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1、浅析函数极限的求法摘要极限是数学分析的一个重要组成部分，它以各种形式出现且贯穿在全部内容之中, 因此，掌握好极限的求解方法是学习数学分析的关键，而函数极限的求法可谓是多种多样.首先本文先给出了函数极限的定义及其性质；其次归纳和总结了函数极限的若干求法，并举例分析；最后给出了求函数极限的流程图，也就是求函数极限的思路、步骤，使初学者能较快地掌握求函数极限方法.关键词：极限；导数；洛必达法则；泰勒公式RAMBLE ABOUT THE METHODS OF MATH LIMITABSTRACTMathematical analysis of the limit has been a focus of
2、 content, and runs through the entire contents in a variety of forms, therefore, how to grasp the solution to limit is the key to learning the mathematical analysis. The series of limit can be described as diverse, by concluded and induction, At first, this paper gives the definition of limit, by de
3、fining the to understand what is the limit of sequence and function; secondly by induction and summarization, this paper lists some common calculation methods, and analysis all kinds of method of limit. At last,given the procedure of the solution to function limit finally, i.e. the idea of solve fun
4、ction limit and the step of solve function limit, to make the beginning student can grasp the method of solve function limit fast. Key words: limit; derivative; Variable substitution; Lhospitals rule; McLaughLin formula; Taylar exhibition type目 录1 前言- 3 -2函数极限的概念及性质- 4 -2.1函数极限的概念- 4 -2.2函数极限的性质- 5
5、-3函数极限的求解方法- 6 -3.1 利用两个准则求极限- 6 -3.2 利用极限的四则运算求极限- 7 -3.3 利用两个重要极限公式求极限- 8 -3.4 利用洛必达法则求极限- 9 -3.5 利用函数连续性求极限- 10 -3.6 通过等式变形化为已知极限- 10 -3.7 利用换元法求极限- 11 -3.23 利用自然对数法求极限- 11 -3.8 利用因式分解法求极限- 12 -3.14 利用压缩定理- 16 -4 求极限的一般流程- 18 -结论- 21 -参考文献- 22 -致谢- 23 -1 前言极限研究的是变量在变化过程中的趋势问题.数学分析中所讨论的极限大体上分为两类：一
6、类是数列的极限，一类是函数的极限.两类极限的本质上是相同的，在形式上数列界限是函数极限的特例.因此，本文只就函数极限进行讨论.函数极限运算是高等数学的一个重要的基本运算，一部分函数的极限可以通过直接或间接的运用“极限四则运算法则”来求解，而另一部分函数极限需要通过特殊方法解决.求函数极限的方法较多，但是每种方法都有其局限性，都不是万能的.对某个具体的求极限的问题，我们应该追求最简便的方法.在求极限的过程中，必然以相关的概念、定理以及公式为依据，并借助一些重要的方法和技巧.极限是数学分析中最基本的概念之一，用以描述变量在一定的变化过程中的终极状态.早在中国古代，极限的朴素思想和应用就已在文献中有
7、记载,例如，魏晋时期中国数学家刘徽的“割圆术”的数学思想，即用无限逼近的方式来研究数量的变化趋势的思想.在数学分析中的许多基本概念，都可以用极限来描述.如函数连续的定义，导数的定义，定积分、二重积分、三重积分的定义，级数收敛的定义，都是用极限来定义的.极限是研究数学分析的基本工具，极限是贯穿数学分析的一条主线.本文是在极限存在的条件下，对极限的常用求法进行综述，归纳出计算极限的一般流程.计算极限所用的方法，是致力于把所求极限简化为已知极限.求极限的方法远远不止本文所归纳的，故本文并不够完善，求极限的方法未能拓展,只限于数学分析.希望通过本文，大家在思想上能对求解极限的方法有一个高度的总括，计算
8、极限时游刃有余.2函数极限的概念及性质2.1函数极限的概念定义1 设为定义在上的函数，A为定数.若对任给的，存在正数，使得当时有 则称函数当趋于时以A为极限，记作 或 定义2 （函数极限的定义） 设函数在点的某个空心邻域内有定义，A为定数.若对任给的，存在正数，使得时有 则称函数当趋于时以A为极限，记作 或 定义3设函数在（或）内有定义，A为定数.若对任给的，存在正数，使得当（或）时有 则称数A为函数当趋于（或）时的右（左）极限，记作 （）或 （） 右极限与左极限统称为单侧极限. 在点的右极限与左极限又分别记为 与 . 2.2函数极限的性质定理1（唯一性） 若极限存在，则在的某空心邻域内有界.
