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1、高中新课标选修(1-1)椭圆教材解读1关于椭圆定义的说明定义:我们把平面内与两个定点的距离的和等于常数(大于)的点的轨迹叫椭圆,这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距(1)定义中是必要的因为当,动点轨迹为以为端点的线段;当时,动点轨迹不存在(2)“”其实是三个量之间的一个关系式,在已知两个的前提下可求第三个注意“”的给出方式有“玄机”:如通过方程、离心率,还可以结合三角形周长等隐含条件给出(3)可用椭圆定义化简方程如:方程“”化简的结果是“”,可省去连续平方的过程(4)用定义解代数题如“求的最小值”(简解:设且,则是以为焦点,以为长轴长且与有公共点的椭圆,显然,当时,最小,其值
2、为)2椭圆的标准方程(1)关于椭圆方程的化简方法:建立坐标系,设,则,所以我们可得方程组:式与式平方相减后,可得,式代入式,整理得当时,即,所以我们可令,则椭圆方程化为,这也是椭圆的标准方程,其焦点位于轴上(2)方程的类型:焦点在轴上的椭圆的标准方程: ;焦点在轴上的椭圆的标准方程:;区别两方程的唯一标准是比较分母(3)求标准方程的常规方法:由于标准方程中有且仅有两个变量,因此,欲求方程仅需两个独立条件,此时一定要注意,离心率,这些基本量之间的关系常规方法有定义法、待定系数法、轨迹法3几何性质:即椭圆的几何特征(1)范围(即椭圆的大小):若方程为,则椭圆在矩形内(2)对称性:椭圆既是轴对称图形
3、又是中心对称图形在标准方程的状态下,轴、轴都是椭圆的对称轴,原点是其对称中心椭圆的对称中心也叫椭圆的中心(3)顶点:在椭圆标准方程中,当时,说明是椭圆与轴的两个交点,同理当时,即是椭圆与轴的两个交点,我们把叫做椭圆的顶点,线段称为椭圆的长轴和短轴,分别是椭圆的长半轴长和短半轴长(4)离心率:椭圆的焦距与长轴长的比值称为椭圆的离心率,用表示,即(5)扁平情况:由离心率决定,离心率越接近零,椭圆越圆;离心率越接近1,椭圆越扁4一点说明第45页的例6是一个特殊的例题,细心的同学可以看出:恰是所求椭圆的一个焦点,而直线的分子恰是所求椭圆长半轴长的平方,分母恰是所求椭圆的半焦距,比值是椭圆的离心率;是偶然的吗?不是,这是必然的;不信你可以用,比值为换一下,看一看