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1、2016新课标三维人教B版数学必修42.2向量的分解与向量的坐标运算向量的分解与向量的坐标运算 2(2.1 平面向量基本定理 预习课本P96,98，思考并完成以下问题 (1)平面向量基本定理的内容是什么, (2)如何定义平面向量基底, (3)直线的向量参数方程式是什么, 新知初探 1(平面向量基本定理 (1)定理 如果e1和e2是一平面内的两个不平行的向量，那么该平面内的任一向量a，存在唯一的一对实数，aa，使a,ae，ae. 121122版权所有:中国好课堂 (2)基底 把不共线向量，ee2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为e(aee，a2e211211叫做向量a关于基底，ee的分解
2、式( 12点睛 对平面向量基本定理的理解应注意以下三点:?e2e是同一平面内的两个不1共线向量,?该平面内任意向量a都可以用e1线性表e2示且这种表示是唯一的,?基底不唯一只要是同一平面内的两个不共线向量都可作为基底( 2(直线的向量参数方程式 已知A，B是直线l上的任意两点，是Ol外一点(如图所示)，则对于,直线上任意一l点P，存在唯一实数t，使,(1,t) ，t ;反OPOAOB之，对每一个实数t，在直线l上都有唯一的一个点P与之对应(向量等,式,(1,t) ，t 叫做直线l的向量参数方程式，其中实数t叫做参变数，简称参OPOAOB,11数(当t,时，,(，)，此时P点为线段AB的中点，这
3、是线段A中点的向B量OPOAOB22表达式( ,点睛 直线的向量参数方程式中其OAOB的系数和为1. 小试身手 1(判断下列命题是否正确(正确的打“?”，错误的打“”) (1)任意两个向量都可以作为基底( ) (2)一个平面内有无数对不共线的向量都可作为表示该平面内所有向量的基底( ) (3)零向量不可以作为基底中的向量( ) 答案:(1) (2)? (3)? 2(如图，向量e，e，a的起点与终点均在正方形网格的格点上，12则向量a用基底，ee2表示为( ) 1版权所有:中国好课堂 A(e，e B(,2e，e 1212C(2e,e D(2e，e 1212答案:B 3(设e，e2是同一平面内两个
4、不共线的向量，以下各组向量中不能作为基底的是( ) 1A(e，e B(e，e3e，3e 121212,C(e5e D(e，e，e 1,2112答案:B ,4(设e，e2为两个不共线的向量，若点O是?ABCD的中心，,4e，,6e，BCAB112则3e,2e,_. 211解析:3e,2e,(6e,4e) 21212,11,(,),(,) BCABADAB22,1,BO,. BD2,BO答案: (答案不唯一) 用基底表示向量 ,AC典例 如图，在平行四边形ABCD中，设对角线,a，BD,b，,BC试用基底a，b表示AB，. ,1111AOOCACBOODBD解 法一:由题意知,a,b. 2222,
5、11AOOBAOBOAB所以,，,a,b 22版权所有:中国好课堂 ,11,，,a，b BCBOOC22,法二:设,x,y则,y BCBCABAD,，,x，y,aBCACAB,又, ,则 y,x,b, , ,ADABBD,1111所以x,a,by,a，b 2222,1111即,a,b,a，b. BCAB2222用基底表示向量的方法 将两个不共线的向量作为基底表示其他向量基本方法有两种:一种是运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化直至用基底表示为止,另一种是通过列向量方程或方程组的形式利用基底表示向量的唯一性求解( 活学活用 如图，已知梯形ABCD中，AD?BC，E，F分别是AD，BC边上
6、,BC中点，且BC,3AD，,a，,b.试以a，b为基底表示，BAEFDF的,CD. 1解:?AD?BC且AD,BC 3,11BCAD?,b. 33?E为AD的中点 ,11AEEDAD?,b. 26版权所有:中国好课堂 ,1?, BCBF2,1?,b BF2,?,， BAEFABBF111,b,a，b,b,a 623,111,，,b，b,a,b,a DFDEEF636,，,(，) CDCFFCFDDF,11,(，),b,a，b DFBF,622,a,b. 3直线的向量参数方程式的应用 ,典例 已知平面内两定点A，B，对该平面内任一动点COC，总有OA,3，(1,3) ,OB (?R，点O为直线
