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1、第一章 事件与概率1.1 写出下列随机试验的样本空间与表示下列事件的样本点集合.10件产品中有1件是不合格品,从中任取2件得1件不合格品.一个口袋中有2个白球、3个黑球、4个红球,从中任取一球,得白球,得红球.解 记9个合格品分别为 ,记不合格为次,则记2个白球分别为,3个黑球分别为,4个红球分别为,.则, , ,1.2 在数学系的学生中任选一名学生,令事件A表示被选学生是男生,事件B表示被选学生是三年级学生,事件C表示该生是运动员. 叙述的意义.在什么条件下成立？什么时候关系式是正确的？ 什么时候成立？解 事件表示该是三年级男生,但不是运动员. 等价于,表示全系运动员都有是三年级的男生.当全
2、系运动员都是三年级学生时.当全系女生都在三年级并且三年级学生都是女生时.1.3 一个工人生产了个零件,以事件表示他生产的第个零件是合格品.用表示下列事件：没有一个零件是不合格品；至少有一个零件是不合格品；仅仅只有一个零件是不合格品；至少有两个零件是不合格品.解 ; ; ;原事件即至少有两个零件是合格品,可表示为；1.4 证明下列各式：;证明 14显然,5和6的证法分别类似于课文第1012页1.5式和式的证法.1.5 在分别写有2、4、6、7、8、11、12、13的八张卡片中任取两张,把卡片上的两个数字组成一个分数,求所得分数为既约分数的概率.解 样本点总数为.所得分数为既约分数必须分子分母或为
3、7、11、13中的两个,或为2、4、6、8、12中的一个和7、11、13中的一个组合,所以事件所得分数为既约分数包含个样本点.于是.1.6 有五条线段,长度分别为1、3、5、7、9.从这五条线段中任取三条,求所取三条线段能构成一个三角形的概率.解 样本点总数为.所取三条线段能构成一个三角形,这三条线段必须是3、5、7或3、7、9或多或5、7、9.所以事件所取三条线段能构成一个三角形包含3个样本点,于是.1.7 一个小孩用13个字母作组字游戏.如果字母的各种排列是随机的等可能的,问恰好组成MATHEMATICIAN一词的概率为多大？解 显然样本点总数为,事件恰好组成MATHEMATICIAN包含
4、个样本点.所以1.8 在中国象棋的棋盘上任意地放上一只红车与一只黑车,求它们正好可以相互吃掉的概率.解 任意固定红车的位置,黑车可处于个不同位置,当它处于和红车同行或同列的个位置之一时正好相互吃掉.故所求概率为1.9 一幢10层楼的楼房中的一架电梯,在底层登上7位乘客.电梯在每一层都停,乘客从第二层起离开电梯,假设每位乘客在哪一层离开电梯是等可能的,求没有两位与两位以上乘客在同一层离开的概率.解 每位乘客可在除底层外的9层中任意一层离开电梯,现有7位乘客,所以样本点总数为.事件没有两位与两位以上乘客在同一层离开相当于从9层中任取7层,各有一位乘客离开电梯.所以包含个样本点,于是.1.10 某城
5、市共有10000辆自行车,其牌照编号从00001到10000.问事件偶然遇到一辆自行车,其牌照中有数字8”的概率为多大？解 用表示牌照中有数字8”,显然,所以-1.11 任取一个正数,求下列事件的概率：该数的平方的末位数字是1；该数的四次方的末位数字是1；该数的立方的最后两位数字都是1；解 答案为.当该数的末位数是1、3、7、9之一时,其四次方的末位数是1,所以答案为一个正整数的立方的最后两位数字决定于该数的最后两位数字,所以样本空间包含个样本点.用事件表示该数的立方的最后两位数字都是1”,则该数的最后一位数字必须是1,设最后第二位数字为,则该数的立方的最后两位数字为1和3的个位数,要使3的个
6、位数是1,必须,因此所包含的样本点只有71这一点,于是.1.12 一个人把6根草掌握在手中,仅露出它们的头和尾.然后请另一个人把6个头两两相接,6个尾也两两相接.求放开手以后6根草恰好连成一个环的概率.并把上述结果推广到根草的情形.解 6根草的情形.取定一个头,它可以与其它的5个头之一相接,再取另一头,它又可以与其它未接过的3个之一相接,最后将剩下的两个头相接,故对头而言有种接法,同样对尾也有种接法,所以样本点总数为.用表示6根草恰好连成一个环,这种连接,对头而言仍有种连接法,而对尾而言,任取一尾,它只能和未与它的头连接的另4根草的尾连接.再取另一尾,它只能和未与它的头连接的另2根草的尾连接,
7、最后再将其余的尾连接成环,故尾的连接法为.所以包含的样本点数为,于是根草的情形和类似得1.13 把个完全相同的球随机地放入个盒子中即球放入盒子后,只能区别盒子中球的个数,不能区别是哪个球进入某个盒子,这时也称球是不可辨的.如果每一种放法都是等可能的,证明某一个指定的盒子中恰好有个球的概率为,恰好有个盒的概率为,指定的个盒中正好有个球的概率为,解 略.1.14 某公共汽车站每隔5分钟有一辆汽车到达,乘客到达汽车站的时刻是任意的,求一个乘客候车时间不超过3分钟的概率.解 所求概率为1.15 在中任取一点,证明的面积之比大于的概率为.解 截取,当且仅当点落入之内时的面积之比大于,因此所求概率为.1.
