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1、“列举法求古典概型”的几点教学思考广州市第七中学 李立彬摘要：本文针对高二学生在学习必修三古典概型时出现的相关问题，总结出学生对解古典概型时常见的三个易错的困惑点。并在此基础上进行教学反思，给教师在教学此内容时提供有效的教学建议。通过介绍古典概型的计算方法，使学生在解题过程中能养成正确分析题意，运用适当的方法获得准确答案的良好习惯，从而提高分析问题和解决问题的能力。关键词：古典概型 列举法 一、 理论研究 数学学习要有一定的心理基础，应当选择相对应的认识图式，学习过程是一个信息或要素组织的过程，教学则需要认知要素的再组织。现代认知心理学认为，学习是学习者以信息输入为基础，根据已有经验建构内部心
2、理表征，进而获得心理意义的过程。古典概型的教与学，是对知识、技能、概念、法则在心理上组织起适当的有效认知，使之成为个人内部的知识网络的一部分，本文关于求解方法选择的教学研究，由此产生不容忽视的意义。二、问题背景人教版数学必修三的古典概型，是在随机事件的概率之后，几何概型之前所学内容。古典概型起着承前启后的作用，在概率论中占有相当重要的地位。通过实验和观察的方法，我们可以得到一些事件的概率估计。但这种方法耗时多，而且得到的往往是概率的近似值，因此我们应当选择和寻找计算事件概率的通用方法。如果一次试验满足：（1） 试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；（2） 每个基本事件出现的可能性相等。我们将
3、具有这两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型。 一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特征有限性和等可能性，同时具备这两个特点的概型才是古典概型。概率中的许多运算规则，也首先是在这种模型下得到的。 古典概型的案例千变万化，有的题目看似简单，但因学生概念理解不深刻，加之审题、读题习惯不良出现错解。学生受初中概率的影响，喜欢用概率相乘来进行解题，然而学生并不真正理解独立事件、条件概率的含义，在学习必修三古典概型新课阶段，不推荐学生用条件概率来解题，这是易错点。当然理科生在学完高中数学选修2-3后还可以运用分类分步、排列组合的思想解古典概型，而文科生则主要依赖列举法解古
4、典概型。本文主要针对文科数学高考要求以及理科生在未学排列组合时，谈谈用列举法解古典概型时笔者的一些教学反思。三、问题研究 下面通过一个例题来说明用列举法解古典概型的疑惑：例1：袋中有2个红球和2个白球，现从中取两个小球，求取出的两个小球恰有一个红球与一个白球的概率。分析：学生甚至老师经常出现的三个易错困惑点问题 1：2个红球是否相同？ 2：取2个球是否有序？即一次取两个还是取两次？ 3：取两个球是否可以重复？ 我们通过三种解法来研究、分析、总结以上三个问题：解法1：若将2个红球2个白球看做不同的4个球，分别记a、b为两红球,c、d为两白球。设事件A=取出两球恰有一个红球和一个白球，连线a,b,
5、c,d（无序不重复数）： 则总的基本事件数N=3+2+1=6,事件A包括的基本事件数n=2+2=4，故事件A发生的概率为P（A）=。解法2：若将2个红球2个白球看做不同的4个球，分别记为a,b,c,d。设事件A=取出两球恰有一个红球和一个白球，列44表格（有序不重复数）：abcda*（a,b）（a,c）（a,d）b（b,a）*（b,c）（b,d）c（c,a）（c,b）*（c,d）d（b,a）（d,b）（d,c）*则总的基本事件数N=44-4=12,事件A包括的基本事件数n=8，故事件A发生的概率为P（A）=。解法3:若将2个红球和2个白球看做相同的，分别记为a,a,b,b,设事件A=取出两球恰
6、有一个红球和一个白球，连线a,a,b,b(无序不重复)：则总的基本事件数N=3,事件A包括的基本事件数n=1，故事件A发生的概率为P（A）=。问题：解法3和前面两种解法答案不一样，解法3错了吗？若错了错在哪里？解法3中，总的基本事件数应该为6，分别是：事件A的基本事件数为4,分别是：我们看到基本事件出现了重复的小球，事实上违背了古典概型的等可能性原则，为了避免对这两种情况产生混淆，我们应该把两个红球看成是不同的，如分别用表示这两个红球，那么这个基本事件就是。例1属于无放回抽取，元素不可重复。另外基本事件发生了4次，也不是同一个红球和同一个白球被抽取了四次，而是不同的红球和白球被抽取了4此。不妨
7、把两个白球分别记为，那么这4个基本事件就分别是 因此在解古典概型时，我们可以把每个“小球”看成不同的元素。评析：(1) 古典概型在列举时，应该把每个元素看成是不同的，这样才能保证每个基本事件出现的可能性相等。这样我们解决了第1个疑惑。（2）从解法1和解法2可以看到，是否有序并不影响答案，只要总的基本事件和事件A的基本事件统一是否有序即可。若题目中有“任取”“依此抽取”等明确是否有序的文字，则我们按照题意列举即可；若题目没有明确是否有序，我们就可以自己统一总的基本事件和事件A的基本事件是否有序。这样我们解决了第2个疑问。（3）元素是否可以重复，取决于抽取时是否放回。这需要对题意理解透彻，如“连续