7、AB外的一点)，则点C的轨迹是什么图形,简单说明理由( 解 法一:3，(1,3),1且?R结合直线的向量参数方程式可知点的轨迹是C直线AB. ,OA法二:将已知向量等式两边同时减去得 ,OCOAOAOB,(3,1) ，(1,3) ,OBOA,(1,3)( ,) ,(1,3) AB ,ACAB即,(1,3) ?R ?ABC三点共线即点C的轨迹是直线AB. 版权所有:中国好课堂 直线的向量参数方程式的两方面应用 ,(1)若ABC三点共线则有,x，y且x，y,1, OCOAOB,(2)若,x，y且x，y,1则有ABC( 三点共线OCOAOB活学活用 ,1 在?ABC中，D为AB上一点，若,2，,，则
8、,_. CDCACBADDB3,解析:法一:?,2 ADDB,22?,(,)( CBCAADAB33,212?在?ACD中,，,，(,),， CDCACACBCACACBAD3332?,. 3,法二:?,2?ABD三点共线 ADDB12又?C在直线AB外则，,1?,. 332答案: 3平面向量基本定理的应用 典例 如图，在?ABC中，点M是BC的中点，点N在AC上，且AN,2NC，与AMBN相交于点P，求AP?PM与BP?PN. ,CNBM解 设,e,e 12,ACCMBCCNAMBN则,，,3e,e,，,2e，e. 2112版权所有:中国好课堂 ?APM和BPN分别共线 ,?存在实数使得,
9、AMAP,e,3e 12,2e，e. BPBN12,故,，,(，2)e，(3，)e. BABPPABPAP12,而,，,2e，3e由平面向量基本定理 BCCABA12,，2,2,得 ,3，,34,5解得 ,3 ,.,5,43?, APAMBPBN55?AP?PM,4?1BP?PN,3?2. 一题多变 ,CMCNCP1(变设问在本例条件下，若,a，,b，试用a，b表示， ,2解:由本例解析知BP?PN,3?2则, NPNB5,22CPCNCNCBCN,，,，,b，(,) NPNB554234,b，a,b,b，a. 55552(变条件若本例中的点N为AC的中点，其它条件不变，求AP与?BPPM?P
10、N. 解: 版权所有:中国好课堂 ,如图设,e,e CNBM12,则,，,2e,e,，,2e，e. ACCMBCCNAMBN2112?APM和BPN分别共线 ,?存在实数使得, AMAP,e,2e 12,2e，e. BPBN12,故,，,(，2)e，(2，)e. BABPPABPAP12,而BCCA,，,2e，2e由平面向量基本定理 BA12,，2,2,得 ,2，,22,3解得 ,2 ,.,3,22?AP,AMBP,BN 33?AP?PM,2BP?PN,2. 若直接利用基底表示向量比较困难，可设出目标向量并建立其与基底之间满足的二元关系式，然后利用已知条件及相关结论，从不同方向和角度表示出目标
11、向量( 一般需建立两个不同的向量表达式)，再根据待定系数法确定系数建立方程或方程组解方程或方程组即得( 版权所有:中国好课堂 层级一 学业水平达标 ,1(已知平行四边形ABCD中，P是对角线AC所在直线上一点，且,t，(t,BPBA,1)，则t,( ) BCA(0 B(1 C(,1 D(任意实数 ,解析:选B 共始点且PAC三点共线所以t，t,1,1故tBCBPBA,1故选B. 2(设点O是?ABCD两对角线的交点，下列的向量组中可作为这个平行四边形所在平面上表示其他所有向量的基底的是( ) ,?与;?与;?与;?与. BCCADCODOBADABDAA(? B(? C(? D(? ,CADC解析:选B 寻找不共线的向量组即可在?ABCD中与不共线与ADAB,BCODOB不共线,而?故?可作为基底( DA,AC3(若AD是?ABC的中线，已知,a，,b，则以a，b为基底表示,( ) ABAD11A.(a,b) B.(a，b) 2211C.(b,a) D.b，a 22解析:选B
