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1、数值法求解弹性棒受力问题的模型北京理工大学周振寰吴帆罗树威摘要本文针对细长弹性棒两端受轴向压力发生弯曲的问题，结合力学知识，建立 了关于棒的平衡状态曲线的微分方程模型。针对所建立的方程，我们采用数值解 法，求出了弹性屈曲临界力F1的表达式、F2/F1的比值以及F=F2对应的棒的状 态曲线的宽长比、高长比和端点重合处的夹角，结果如表所示。求解出模型后， 我们用计算机模拟出模型结果所描述的棒的状态曲线，与题设中的实验结果作对 比，定性地检测模型的合理性与准确性。结果列表F1的表达式1F 二 E*I*(8* + 0.02)苴中 I 兀d4L2其中64F2/F1的值2.235所求宽长比值0.407所求
2、咼长比值0.235所求夹角（度）76.4首先考虑对称性和相对性，模型以半棒长为研究对象建立端点原点二位一体 的直角坐标系，对棒受不同力F的情况，把棒的参数作为已知，通过力学分析和 微分思想建立关于棒的平衡状态曲线的微分方程。然后，模型以微分方程为线索, 采用数据点扫描的方法，利用极限思想使平衡状态曲线逼近两个端状态，求解得 到对应的F（即F1和F2）。最后设出不同的棒的长度求解对应的F1，采用数据拟 合法求解F1表达式。最后，考虑到本文建立模型有其局限性，我们在模型分析部分提出了模型的 改进方向。关键字：微分方程、数值解法、计算机模拟、坐标系、端状态、数据拟合、问题重述材料力学中讨论杆件受力时
3、，有一类压杆失稳问题压杆丧失直线形式的 平衡状态转变为曲线形式的平衡状态的过程称为失稳。失稳又称屈曲，即纵力弯 曲使杆的轴线由直线变为曲线。其中在弹性范围内失稳的细长压杆也称为弹性压 杆，其发生屈曲的临界力称为弹性屈曲临界力。本文所研究的问题就是求解均匀 圆柱形弹性棒（对应上述的弹性压杆）的弹性屈曲临界力及其相关问题。由此问 题描述如下由经验知道：给定一根均匀圆柱形细长弹性棒（以下简称棒），当我们在棒 两端施加一对等大反向的轴向压力（这一对力的作用线始终平行于初始时棒所在 的直线，作用点始终在棒的两个端点上），并且这个压力值增大到某一程度（弹 性屈曲临界力F1）时，棒是要发生弯曲的。且实验表明
4、：上述的F1对给定的棒而言是一定的，并且当且仅当施加的压 力F大于F1时，棒才会弯曲；另一方面，当F=F2 2F1时，棒平衡于两个端点 重合的状态，如图一所示。现在要解决的问题如下：1对给定的棒，确定这个弹性屈曲临界力F1,期望得到F1的关于棒的参数 （棒长、弹性指标）的表达式；2. 得出F2与F1的精确理论比值；3. 针对F=F2时棒的平衡状态曲线，确定其几何特征：（1）曲线宽度与棒长之比；（2 ）曲线高度与棒长之比；（3）棒两端重合处的夹角。图一：F=F2时棒的平衡状态曲线二、问题分析问题的关键是如何建立起施加的作用力F与棒的平衡状态曲线之间的关系， 从而定量求解问题。为此我们认为：对给定
5、的棒，其长度和弹性指标是此力学过 程的决定量；故可先将棒的长度和弹性指标视为已知量，通过合理假设建立模型， 由棒的平衡状态曲线求解得到对应的F。故而我们对此问题的分析结果主要有如 下五个方面：一，确定求解问题的总体思路对于给定的棒，将长度和弹性指标视为已知，压力为F1时对应棒的平直且 即将弯曲的临界状态（以下简称状态一），压力为F2时对应棒的端点重合的平衡 状态（以下简称状态二）。根据题设，只要所加力符合要求，棒从状态一变为状 态二是必然的。类比力学中的静载概念，假设F从0增加到F1,再从F1增加到 F2是一个足够缓慢的连续过程；利用极限的思想，先求解任意F e（F1, F2）与其 对应的平衡
6、状态曲线之间的关系，则当平衡状态分别逼近状态一和状态二时，F 就会分别趋近F1和F2。最后根据已知和已求量，单独研究状态二对应的棒的平 衡曲线可求解其几何特征。二，分析任意F e（F1，F2）对应的棒的平衡状态根据问题描述，在对棒进行受力分析和状态研究时，棒的截面面积不计，则 棒的平衡状态可由其几何形状S描述；另一方面，F对棒的主要效果是使棒弯曲， 故F的作用可由F对棒的某点的力矩M来刻画。那么问题转化为：如何找到S和 M的定量关系。三，确定上述的S与M的关系首先为了确定棒的几何形状S，我们建立坐标系并构造函数描述其平衡状态 曲线；然后根据微分的思想，在棒的一小段上分析F的力矩M，由力学条件得
