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1、电子科大高等数学竞赛试题与解答一、选择题（40分，每小题4分，只有一个答案正确）.1.设，且，则（ C ）(A) 存在且等于零;(B) 存在但不一定等于零；(C) 不一定存在；(D) 一定不存在.2.设是连续函数，的原函数，则（ A ）(A) 当为奇函数时,必为偶函数；(B) 当为偶函数时,必为奇函数；(C) 当为周期函数时,必为周期函数；(D) 当为单调增函数时,必为单调增函数.3.设，在内恒有，记，则有（ B ）(A) ;(B) ;(C) ;(D) 不确定.4.设有连续导数，且，当时，是同阶无穷小，则（ B ）(A) 4；(B) 3；(C) 2；(D) 1.5.设，则在点（ D ）(A)
2、不连续；(B) 连续但偏导数不存在；(C) 可微；(D) 连续且偏导数存在但不可微.6.设，则以向量、为边的平行四边形的对角线的长度为（ A ）(A) ；(B) 3, 11；(C) ；(D) .7.设是包含原点在内的两条同向闭曲线，的内部，若已知（k为常数），则有（ D ）(A) 等于k； (B) 等于； (C) 大于k；(D) 不一定等于k，与L2的形状有关.8.设在处收敛，则在处（ D ）(A) 绝对收敛；(B) 条件收敛；(C) 发散；(D) 收敛性与an有关.9.设A为矩阵，B为矩阵，若，则齐次线性方程组（ C ）(A) 无解；(B) 只有零解；(C) 有非零解；(D) 可能有解，也可
3、能无解.10.设是空间个相异的点，记，则共面的充分必要条件是（ D ）(A) 秩(A)=1;(B) 秩(A)=2;(C) 秩(A)=3; (D) 秩(A)=2或秩(A)=3.11设在（）上连续，且为非零偶函数，则（B）.（A）是偶函数；（B）是奇函数；（C）是非奇非偶函数；（D）可能是奇函数，也可能是偶函数.12设在上连续，且，则（D）.（A）在内不一定有使； （B）对于上的一切都有；（C）在的某个小区间上有；（D）在内至少有一点使.13已知当时，的导数与为等价无穷小，则（B）.（A）等于0；（B）等于；（C）等于1；（D）不存在.14设是微分方程的满足，的解，则（B）.（A）等于0；（B）等
4、于1；（C）等于2；（D）不存在.15设直线L：，平面：，则它们的位置关系是 （C）.（A）；（B）L在上；（C）；（D）L与斜交.16设在全平面上有，则保证不等式成立的条件是（A）.（A），；（B），；（C），；（D），.17设S为八面体全表面上半部分的上侧，则不正确的是（D）.（A）；（B）；（C）；（D）.18设常数，则级数是（A）.（A）条件收敛；（B）绝对收敛；（C）发散；（D）敛散性与有关19设A、B都是阶非零矩阵，且，则A和B的秩（D）.（A）必有一个等于零；（B）都等于；（C）一个小于，一个等于；（D）都小于.20设A是3阶可逆矩阵，且满足，（为A的伴随矩阵），则A的三个特征值
5、是（C）.（A）3，3，；（B），2；（C）3，；（D），2，2.21. 下列命题中正确的命题有几个？ （ A ）（1）无界变量必为无穷大量； (2) 有限多个无穷大量之和仍为无穷大量；（3）无穷大量必为无界变量； (4) 无穷大量与有界变量之积仍为无穷大量.(A) 1个； (B) 2个； (C) 3个； (D) 4个. 22. 设 ， 则是间断点的函数是 （ B ）(A) ； (B) ； (C) ； (D) .23. 设为在上应用拉格朗日中值定理的“中值”，则 （ C ）(A) 1； (B) ； (C) ； (D) .24. 设连续，当时，与为等价无穷小，令，, 则当时，的 （ D ）(A)
6、 高阶无穷小；(B) 低阶无穷小；(C) 同阶无穷小但非等价无穷小；(D) 等价无穷小.25. 设在点的某邻域内连续，且满足 则在点处 （ A ）(A) 取极大值；(B) 取极小值； (C) 无极值； (D) 不能确定是否有极值.26. 设在连续，且导函数的图形如图所示，则有 （ D ）(A) 1个极小值点与2个极大值点，无拐点；(B) 2个极小值点与1个极大值点，1个拐点；(C) 2个极小值点与2个极大值点, 无拐点；(D) 2个极小值点与2个极大值点，1个拐点.27. 设有连续的一阶导数，则 （ B ）(A) ；(B) ； (C) ； (D) 0 .28. 设任意项级数 条件收敛，将其中的
