出现的问题，这种题目做起来限制条件比较多，需要注意做到不重不漏本题需要分步计数，由题意知中必有某一个数字重复使用次首先确定谁被使用次，再把这个相等的数放在四位数不相邻的两个位置上，最后将余下的个数放在四位数余下的个位置上，相乘得结果14.在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施个程序，其中程序只能出现在第一步或最后一步，程序和实施时必须相邻，请问实验顺序的编排方法共有_种(用数字作答).【答案】.【解析】试题分析：先排程序有两种方法，再将和捆在一起后排，有种方法,因此共有种方法.考点：排列组合【方法点睛】求解排列、组合问题常用的解题方法：（1）元素相邻的排列问题“捆邦法”；（2）元素相间的排列问题“插空法”；（3）元素有顺序限制的排列问题“除序法”；（4）带有“含”与“不含”“至多”“至少”的排列组合问题间接法.15.对于函数，存在三个互不相等的实数，使得= =k，则符合条件的一个k的值为_。【答案】答案不唯一，即可【解析】【分析】求得函数的导数，得出函数的单调性和极值，结合图象，即可求解【详解】由题意，函数，则，令，即，解得或，当时，函数单调递增；当时，
