《一个整数的约数个数与约数和的计算方法》由会员分享，可在线阅读，更多相关《一个整数的约数个数与约数和的计算方法（6页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、一个整数的约数个数与约数和的计算方法, 两数的最大公约数与最小公倍数之间的关系分数的最小公倍数. 涉及一个整数的约数, 以及若干整数最大公约数与最小公倍数的问题 , 其中质因数分解发挥着重要作用1. 数 360 的约数有多少个?这些约数的和是多少?【分析与解】 360分解质因数：360=2 X 2X 2X 3X 3X 5=23X32X 5;360的约数可以且只能是2ax 3 bx 5 c,(其中a,b,c均是整数，且a为03,6为02,c为01).因为a、b、c的取值是相互独立的，由计数问题的乘法原理知，约数的个数为(3+1) x (2 +1) X(1 + 1)=24 .我们先只改动关于质因数
2、 3 的约数 , 可以是 l,3,3 2, 它们的和为(1+3+32), 所以所有 360约数的和为(1+3+3 2) X2yX 5 w;我们再来确定关于质因数 2 的约数 , 可以是 l,2,2 2,2 3, 它们的和为(1+2+2 2+23) ，所以所有 360 约数的和为(1+3+32) X (1+2+22+23) X 5W;最后确定关于质因数 5 的约数 , 可以是 1,5, 它们的和为(1+5), 所以所有 360 的约数的和为(1+3+3 2) X (1+2+2 2+23) X (1+5).于是，我们计算出值：13X15X6=1170.所以 ,360 所有约数的和为 1170评注
3、: 我们在本题中分析了约数个数、约数和的求法. 下面我们给出一般结论：I. 一个合数的约数的个数是在严格分解质因数之后 , 将每个质因数的指数( 次数 ) 加 1 后所得的乘积.如：1400 严格分解质因数后为23 X 5 2X 7，所以它的约数有 (3+1) X(2+1) X(1 +1)=4X 3X2=24 个.(包括 1 和它自身)n .约数的和是在严格分解质因数后，将M的每个质因数最高次哥的所有约数的和相乘所得到的积.如：21000=23X 3X 5 3X 7,所以21000所有约数的和为(1+2+22+23) X (1+3) X (1+5+5 2+53) X (1+7)=74880 .
4、2 .一个数是 5个 2,3 个 3,6 个 5,1 个 7 的连乘积 . 这个数有许多约数是两位数, 那么在这些两位数的约数中 , 最大的是多少?【分析与解】设这个数为 A,有A=25X 33X 5 6X7,99= 3X 3X 11 ,98= 2X 7X7 ,97均不是A的约数，而96=25X 3为A的约数，所以96为其最大的两位数约数.3 . 写出从 360 到 630 的自然数中有奇数个约数的数【分析与解】 一个合数的约数的个数是在严格分解质因数之后, 将每个质因数的指数(次数)加1后所得的乘积.如：1400严格分解质因数后为23X 5 2X 7，所以它的约数有(3+1) X(2+1)
5、X(1 + 1)=4 X3X 2=24 个.(包括 1 和它自身)如果某个自然数有奇数个约数 , 那么这个数的所有质因子的个数均为偶数个. 这样它们加 1 后均是奇数, 所得的乘积才能是奇数 . 而所有质因数的个数均是偶数个的数为完全平方数.即完全平方数(除0外)有奇数个约数，反过来，有奇数个约数的数一定是完全平方数.由以上分析知，我们所求的为360630之间有多少个完全平方数？18 X 18=324,19 X 19=361,25X25=625,26X26=676,所以在 360630 之间的完全平方数 为 192,20 2,21 2,22 2,23 2,24 2,25 2.即360到630的
6、自然数中有奇数个约数的数为361,400,441,484,529,576,625.4 .今有语文课本42册,数学课本112册，自然课本70册，平均分成若干堆，每堆中这3种课本 的数量分别相等.那么最多可分多少堆？【分析与解】显然堆数是42的约数，是112的约数，是70的约数.即为42,112,70的公约数，有(42,112,70)=14 .所以，最多可以分成14堆.5 .加工某种机器零件，要经过三道工序，第一道工序每名工人每小时可完成 6个零件，第二道 工序每名工人每小时可完成 10个零件，第三道工序每名工人每小时可完成 15个零件.要使加 工生产均衡，三道工序最少共需要多少名工人 ？【分析与
7、解】 为了使生产均衡，则每道工序每小时生产的零件个数应相等 ，设第一、二、 三道工序上分别有 A、日C个工人，有6A=10B=15C=k,那么k的最小值为6,10,15的最小公 倍数,即6,10,15=30 .所以A=5,B=3,C=2,则三道工序最少共需要 5+3+2=10名工人.6 .有甲、乙、丙3人，甲每分钟行走120米，乙每分钟行走100米，丙每分钟行走70米.如果 3个人同时同向，从同地出发，沿周长是300米的圆形跑道行走，那么多少分钟之后，3人又可 以相聚？【分析与解】 设在x分钟后3人再次相聚，甲走了 120x米，乙走了 lOOx米，丙走了 70x 米，他们3人之间的路程差均是跑
8、道长度的整数倍.即 120x-100x,120x-70x,lOOx-70x 均是 300 的倍数，那么 300 就是 20x,50x,30x 的公约 数.有(20x,50x,30x):300, 而(20x,50x,30x)=x(20,50,30)=lOx, 所以 x=30.即在30分钟后,3人又可以相聚.条圆形跑道，圆心都在操场中的旗杆处，甲、乙、内3人分别在里圈、中圈、外圈沿同样的方 向跑步.开始时,3人都在旗杆的正东方向，里圈跑道长1千米，中圈跑道长1千米，外圈跑道54长3千米.甲每小时跑31千米，乙每小时跑4千米，丙每小时跑5千米.问他们同时出发，几82小时后,3人第一次同时回到出发点
