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1、初中数学、数学课件、数学综合练习题、数学教学教案、试卷数学初中数学、数学课件、数学综合练习题、数学教学教案、试卷数学初中数学、数学课件、数学综合练习题、数学教学教案、试卷数学抛物线知识导学初中数学、数学课件、数学综合练习题、数学教学教案、试卷数学初中数学、数学课件、数学综合练习题、数学教学教案、试卷数学、抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l(F l)距离相等的点的轨迹叫做抛物线定点F叫做抛物线的焦点，定直线 丨叫做抛物线的准线.注意：抛物线的定义中涉及到一个定点和一条定直线，要求这个定点不能在定直线上，否则轨 迹就不再是一条抛物线，而是一条直线(过定点且与定直线垂直的直线).二、抛物线
2、的标准方程1 抛物线的标准方程是指当抛物线在标准位置时的方程所谓标准位置，就是指抛物线的顶 点在坐标原点，抛物线的对称轴为坐标轴抛物线的标准方程有四种形式(抛物线标准方程的具体 推导过程见教材)：(1)焦点在x轴的正半轴上的抛物线的标准方程为2y =2px(p 0)，焦点坐标为初中数学、数学课件、数学综合练习题、数学教学教案、试卷数学初中数学、数学课件、数学综合练习题、数学教学教案、试卷数学初中数学、数学课件、数学综合练习题、数学教学教案、试卷数学初中数学、数学课件、数学综合练习题、数学教学教案、试卷数学准线方程为x =，其开口方向向右；2y = -2 px( p 0)，焦点坐标为2x =2p
3、y(p 0)，焦点坐标为2x - -2py(p 0)，焦点坐标为2(2) 焦点在x轴的负半轴上的抛物线的标准方程为-P ,0 ，准线方程为x =卫，其开口方向向左； 2 2(3) 焦点在y轴的正半轴上的抛物线的标准方程为 准线方程为y =，其开口方向 向上；2(4) 焦点在y轴的负半轴上的抛物线的标准方程为 0, - E ，准线方程为y = p，其开口方向向下.2 2其中抛物线的标准方程中参数p的几何意义是抛物线的焦点到准线的距离.一 1 2注意：不要受二次函数的影响把抛物线方程记作类似yx的形式，应按本部分要求记p1作：x =2py .如求抛物线 y = 2px的焦点坐标，应先将方程写成标准
4、形式：xy，然p一壬1、后得其焦点坐标为0,.0)y2 = -2 px(p0)x2 = 2 py(P0)x2 = -2 py(P0)对称轴x轴y轴顶占八、原点离心率e = 1准 线方程x2x皐2y誇范 围y轴右侧y轴左侧x轴上方x轴下方如右图，抛物线标准方程为yF f，=2 px( p 0)，焦点坐标为，过点F作垂直于对称轴x轴)的直线交抛物线于Mi,M2两点，计算得 Mr，M 2两点坐标为卫，-p，p，p，可知线段2 P .2卩M1M2的长为定值2p，只与焦参数 p有关线段 M1M2叫做抛物线的 通径.2 与椭圆、双曲线的几何性质比较，抛物线的几何性质有下列特点：其中抛物线的对称轴也叫做抛物
5、线的轴.初中数学、数学课件、数学综合练习题、数学教学教案、试卷数学初中数学、数学课件、数学综合练习题、数学教学教案、试卷数学(1) 抛物线可以无限延伸，但无渐近线.(2) 抛物线只有一个顶点、一条对称轴，并且没有对称中心，它不是中心对称图形，离心率 为1,是固定的.(3) 抛物线的开口大小与离心率无关，与p的大小有关， p越大则开口越大，反之则越小.(4) 抛物线的焦点与准线分别在顶点的两侧，且它们到顶点的距离相等，均为抛物线中的思维误区一、对抛物线的定义模糊导致错误例1若动点P与定点F(1,1)和直线丨:3x y-4=0的距离相等，则动点 P的轨迹是 ( )A.椭圆E.双曲线C.抛物线D .