7、到 关于平衡状态曲线的微分方程，从而将S与M联系起来，实际上是将棒的每个状 态与F值对应起来。四，求解上述的微分方程尝试基本微分方程解法，运用Matlab软件求解析解等不同方法后，我们找 到了可解决所建立的微分方程的数值解法，并利用程序和数据处理求出方程的数 值解。五，结果表示和解决问题数值解法可求解出Fl、F2以及状态二的平衡状态曲线几何特征，从而初步 解决了问题。为进一步得到F1的表达式，我们通过设出不同的棒的长度，同时 解得对应的F1，采用拟合方法，得到F1的关于棒的参数的表达式。三、基本假设1.对给定的弹性棒，其弹性性能和棒长确定，其棒长在整个过程中保持不变。 2受力分析处，细长圆柱形
8、弹性棒的截面可视为一个点。3.施加的压力F大于弹性屈曲临界力F1时棒开始弯曲是必然的，并且F1由 棒唯一确定。4. 可以有这样一个过程：施加的压力F从0缓慢增加到F1,再缓慢增加到 F2（F22F1）,期间任一单独时刻棒处于平衡状态。5在4的前提下，任一时刻棒发生的形变是相对上一紧邻时刻的微小形变。四、符号说明L给定弹性棒的长度；E：棒材料的弹性模量；d：棒的直径；I：棒截面对其中性轴的惯性矩；W :棒的弯曲刚度；k： F与W的比值；F：施加的一对轴向压力值；F1：弹性棒的弹性屈曲临界力；F2：棒两端点重合平衡状态时，F的大小；M：力F对棒上某点的弯矩；X：建立直角坐标系的横坐标值；y：建立直
9、角坐标系的纵坐标值； :棒的曲线在某一点的切线与正x方向的夹角；a :棒的曲线在与坐标系原点重合的端点上的切线与x正方向的夹角;0c : sin a 的值；0ds :曲线弧长微分； k ：曲线在某一点的曲率。五、模型的建立与求解5.1模型中用到的几何坐标系的建立由于棒的任意一个平衡状态曲线都是轴对称图形，且对称轴过其中点，我们 只要研究以棒的中点为界的二分之一的棒，确定其平衡状态曲线函数，就可由对 称性确定整根棒的几何形状。为描述棒的平衡状态曲线，我们建立如图二所示的 直角坐标系。图中直角坐标系的原点是棒的一个端点0； y轴与施加的一对作用 力的作用直线重合，y轴正向与棒的端点0所受的压力F的
10、方向相反；x轴正向 指向棒所在的一侧。Fx-05r*w对称轴图二：模型所用的直角坐标系52模型中用到的力学、数学知识说明5.2.1细长圆柱形弹性棒的弹性指标在对棒进行受力分析时，将细长圆柱形弹性棒抽象为截面面积不计的理想模 型；而考虑F1表达式时，棒的长度及弹性指标是决定量，为此我们要考虑棒的 圆形截面。为引入棒的弹性指标，我们先分析F由F1缓慢增加到F2的连续过程：对任 意F F1，F2对应棒的一个平衡状态，棒的平衡状态曲线是确定的；在此状态 基础上F继续增加，在紧邻的下一时刻，棒发生相对这一状态的一个微小形变； 在这一微过程中，棒受到力矩发生弯曲，对棒上某点可应用力学公式：L1EI其中 为
11、曲线上某点的曲率，M为该点受到的力矩，E为材料的弹性模量，I 为棒的截面对其中性轴的惯性矩。对圆形截面，设其直径为d,则：2d464式1中的EI即为需引入的棒的弹性指标，称为弯曲刚度，记为W，于是有:3E d4644522关于曲线上某点的曲率为了便于讨论问题中棒的平衡状态曲线在某点的曲率问题，我们举例说明如 下。在如图三所示的直角坐标系中，有连续可微函数的曲线，在所示范围内是上 凸的，下面研究该范围内此曲线在其上的某一点A （横坐标为x）处的曲率。设A点处曲线的切线与x轴正方向的夹角为，曲线上距A点水平增量为 dx的点B处，曲线的切线与x轴正向夹角为a + da，曲线上的弧微分记为ds， 曲线
12、在A附近的曲率为k，那么有相应数学公式：5dak二ds值得注意的是：对上述凸函数曲线，在研究范围内当dx 0时，总有da 0时有da 0，于是可得到关于棒的平衡状态 曲线的方程：Fxcos ad adx8F1为便于求解，设k= F ,则k与F只相差一个倍数1，对式8作替换和变形WW得：kxdx = 一 cos ada9考虑x=0,即棒的端点处,a的值由F决定也即由k决定，设x=0处有a =a0由此条件对式9两边积分得：J kxdx_ J cos a d a0a100由式10得：1 kx 2 _ sin a - sin a (2 0后面用c表示sin a ）011由图四知道所研究的a的范围是包含
13、于-叟,-的，所以对曲线上的任一点 2 2的a有：sin asin atan a 二 二.cos aJl sin2 ady而棒的曲线图形中有:13tan a 二-dx由式11、12、13联立得:sin a - kx 202dx|了1、2sin a kx 21 0 2丿14至此模型的初步结果已经显现一一关于棒的平衡状态曲线函数的微分方程, 如式14。式中k是由棒的参数W和力F共同决定的，a由棒的参数L、W和0力F共同决定。根据建模思路，L、W为已知，则此方程就是用F来描述棒的平 衡状态曲线；我们只需用求出棒的不同状态对应的k，就可求得对应的F；随着 L的变化，F变化，由相应方法期望得到F的关于L、W的表达式。
