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1、近几年北大清华自主招生试题汇编 2010北大自主招生(三校联招)1(仅文科做),求证:(25分)2为边长为的正五边形边上的点证明:最长为(25分)3为上在轴两侧的点,求过的切线与轴围成面积的最小值(25分)4向量与已知夹角,在时取得最小值,问当时,夹角的取值范围(25分)5(仅理科做)存不存在,使得为等差数列(25分)2009北大自主招生数学试题1 圆内接四边形ABCD,AB=1,BC=2,CD=3,DA=4。求圆半径。2 已知一无穷等差数列中有3项:13,25,41。求证:2009为数列中一项。3 是否存在实数x使tanx+(根3)与cotx+(根3)为有理数?4 已知对任意x均有acosx
2、+bcos2x=-1恒成立,求a+b的最大值5 某次考试共有333名学生做对了1000道题。做对3道及以下为不及格,6道及以上为优秀。问不及格和优秀的人数哪个多?2008北大自主招生数学试题1 求证:边长为1的正五边形对角线长为2 已知六边形AC1BA1CB1中AC1=AB1,BC1=BA1,CA1=CB1,A+B+C=A1+B1+C1 求证ABC 面积是六边形AC1BA1CB1的一半。3 已知4 排球单循坏赛 南方球队比北方球队多9支 南方球队总得分是北方球队的9倍 求证 冠军是一支南方球队(胜得1分 败得0分)5(理科)O-XYZ坐标系内 xoy平面系内绕y轴旋转一周构成一个不透光立体 在
3、点(1,0,1)设置一光源 xoy平面内有一以原点为圆心的圆C 被光照到的长度为2 求C上未被照到的长度2009年清华大学自主招生数学试题设的整数部分为,小数部分为求;求;求2为实数,且,求证:对于任意正整数,为正实数,求证:,其中为的一种排列3请写出所有三个数均为质数,且公差为8的等差数列,并证明你的结论4已知椭圆,过椭圆左顶点的直线与椭圆交于,与轴交于,过原点与平行的直线与椭圆交于求证:,成等比数列5已知,设,求6随机挑选一个三位数求含有因子5的概率;求中恰有两个数码相等的概率7四面体中,求证:四面体每个面的三角形为锐角三角形;设三个面与底面所成的角分别为,求证:8证明当均为奇数时,曲线与
4、轴的交点横坐标为无理数 9设均为整数,性质为: 对中任意个数,存在一种分法可将其分为两组,每组个数,使得两组所有元素的和相等求证:全部相等当且仅当具有性质2009年清华大学自主招生数学试题(文科)1已知数列,且求证:是等差数列;求所在的直线方程212名职员(其中3名为男性)被平均分配到3个部门求此3名男性被分别分到不同部门的概率;求此3名男性被分到同一部门的概率;若有一男性被分到指定部门,求其他2人被分到其他不同部门的概率3一元三次函数的三次项数为,的解集为若,求的解析式;若在上单调增,求的范围4已知,求点的轨迹;直线与交于点、,求(为原点)5设求证:求的最值,并给出此时,满足的条件若,求,不符合时的条件2008届清华大学自主招生试题1. 已知都是有理数,也是有理数,证明:都是有理数;2. (1)一个四面体,证明:至少存在一个顶点,从其出发的三条棱组成一个三角形; (2)四面体一个顶点处的三个角分别是,求的面和的面所成的二面角;3. 求正整数区间中,不能被整除的整数之和;4. 已知,求的取值范围;5. 若,求;6. 证明:以原点为中心的面积大于的矩形中,至少还有两个格点。