9、？11211【分析与解】 甲跑完一圈需 一3- 一小时，乙跑一圈需 一 4 一小时，丙跑一圈需52 3541633 21 3 一-5 则他们同时回到出发点时都跑了整数圈，所以经历的时间为 一，一，的倍数，即84035 16 40它们的公倍数.2 1335,16,40卫6 6.35,16,41所以,6小时后,3人第一次同时回到出发点.评注：求一组分数的最小公倍数，先将这些分数化为最简分数，将分子的最小公倍数作为新分数的分子，将分母的最大公约数作为新分数的分母，这样得到的新分数即为所求的最小公倍数；求一组分数的最大公约数，先将这些分数化为最简分数，将分子的最大公约数作为新分数的分子，将分母的最小公
10、倍数作为新分数的分母，这样得到的新分数即为所求的最大公约8.甲数和乙数的最大公约数是6最小公倍数是90.如果甲数是18,那么乙数是多少？【分析与解】有两个数的最大公约数与最小公倍数的乘积等于这两数的乘积.有它们的最大公约数与最小公倍数的乘积为6X90=540,则乙数为 540+ 18=30.,B两数都仅含有质因数3和5,它们的最大公约数是75.已知数A有12个约数，数B有10个约数，那么A,B两数的和等于多少？【分析与解】方法一：由题意知A可以写成3X52Xa, B可以写成3X52X6，其中a、b为整数且只含质因子 3、5.即 A:31+Xx 52+y,B=31+miX 5 2+n,其中 x、
11、Y、m n 均为自然数(可以为 0)由 A 有 12 个约数,所以(1+x)+1 X (2+y)+1=(2+x ) X (3+y)=12 ,所以 “1或0.对应 A 为 31+2X 5 2=675,3 1+1X 5 2+1=1125,或 y 0, y 1 y 431+0X 5 2+4=46875;m 0 一由 B 有 10 个约数，所以(1+m)+1 x(2+n)+l=(2+m)X(3+n) :10,所以.对应 Bn 2为 31+X 5 2+2=1875.只有(675,1875)=75,所以 A=675,B=1875 .那么A,B两数的和为 675+1875=2550.方法二：由题中条件知A、
12、B中有一个数质因数中出现了两次5,多于一次3,那么，先假设它出现了 N次3,则约数有：(2+1) X(N+1): 3X(N+1)个12 与10其中只有12是3的倍数，所以3(N+1)=12,易知N=3,这个数是A,即A=33X 52=675.那么B的质数中出现了一次3,多于两次5,则出现了 M次5,则有：(1+1) X(M+1) =2(M+1)=10, M=3 5 4=1875.那么A,B两数的和为 675+1875=2550.10 .有两个自然数，它们的和等于297,它们的最大公约数与最小公倍数之和等于693.这两个自然数的差等于多少？【分析与解】设这两数为a,b,记a=(a,b)q1,b=
13、(a,b)q2.它们的和为：a+b=(a,b)ql+(a,b)q2=(a,b)(q1+q2)=297它们的最大公约数与最小公倍数的和为：a,b+(a,b)=(a,b)qlq2+(a,b)=(a,b)(qlq2+1)=693,且(q1,q2)=1. 综合、知(a,b)是297,693 的 公约数，而(297 , 693)=99,所以(a,b)可以是99,33,11,9,3,1第一种情况：(a,b)=99,贝U (q1+q2)=3,(q1q2+1)=7, 即 q1q2= 6=2X 3 ,无满足条件的qi,q2 ；第二种情：(a,b)=33,贝U(q1+q2)=9,(q1q2+1)=21,即 q1q
14、2=20=22x 5，则 q1=5,q2=4时满足，a=(a,b)q 1=33X 5=165 ,b=(a,b)q 2=33X 4=132 ,则 a-b=165-132=33 ; 第三种情况：(a,b)=11, 则(q1+q2)=27,(q1q2+1)=63, 即 qq2=62=2X 31 ,无满足条件的 q1,q2 ;一一验证第四种情况，第五种情况，第六种情况没有满足条件的q1q2.所以，这个两个自然数的差为33.11 .两个不同自然数的和是60,它们的最大公约数与最小公倍数的和也是60.问这样的自然数共有多少组？【分析与解】设这两数为a,b,记a=(a,b)q1,b=(a,b)q2.它们的和
15、为：a+b=(a,b)q1+(a,b)q2=(a,b)(q1+q2)=60它们的最大公约数与最小公倍数的和为：a,b+(a,b)=(a,b)q1q2+(a,b)=(a,b)(q1q2+1)=60且(q1, q2)=1联立、有(q1+q2)=(q1q2+1), 即说明一个数是另一个数的倍数(2即 q1+q2-q1q2=1,(q1-1)(1-q2)=0,不妨记a=kb(k为非零整数)，所以q1=1或q2=1.a b kb b60a,b a,b，即kkb 601 b 60确定，则k确定，则kb即a确定60的约数有2, 3,4, 5, 6,10, 12, 15, 20,30, 60这11个，b可以等于2, 3, 4,5, 6, 10. 12, 15, 20, 30 这 10个数，除了 60,因为如果 6=60,贝U(k+1)=1 ,而 k 为非零 整数.对应的a、b有10组可能的值，即这样的自然数有10组.进 一步， 列出有(a,b) 为(58,2),(57,3),(56,4),(55,5),(54,6),(50,10)(48,12),(45,