6、直线误：由抛物线的定义，可知选(C).析：抛物线的定义中，定点一定不在定直线上，而本题中的定点F(1,1)在定直线l :3x y -4 = 0上.正：设动点P的坐标为(x, y)，则Ux-1)2 (y-1)23x y -4.10初中数学、数学课件、数学综合练习题、数学教学教案、试卷数学初中数学、数学课件、数学综合练习题、数学教学教案、试卷数学整理，得 x -3y，2 = 0 .所以动点P的轨迹为直线，选(D).P(-2, -4)的抛物线的标准方程.、忽视标准方程的种类导致错误例2求以原点为顶点，坐标为对称轴，并且经过点误：设抛物线寸二-2px(p 0)， 将 P(-2, - 4)代入，得 p
7、= 4 .故抛物线的标准方程为 y?二_8x .析：错解只考虑了抛物线方程的一种情况，应还有位于三、四象限时的抛物线方程正：还有一种情形设 x? - -2py(p .0),求得标准方程为x? - -y .所以满足条件的抛物线的标准方程为y? = _8x或x?二-y .三、对直线与抛物线一个交点认识不清?例3求过点M(0,)且和抛物线C : y =4x仅有一个公共点的直线方程. 误：设所求直线方程是 y = kx 1 .y 二 kx 1,22由?消去 y，得 k?x?2(k-2)x 1=0,y =4x,-抛物线与所求的直线只有一个公共点，? ?、江=4(k 一2) -4k -0，解得 k =1
8、.故所求的直线方程为 y = x 1 .析：由于过点 M(0,1)的直线丨的斜率可能存在，也可能不存在，同时抛物线与其对称轴 平行的直线与抛物线恒有一个交点的特性，从而漏了两个解.正：(1 )当直线丨的斜率不存在时，其方程为x =0，显然与抛物线 C仅有一个公共点.(2)当直线丨的斜率为零，其方程为y =1，显然与抛物线 C仅有一个公共点.(3)当直线丨的斜率为k(k = 0)，设所求直线方程是 y =kx 1 .丄y 二 kx 1，2?由?消去 y，得 k?x?2(k -2)x 1 =0,y =4x,-抛物线与所求的直线只有一个公共点，、江=4(k _2)? _4k? =0，解得 k =1
9、.故所求的直线方程为 y = x 1 .综上可知，所求的直线方程为x=0, y=1, y=x，1.四、对于多解认识不清例4求顶点在原点，焦点在 x轴上且通径长为8的抛物线方程.误：抛物线顶点在原点，焦点在x轴上，设抛物线方程为 y? =2px(p 0)，焦点坐标为 ,0 .?通径 8 =2p所求的抛物线方程为y? =8x .析：错因只考虑到焦点在x轴正半轴的情形，而忽略了焦点也可能在x轴负半轴的情形，故产生了漏解.正：抛物线顶点在原点，焦点在x轴上，可设抛物线方程为y? =2ax .又通径为8 =|?a , ?a = 一8 .故所求的抛物线方程为y?二8x .初中数学、数学课件、数学综合练习题
10、、数学教学教案、试卷数学初中数学、数学课件、数学综合练习题、数学教学教案、试卷数学初中数学、数学课件、数学综合练习题、数学教学教案、试卷数学初中数学、数学课件、数学综合练习题、数学教学教案、试卷数学点评：此题利用抛物线的定义，使抛物线上的点到准线的距离与点到焦点的距离相互转化，再利用平面几何中的知识，使问题获解.2、求曲线的方程2例2 圆心在抛物线 y =2X上且与x轴及抛物线的准线都相 切, 求该圆的方程解析：如图3，设圆心为P且A, F为切点，由PA二PF，结合抛物线的定义知 F为抛物线的焦点，即丄,02，因此pi1,或丿12丿且圆的半径r =1 故所求方程为(y _1)2 =1 或 x-
11、1I 2丿(y 1)2 =1抛物线定义的应用定义揭示了事物的属性，不仅是我们理解事物的基础，也是解决问题的重要工具本文将介绍 如何利用抛物线的定义解题，望对同学们有所帮助1、求最值例1设P是抛物线y? =4x上的一个动点，F是焦点.(1)求点P到点A(-1,1)的距离与点P到直线x - -1的距离之和的最小值；(2)若B点的坐标为(3，2)，求PB + PF的最小值.解析：(1)如图1,易知抛物线的焦点为 F(1,0)，准线是x = -1 由抛物线的定义知：点P到直线x =1的距离等于点 P到焦点F的距离于是，问题转化为：在曲线上求一点P，使点P到点A( -1,1)的距离与点P到F (1，)的
12、距离之和最小显然，连结AF交抛物线于P点故最小值为,221，即为 5 ；(2)如图2，自点B作BQ垂直于准线，交点为 Q，交抛物线于点P，此时，RQ =|RF，那么点评：本题利用抛物线的定义，可知切点与焦点重合，从而确定了点的坐标，使问题的求解变 的很顺畅.3、确定方程的曲线例3方程j2(x+3)2 +2(y 1)2 =|x y +3表示的曲线是()A.圆C.双曲线E.椭圆D.抛物线解析：方程变形为；22 x y + 3J(x+3)2+(y1)2=扩.它表示“点M (x, y)与点F ( -3,1)的距离等于它到直线 x - y 3 = 0的距离”，根据抛物线 的定义知， M的轨迹是抛物线故
13、选(D).点评：本题若直接化简方程，再判断其轨迹较繁杂，根据方程两边所表示的几何意义，利用抛 物线的定义则简单易行.4、求三角形面积例4设0为抛物线的顶点，F为抛物线的焦点且 PQ为过焦点的弦，若 OF =a，PQ =b，求 OPQ的面积.解析：如图4，不妨设抛物线方程为 y2 =4ax， P(x,，y1)，Q(x2， y2)， 由抛物线定义知PQ = PF + QF = % +a + x2 + a = bn 为 +x2 = b 2a .T0$X由 yi2 =4a%， y22 =4ax2，2 2得= b2a = yj y2? = 4a(b2a).4a 4a又由于PQ为过焦点的弦，因此 y2 - -a2.故y2 - yi = 7yi2 + y22 2%y2 = J4a(b _2a) _2(_4a2) = 2/ab，因此,= -|of 裁2 - yiS1SOPQ 2点评：将焦点弦分成两段，利用定义将过焦点的弦长用两端点横坐标表示，结合方程，利用根 与系数的 关系是解题的基本思路本题中计算三角形面积的技巧，是抛物线中经常用到的，需掌 握.抛物线的焦半径公式、抛物线的焦半径公式，准线丨的方程为由抛物线定义，得PF= 对号即为抛物线y2=2px(p0)的焦半径公式.抛物线中的许多问题用其求解，则简捷方便.二、焦半