8、16 两艘轮船都要停靠同一个泊位,它们可能在一昼夜的任意时刻到达.设两船停靠泊位的时间分别为1小时与两小时,求有一艘船停靠泊位时必须等待一段时间的概率.解 分别用表示第一、二艘船到达泊位的时间.一艘船到达泊位时必须等待当且仅当.因此所求概率为1.17 在线段上任取三点,求：位于之间的概率.能构成一个三角形的概率.解 1.18 在平面上画有间隔为的等距平行线,向平面任意地投掷一个三角形,该三角形的边长为均小于,求三角形与平行线相交的概率.解 分别用表示三角形的一个顶点与平行线相合,一条边与平行线相合,两条边与平行线相交,显然所求概率为.分别用表示边,二边与平行线相交,则显然,.所以用例1.12的
9、结果1.19 己知不可能事件的概率为零,现在问概率为零的事件是否一定为不可能事件？试举例说明之.解 概率为零的事件不一定是不可能事件.例如向长度为1的线段内随机投点.则事件该点命中的中点的概率等于零,但不是不可能事件.1.20 甲、乙两人从装有个白球与个黑球的口袋中轮流摸取一球,甲先取,乙后取,每次取后都有不放回,直到两人中有一人取到白球时停止.试描述这一随机现象的概率空间,并求甲或乙先取到白球的概率.解表示白,表示黑白,表示黑黑白,则样本空间,并且,甲取胜的概率为+乙取胜的概率为+1.21 设事件与的概率分别为、与,求,解 由得 ,1.22 设、为两个随机事件,证明：;.证明 = 由和得第一
10、个不等式,由概率的单调性和半可加性分别得第二、三个不等式.1.23 对于任意的随机事件、,证明：证明 1.24 在某城市中共发行三种报纸：甲、乙、丙.在这个城市的居民中,订甲报的有45%,订乙报的有35%,订丙报的有30%,同时订甲、乙两报的有10%,同时订甲、丙两报的有8%,同时订乙、丙两报的有5%,同时订三种报纸的有3%,求下述百分比：只订甲报的；只订甲、乙两报的；只订一种报纸的；正好订两种报纸的；至少订一种报纸的；不订任何报纸的.解 事件表示订甲报,事件表示订乙报,事件表示订丙报.=30%+=+=73%1.26 某班有个学生参加口试,考签共N张,每人抽到的考签用后即放回,在考试结束后,问
11、至少有一张考没有被抽到的概率是多少？解 用表示第张考签没有被抽到,.要求.,所以1.27 从阶行列式的一般展开式中任取一项,问这项包含主对角线元素的概率是多少？解阶行列式的展开式中,任一项略去符号不计都可表示为,当且仅当的排列中存在使时这一项包含主对角线元素.用表示事件排列中即第个主对角线元素出现于展开式的某项中.则,所以1.29 已知一个家庭中有三个小孩,且其中一个是女孩,求至少有一个男孩的概率假设一个小孩是男孩或是女孩是等可能的.解 用分别表示男孩和女孩.则样本空间为：其中样本点依年龄大小的性别排列.表示有女孩,表示有男孩,则1.30 设件产品中有件是不合格品,从中任取两件,在所取产品中有
12、一件是不合格品的条件下,求另一件也是不合格品的概率. 在所取产品中有一件是合格品的条件下,求另一件也是不合格品的概率.解1设表示所取产品中至少有一件是不合格品,表示所取产品都是不合格品,则 设表示所取产品中至少有一件合格品,表示所取产品中有一件合格品,一件不合格品.则1.31 个人用摸彩的方式决定谁得一张电影票,他们依次摸彩,求：已知前个人都没摸到,求第个人摸到的概率；第个人摸到的概率.解 设表示第个人摸到,.1.32 已知一个母鸡生个蛋的概率为,而每一个蛋能孵化成小鸡的概率为,证明：一个母鸡恰有个下一代即小鸡的概率为.解 用表示母鸡生个蛋,表示母鸡恰有个下一代,则 1.33 某射击小组共有2
13、0名射手,其中一级射手4人,二级射手8人,三级射手7人,四级射手一人,一、二、三、四级射手能通过选拔进入决赛的概率分别是0.9、0.7、0.5、0.2,求在一组内任选一名射手,该射手能通过选拔进入决赛的概率.解 用表示任选一名射手为级,表示任选一名射手能进入决赛,则1.34 在某工厂里有甲、乙、丙三台机器生产螺丝钉,它们的产量各占25%,35%,40%,并在各自的产品里,不合格品各占有5%,4%,2%.现在从产品中任取一只恰是不合格品,问此不合格品是机器甲、乙、丙生产的概率分别等于多少？解 用表示任取一只产品是甲台机器生产表示任取一只产品是乙台机器生产表示任取一只产品是丙台机器生产表示任取一只
14、产品恰是不合格品.则由贝叶斯公式：1.35 某工厂的车床、钻床、磨床、刨床的台数之比为9:3:2:1,它们在一定时间内需要修理的概率之比为1:2:3:1.当有一台机床需要修理时,问这台机床是车床的概率是多少？解 则 , ,由贝时叶斯公式得 1.36 有朋友自远方来访,他乘火车、轮船、汽车、飞机来的概率分别是0.3、0.2、0.1、0.4.如果他乘火车、轮船、汽车来的话,迟到的概率分别是、,而乘飞机不会迟到.结果他迟到了,试问他是乘火车来的概率是多少？解 用表示朋友乘火车来,表示朋友乘轮船来,表示朋友乘汽车来,表示朋友乘飞机来,表示朋友迟到了.则 1.37 证明：若三个事件、独立,则、与都与独立.证明 1= 2 3=1.38 试举例说明由不能推出一定成立.解 设, 则 ,但是1.39 设为个相互独立的事件,且,求下列事件的概率：个事件全不发生；2
