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1、第1章三、解答题1 .设P(AB) = 0,则下列说法哪些是正确的？(1) A和B不相容；(2) A和B相容；(3) AB是不可能事件；(4) AB不一定是不可能事件；(5) P(A) = 0 或 P(B) = 0(6) P(A B) = P(A) 解：(4) (6)正确.2 .设 A, B 是两事件，且 P(A) = 0.6, P(B) = 0.7,问：(1)在什么条件下P(AB)取到最大值，最大值是多少？(2)在什么条件下P(AB)取到最小值，最小值是多少？解：因为 P(AB) P(A) P(B) P(A B), 又因为 P(B) P(A B)即 P(B) P(A B) 0.所以当P(B)
2、 P(A B)时P(AB)取到最大值，最大值是 P(AB) P(A)=0.6.(2) P( A B) 1 时 P(AB)取到最小值，最小值是 P(AB)=0.6+0.7-1=0.3.3 .已知事件 A, B 满足 P(AB) P(AB ),记 P(A) = p,试求 P(B).解：因为 P(AB) P(AB),即 P(AB) P(AB) 1 P(A B) 1 P(A) P(B) P(AB), 所以 P(B) 1 P(A) 1 p.4 .已知 P(A) = 0.7, P(A B) = 0.3,试求 P( AB).解：因为 P(A B) = 0.3,所以 P(A ) P(AB) = 0.3, P(
3、AB) = P(A ) 0.3, 又因为 P(A) = 0.7,所以 P(AB) =0.7 0.3=0.4, P(AB) 1 P(AB) 0.6.5 .从5双不同的鞋子种任取 4只，问这4只鞋子中至少有两只配成一双的概率是多少? 4解：显然总取法有 n C10种，以下求至少有两只配成一双的取法k：法一：分两种情况考虑：k C5 c2 (C2)2 + C；其中： C5c2(C2)2为恰有1双配对的方法数 11法二：分两种情况考虑：k c5 C8 C6 +C552!51 c8 c6其中：C5 6为恰有1双配对的方法数 2!法三：分两种情况考虑：k C1(C； C：) + C； 其中：c5(c； c
4、4)为恰有1双配对的方法数法四：先满足有1双配对再除去重复部分：k c5c；-C；441 4法五：考虑对立事件：k C10-C5 (C2)4_ 1 4其中：C5 (C2)为没有一双配对的方法数法六：考虑对立事件：k C140C；0 C8 C6 C44!C1 c1 c1 c1其中:C10 C8 C6 C4为没有一双配对的方法数4!所求概率为pC：。13216.在房间里有10个人，分别佩戴从1号到10号的纪念章，任取3人记录其纪念章的号码.求:解:求最小号码为求最大号码为法一：P5的概率;5的概率.C5C30,法二:12C3 A2 AT112(2)法二：pC42C30,法二:20C3A2207.将
5、3个球随机地放入4个杯子中去，求杯子中球的最大个数分别为1, 23的概率.解：设M1, M2, M3表示杯子中球的最大个数分别为12, 3的事件，则P(M1)A3 3，P(M2)?4849冠 P(M3)c443168.设5个产品中有3个合格品，2个不合格品，从中不返回地任取2个，求取出的2个中全是合格品，仅有一个合格品和没有合格品的概率各为多少？解：设M2, M1, M0分别事件表示取出的2个球全是合格品，仅有一个合格品和没有合格品，则P(M2)C1 03P(M1) CC2 06 P(M1)C5C5C；-4 0.1 c；9 . 口袋中有5个白球，3个黑球，从中任取两个，求取到的两个球颜色相同的
6、概率.M M1M1= 取到两个球颜色相同” ,M1= “取到两个球均为白球” ,M2= “取到两个球均为黑球”,则M 2且 M1 M 2所以P(M )P(M1 M2) P(M1) P(Mz) c C2C2C2132810 .若在区间(0, 1)内任取两个数，求事件“两数之和小于6/5”的概率.解：这是一个几何概型问题.以 x和y表示任取两个数，在平面上建立xOy直角坐标系，如图.任取两个数的所有结果构成样本空间=(x事件A =两数之和小于6/5 = (x, y)因此y)： 0 x, yx + y 6/51P(A)A的面积 的面积172511 .随机地向半圆0 y d2ax x2 (图？a为常数
7、)内掷一点，点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比，求原点和该点的连线与 x轴的夹角小于 一的概率.4解：这是一个几何概型问题.以 x和y表示随机地向半圆内掷一点的坐标，表示原点和该点的连线与 x轴的夹角，在平面上建立xOy直角坐标系，如图.随机地向半圆内掷一点的所有结果构成样本空间=(x, y)： 0 x 2a,0 y J2ax x2事件A = 原点和该点的连线与 x轴的夹角小于 一4因此=(x, y)： 0 x 2a,02 .y 2ax x ,0P(A)A的面积 的面积112.已知 P(A) ,P(BA)4解：P(AB) P(A)P(B A)11-,P(AB),求 P(A B).32
