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1、近几年北大清华自主招生试题汇编 2010北大自主招生（三校联招）1（仅文科做），求证：（25分）2为边长为的正五边形边上的点证明：最长为（25分）3为上在轴两侧的点，求过的切线与轴围成面积的最小值（25分）4向量与已知夹角，在时取得最小值，问当时，夹角的取值范围（25分）5（仅理科做）存不存在，使得为等差数列（25分）2009北大自主招生数学试题1 圆内接四边形ABCD，AB=1，BC=2，CD=3，DA=4。求圆半径。2 已知一无穷等差数列中有3项：13，25，41。求证：2009为数列中一项。3 是否存在实数x使tanx+（根3）与cotx+（根3）为有理数？4 已知对任意x均有acosx
2、+bcos2x=-1恒成立，求a+b的最大值5 某次考试共有333名学生做对了1000道题。做对3道及以下为不及格，6道及以上为优秀。问不及格和优秀的人数哪个多？2008北大自主招生数学试题1 求证：边长为1的正五边形对角线长为2 已知六边形AC1BA1CB1中AC1=AB1,BC1=BA1,CA1=CB1,A+B+C=A1+B1+C1 求证ABC 面积是六边形AC1BA1CB1的一半。3 已知4 排球单循坏赛 南方球队比北方球队多9支 南方球队总得分是北方球队的9倍 求证 冠军是一支南方球队（胜得1分 败得0分）5（理科）O-XYZ坐标系内 xoy平面系内绕y轴旋转一周构成一个不透光立体 在
3、点(1,0,1)设置一光源 xoy平面内有一以原点为圆心的圆C 被光照到的长度为2 求C上未被照到的长度2009年清华大学自主招生数学试题设的整数部分为，小数部分为求；求；求2为实数，且，求证：对于任意正整数，为正实数，求证：，其中为的一种排列3请写出所有三个数均为质数，且公差为8的等差数列，并证明你的结论4已知椭圆，过椭圆左顶点的直线与椭圆交于，与轴交于，过原点与平行的直线与椭圆交于求证：，成等比数列5已知，设，求6随机挑选一个三位数求含有因子5的概率；求中恰有两个数码相等的概率7四面体中，求证：四面体每个面的三角形为锐角三角形；设三个面与底面所成的角分别为，求证：8证明当均为奇数时，曲线与
4、轴的交点横坐标为无理数 9设均为整数，性质为： 对中任意个数，存在一种分法可将其分为两组，每组个数，使得两组所有元素的和相等求证：全部相等当且仅当具有性质2009年清华大学自主招生数学试题（文科）1已知数列，且求证：是等差数列；求所在的直线方程212名职员（其中3名为男性）被平均分配到3个部门求此3名男性被分别分到不同部门的概率；求此3名男性被分到同一部门的概率；若有一男性被分到指定部门，求其他2人被分到其他不同部门的概率3一元三次函数的三次项数为，的解集为若，求的解析式；若在上单调增，求的范围4已知，求点的轨迹；直线与交于点、，求（为原点）5设求证：求的最值，并给出此时，满足的条件若，求，不符合时的条件2008届清华大学自主招生试题1. 已知都是有理数，也是有理数，证明：都是有理数；2. （1）一个四面体，证明：至少存在一个顶点，从其出发的三条棱组成一个三角形； （2）四面体一个顶点处的三个角分别是，求的面和的面所成的二面角；3. 求正整数区间中，不能被整除的整数之和；4. 已知，求的取值范围；5. 若，求；6. 证明：以原点为中心的面积大于的矩形中，至少还有两个格点。