9、定理2（局部保号性）若 （或），则对任何正数（或），存在，使得对一切有（或）.定理3（保不等式性） 设 与 都存在，且在某邻域 内有，则定理4 （迫敛性） 设，且在某邻域内有，则定理5（四则运算法则） 若极限与都存在，则函数，当时极限也存在.3函数极限的求解方法3.1 利用两个准则求极限(1)极限的迫敛性（夹逼原理），对数列和函数同样适用： 设，且在某内有则利用夹逼原理求极限，通常通过放大或缩小的方法找出两个有相同极限值的数列或函数， .例3.1求解： 因为，所以当0时 而 由迫敛性定理得，=1例 3. 2 求 解： 因为当2时，而， 由迫敛性定理知=0（2）单调有界定理设为定义在或上的单调有
10、界函数，则存在或存在3.2 利用极限的四则运算求极限极限的四则运算法则：若， （1） （2） （3）若 则： （4） （c为常数） 上述性质对于时也同样成立通常在这一类型的题中，一般都含有未定式不能直接进行极限的四则运算，首先对函数实行各种恒等变形.例 3.3 求极限解：= =例3.4 求极限解：=0例3.5 求极限 解：=例 3.6求极限解： = = 3.3 利用两个重要极限公式求极限两个重要极限公式：（A） (B)但我们经常使用的是它们的变形： 例3.7 求极限解： =例3.8 求极限解： =3.4 利用洛必达法则求极限型不定式极限定理：若函数和满足：（1）；（2）在点的某空心邻域内两者都
11、可导，且；（3）（可为实数，也可为或），则型不定式极限定理：若函数和满足：（1）；（2）在点的某右空心邻域内两者都可导，且；（3）（可为实数，也可为或），则 不定式极限还有等类型，经过简单变换，它们一般均可化为型或型的极限.例3.9 求极限 解： 由对数恒等式可得 =例3.10 求极限解：= =-43.5 利用函数连续性求极限（1）若在处连续，则（2）若是复合函数，又且在处连续，则这种方法适用于求复合函数的极限.如果在点连续，而在点连续，那么复合函数在点连续.即.例3.10 求极限解： 令，因为在点处连续所以=3.6 通过等式变形化为已知极限要点：当极限不宜直接求出时，可考虑将求极限的变量作适
12、当的等式变形，得到已知极限的新变量.例3.11 求极限解： =03.7 利用换元法求极限当一个函数的解析式比较复杂或不便于观察时，可采用换元的方法加以变形，使之简化易求.例3.12 求极限解： 令，则=3.8 利用自然对数法求极限自然对数法：把形如通过恒等变形写成的形式,改为求 或不定式的极限.例3.13 求极限解： 用自然对数法，令y=取自然对数得= 3.9 利用因式分解法求极限要点：如果可以通过因式分解将变量化简或转化为已知的极限，即可利用此方法求变量极限.例3.14 就极限解 ： = 3.10 利用等价无穷小量求极限当时，下列函数都是无穷小（极限为0）且相互等价， 设函数在内有定义，且有
13、 .(1) 若，则(2) 若，则 注：在用等价无穷小求极限过程，不是乘除的情况，不一定能这样做.例3.15 求极限解： =例3.16 试确定的值，使时为同阶无穷小量解： 因为= = 所以，故当=1时与当时为同阶无穷小量3.11 利用积分中值定理求极限一般根据积分第一中值定理：若在上连续，则至少存在一点，使得 将某些含有积分的变量化为一般形式再求极限. 例3.17 求极限解： 由积分中值定理=， ， 3.12利用定积分求和式的极限利用定积分和式求极限时首先选好恰当的可积函数，把所求极限的和式表示成在某区间上的等分的积分和式的极限.例3.18 求极限解： = 令=，则由定积分定义知 又 由，得= 3.13 利用级数收敛的必要条件求极限利用级数收敛的必要条件：若级数收敛，则，运用这个方法首先判定级数收敛，然后得出它的通项极限. 例3.1