8、1 1 1,P(B) B14 3 12P(A| B)_1 1 112 2 613 .设10件产品中有4件不合格品，从中任取两件，已知所取两件产品中有一件是不合格品，则另一件也是不合格品的概 率是多少？解：题中要求的“已知所取两件产品中有一件是不合格品，则另一件也是不合格品的概率”应理解为求“已知所取两件产 品中至少有一件是不合格品，则两件均为不合格品的概率”设庆=”所取两件产品中至少有一件是不合格品，B= 两件均为不合格品”；P(A) 1 P(A) 1C6-2，P(BC103C2C12014 .有两个箱子，第1箱子有3个白球2个红球，第2个箱子有4个白球4个红球，现从第1个箱子中随机地取1个球
9、放到第2个箱子里，再从第 2个箱子中取出一个球，此球是白球的概率是多少？已知上述从第2个箱子中取出的球是白球，则从第1个箱子中取出的球是白球的概率是多少？P(A)Cc5解：设A= 从第1个箱子中取出的1个球是白球 ，B= 从第2个箱子中取出的1个球是白球”，则3-2,P(A) 一,由全概率公式得55由贝叶斯公式得15 .将两信息分别编码为 A和B传递出去，接收站收到时， A被误收作B的概率为0.02,而B被误收作A的概率为0.01, 信息A与信息B传送的频繁程度为2: 1,若接收站收到的信息是 A,问原发信息是A的概率是多少？解：设M= 原发信息是A，N= 接收到的信息是 A”， 已知 所以由
10、贝叶斯公式得1 1 116 .三人独立地去破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为一，问二人中至少有一人能将此密码译出的概率是5 3 4多少？解：设Ai= 第i个人能破译密码”，i= 1,2,3.111-4-2-3已知 P(A) 一,p(A2) -,P(A3)一,所以 P(A) -,p(A2) 一,p(A3)-,534534至少有一人能将此密码译出的概率为17 .设事件A与B相互独立，已知 P(A) = 0.4, P(AU B) = 0.7,求 P(BA).解：由于A与B相互独立，所以P(AB)=P(A)P(B),且P(A U B)=P(A)+ P(B) - P(AB)= P(A)+ P(B)
11、 - P(A)P(B) 将 P(A) = 0.4, P(A U B) = 0.7 代入上式解得 P(B) = 0.5 ,所以或者，由于A与B相互独立，所以A与B相互独立，所以18 .甲乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5,现已知目标被命中，则它是甲射中的概率是多少?解：设A= 甲射击目标”，B= 乙射击目标，M= 命中目标”， 已知 P(A)=P(B)=1, P(M A) 0.6,P(M B) 0.5,所以 由于甲乙两人是独立射击目标，所以19 .某零件用两种工艺加工，第一种工艺有三道工序，各道工序出现不合格品的概率分别为0.3, 0.2, 0.1;第二种工艺有两道工序
12、，各道工序出现不合格品的概率分别为0.3, 0.2,试问：(1)用哪种工艺加工得到合格品的概率较大些？(2)第二种工艺两道工序出现不合格品的概率都是0.3时，情况又如何？解：设Ai= 第1种工艺的第i道工序出现合格品，i= 1,2,3; Bi= 第2种工艺的第i道工序出现合格品，i=1,2. (1)根据题意，P(Ai)=0.7, P(A2)=0.8, P(A3)=0.9, P(Bi)=0.7,P(B2)=0.8,第一种工艺加工得到合格品的概率为P(A1A2A3)= P(A1)P(A2)P(A3)=0.7 0.8 0.9 0.504,第二种工艺加工得到合格品的概率为P(B1B2)= P(B1)P
13、(B2)= 0.7 0.80.56,可见第二种工艺加工得到合格品的概率大。(2)根据题意，第一种工艺加工得到合格品的概率仍为0.504,而P(Bi)=P(B2)=0.7,第二种工艺加工得到合格品的概率为P(B1B2)= P(B1)P(B2)= 0.7 0.70.49._1_9P(C) 一,且已知 P( A B C),216可见第一种工艺加工得到合格品的概率大。1.设两两相互独立的三事件 A, B和C满足条件ABC = ，P(A) P(B)求 P(A).解：因为ABC =,所以P(ABC) =0,因为A, B, C两两相互独立，P(A) P(B) P(C),所以由加法公式P(A B C) P(A
14、) P(B)P(C) P(AB) P(BC) P(AC) P(ABC)得3P(A) 3P(A)2916即4P(A)34P(A) 1 0-_1_1考虑到P(A)一,得P(A)-.2412.设事件A, B, C的概率都是一，且P(ABC) P(ABC),证明:2一- 一 12P(ABC) P(AB) P(AC) P(BC).2证明：因为P(ABC) P(ABC),所以P(ABC) 1 P(A B C) 1 P(A) P(B) P(C) P(AB) P(BC) P(AC) P(ABC) 将1口P(A) P(B) P(C) 一代入上式得到2整理得3 .设 0 P(A) 1 , 0 P(B) 1 , P(A|B) +P(A|B) 1, 试证A与B独立.证明：因为P(A|B) + P(A | B) 1 ,所以将P(A B) P(A) P(B) P(AB)代入上式得两边同乘非零的P( B)1- P( B)并整理得到所以A与B独立.4 .设A, B是任意两事件，其中 A的概率不等于0和1,证明P(B|A) P(B | A)是事件A与B独立的充分必要条件.P(AB) P(AB)证明：充分，性，由于 P(B | A) P(B|A),所以一- _ ,即P(A) P(A)两