7、正项保留负项改为0所组成的级数记为, 将其中的负项保留正项改为0所组成的级数记为，则与 （ B ） (A) 两者都收敛； (B) 两者都发散；(C)一个收敛一个发散；(D) 以上三种情况都可能发生.29. 设 阶矩阵A的伴随矩阵 ，且非齐次线性方程组 有两个不同的解向量，则下列命题正确的是 （ D ）(A) 也是的解； (B) 的通鲜为 （）；(C) 满足的数必不为零；(D) 是的基础解系.30. 设则三个平面 两两相交成三条平行直线的充要条件是 （ C ）(A) 秩;(B) 秩;(C) 中任意两个均线性无关，且不能由线性表出; (D) 线性相关，且不能由线性表出.二、（8分）设在的邻域具有二
8、阶导数，且，试求，及.解 由等价无穷小得（或由泰勒公式得）三、（8分）设及，求.解.四、（8分）设函数满足与，求，（表示对的一阶偏导数，其他类推）.解等式两端对x求导,得. 这两个等式,对x求导得, 由已知条件得,故解得， .五、（8分）设向量组，是齐次线性方程组的一个基础解系，向量不是方程组的解，即，试证明：向量组，线性无关.证设有一组数使得,即两边左乘A,得 , ,即,为的基础解系。故线性无关。六、（10分）已知三元二次型经正交变换化为，又知，其中，为A的伴随矩阵，求此二次型的表达式.解由条件知A的特征值为，则，的特征值为，A*的特征值为，由已知是A*关于的特征向量，也就是是A关于的特征向
9、量，设A关于的特征向量为, 是实对称阵，与X要正交，解出.令，则，故七、（8分）设S是以L为边界的光滑曲面，试求可微函数使曲面积分与曲面S的形状无关.解以L为边界任作两个光滑曲面，它们的法向量指向同一例，记为与所围成的闭曲面，取外侧，所围立体为，则，由高斯公式得，由的任意性得 , 即解线性非齐次方程得.八、（10分）设一球面的方程为，从原点向球面上任一点Q处的切平面作垂线，垂足为点P，当点Q在球面上变动时，点P的轨迹形成一封闭曲面S，求此封闭曲面S所围成的立体的体积.解设点Q为，则球面的切平面方程为 垂线方程为代入及切平面方程得，即（P点轨迹）.化为球坐标方程得.九、（10分）设函数在（）上连
10、续，在可导，且.（1）求证：，等式成立.（2）求极限.证（1）令, ,由中值定理得 ，.（2）由上式变形得，两边取极限，.十、（10分）设函数在（，）连续，周期为1，且，函数在0，1上有连续导数，设，求证：级数收敛.证由已知条件，令则为周期为1的函数，且，因此=，连续、周期，有界，使，有，即，又在连续，使，有，故，由正项级数比较法知收敛.二、（8分）设，试确定、的值，使都存在.解：当时，故；当时，。十一、（8分）设的一个原函数，且，求.解：，由知，十二、（10分）设，S为的边界曲面外侧，计算解：（下侧），（上侧）， 十三、（10分）已知向量组线性无关，向量都可用表出，即求证：线性相关的充分必要
11、条件是矩阵的秩.解：（）设线性相关，则不全为0的使，即，线性无关，即是齐次线性方程组的非零解，故。（）设，则有非零解，即不全为0的使成立，从而，故线性相关。十四、（10分）设n阶实对称矩阵的秩为r，且满足（称A为幂等矩阵），求：（1）二次型的标准形；（2）行列式的值，其中E为单位矩阵.解：A为实对称阵，正交阵P，使，为A的特征值。（1）设是A的任一特征值，为对应特征向量，则，或，即实对称幂等矩阵的特征值只取0或1。由，知中有r个1，个0，适当排列P中列向量，可使，其中为r阶单位矩阵，故二次型的标准形为。（2）由得，故十五、（10分）已知，.求证：（1）数列收敛；（2）的极限值a是方程的唯一正根
12、.解一：（1），； 又收敛，收敛，收敛，又因，故收敛。（2）令，且，即a是的根，令，故根唯一。解二：由已知，由此可见， （用归纳法证明偶数项单调减少，奇数项单调增加）。设，。， 由知、收敛，令，；由，知，。对两边取极限得， 对两边取极限得， 由得，解得由知收敛，且为方程的根（再证唯一性）。十六、（12分）设在单位圆上有连续的偏导数，且在边界上取值为零，求证： , 其中D为圆环域：解一：令，。由已知当时，故解二：令，令为（逆时针），为（顺时针） ，。十七、（12分）如图所示，有一圆锥形的塔，底半径为R，高为，现沿塔身建一登上塔顶的楼梯，要求楼梯曲线在每一点的切线与过该点垂直于平面的直线的夹角为，楼梯入口在点, 试求楼梯曲线的方程.解：设曲线上任一点为，曲线参数方程为（*），在点的切向量为，垂线方向向量为。，化简得，由实际问题应，解得，由，得，故，将此式代入参数方程（*）即得楼梯曲线。十八、(10分）设在区间连续，, 试解答下列问题：（1）用表示；（2）求；（3）求证：；（4）设在内的最大值和最小值分别是,求证：. 解（1）（2）（3）（4）十九、（10分）求曲线 所围成的平面图形的面积.解1去掉绝对值曲线为：解2令.二十、（10分）设曲面为曲线 () 绕轴旋转一周所成曲面的下侧，计算曲面积分 解1S的方程为补两平面