8、两次抛掷同一颗色子”，我们可以得到基本事件（1,1），这是典型的有放回模型。这样我们解决了第3个疑问。 用列举法求古典概型还有一个难点：如何罗列事件的个数？ 用列举法解古典概型主要有：列举、画表格、连线、画树状图等方法，高中阶段解古典概型，以“从n个元素中取两个元素”题型最为常见。下面我们通过例2来理解其列举的方法。例2：甲乙两人参加台湾知识竞赛，共有10个不同的题目，其中选择题6个，判断题4个。甲乙两个依此各抽一题，求：（1） 甲抽到选择题，乙抽到判断题的概率；（2） 甲乙两人中至少有一人抽到选择题的概率。分析：学生在解答此题时，若采取一一列举法或者画1010表格，共90种，需花大量时间，书
9、写也占大量地方；“两个依此各抽一题”属于“从n个元素中取两个元素”题型中有序不重复问题。下面采用连线方法解此题。解：不妨分别设6道选择题，4道判断题分别为由有向连线图： 总基本事件数N=(9+8+.+1)2=90.(1) 设事件A=甲抽到选择题，乙抽到判断题，由有向连线图知： 事件A发生的基本事件总是由古典概型公式知，事件A发生的概率.(2) 设事件B=甲乙两人中至少有一人抽到选择题则事件B发生的基本事件数有以下两种方法：法一：事件B包括两种情况：（1）甲乙两人一人抽到选择题一人抽到填空题，共有基本事件数48种；（2）甲乙两人均抽到选择题，共有基本事件数种。故事件B共有78种基本事件。法二：事
10、件B的对立事件是甲乙两人均抽到填空题，共有种，故事件B发生的基本事件数为90-12=78种。由古典概型公式知，事件B发生的概率.答：甲抽到选择题，乙抽到判断题的概率为，甲乙两人中至少有一人抽到选择题的概率评析：（1）采取列举法时有多种形式，一般根据n的大小来决定列举的方式。（2）在这个阶段，很多学生喜欢用排列组合公式解古典概型，有些老师也会在此时增加排列组合部分的教学，但是往往学生因为对公式理解不透彻而出现错误。尤其文科生高考对排列组合不做要求，教师一般不会对排列组合进行系统教学，这样更容易出现错误。因此在这个阶段建议教师不要提前讲排列组合公式，也建议学生特别是文科生不要用排列组合公式解古典概
11、型。 我们不妨以人教版必修三P129例5为例来理解例1和例2的评析。例3：某种饮料每箱装6听，如果其中有2听不合格，问质检人员从中随机抽取2听，检测出不合格产品的概率有多大 ？教材解法： 解：我们把每听饮料标上号码，合格的4听分别记作：1，2，3，4，不合格的2听分别记为a，b，只要检测的2听中有1听不合格，就表示查出了不合格产品. 依次不放回从箱中取出2听饮料，得到的两个标记分别记为x和y，则（x，y）表示一次抽取的结果，即基本事件由于是随机抽取，所以抽到的任何基本事件的概率相等用A表示“抽出的2听饮料中有不合格产品”， A1表示“仅第一次抽出的是不合格产品”，A2表示“仅第二次抽出的是不合
12、格产品”，A12表示“两次抽出的都是不合格产品”，则A1，A2和A12是互斥事件，且 AA1A2A12，从而P(A)= P(A1)+P(A2)+ P(A12) 。因为A1中的基本事件的个数为8，A2中的基本事件的个数为8，A12中的基本事件的个数为2，全部基本事件的总数为30，所以。1问题：教材没有交待清楚全部基本事件的总数30是如何数出来的，这给学生造成了困惑。教材解法改进：解法1：采取连线图（有序，不重复）列出基本事件数，总的基本事件数，A1中的基本事件个数为8如下：A2中的基本事件个数为8如下：A12中的基本事件个数为2： , 所以解法2：可以看作不放回两次无顺序抽样，则（x，y）与（y
13、，x）表示相同的基本事件.在6听饮料中随机抽取2听，可能发生的基本事件共有15种. 由于是随机抽取，所以抽到的任何基本事件的概率相等.其中抽出不合格产品有两种情况: 1听不合格：合格产品从4听中选1听，不合格产品从2听中选1听，包含的基本事件数为8： 2听都不合格：包含的基本事件数为1：所以检测出不合格产品这个事件包含的基本事件数为819，所以检测出不合格产品的概率是：0.6 答：检测出不合格产品的概率是0.6. 解法3：66表格，我们把每听饮料标上号码，合格的4听分别记作：1，2，3，4，不合格的2听分别记为a，b。1234ab1*（2,1）（3,1）（4,1）（a,1）（b,1）2 (1,
14、2)*（3,2）（4,2）（a,2）（b,2）3（1,3）（2,3）*（4,3）（a,3）（b,3）4（1,4）（2,4）（3,4）*（a,4）（b,4）a（1,a）（2,a）（3,a）（4,a）*（b,a）b（1,b）（2,b）（3,b）（4,b）（a,b）* 我们既可以看做有序不重复（只去对角线），又可以看做无序不重复（去对角线，再取一半），只要在数总基本事件的时候与在数事件A的时候按照统一的标准去数就可以。 有序不重复（只去对角线）：N=36-6=30，n=18； 无序不重复（去对角线，再取一半）:N=15,n=9。两种数法答案一致！四、拓展探究古典概型中“从n个中取三个”该怎么数基本事件数？例4：从1,3,5，7中选择三个数，求可以构成三角形的概率？解法1：正面列举按照顺序先确定2个再确定第3个，列举总的基本事件：1,3,5、1,3,7、1,5,7、3,5,7，共4个；满足条件的基本事件：3,5,7，共1个。故所求概率为.解法2：“从4个中取3个”相当于“从4个中取1个”。总的基本事件的基本事件：1（3,5,7）、3（1,5,7）、5（1,3,7）、7（1，3,5,），共4个；满足条件的基本事件的基本事件：1（3,5,7），共1个。故所求概率为.评析：（1） 正面列举比较困难，可以采取数对立事件。如“从5个中取3个”相当于“从5个中取2个”，和前
