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1、第六章ARMA模型的参数估计一主要内容.1 AR(p)模型的参数估计问题：已知p的AR(p):pXtajXt j t, t 0, t WN(0, 2) .(1.1)j iT2由Xi,X2丄，Xn去估计a 佝42丄,ap)和 1. AR(p)模型的 Yule-Walker 估计自回归系数ap由自协方差函数 k惟确疋10iLp 1a1210 Lp 2a2MMM OMMpp ip 2L0ap白噪声的方差2由20TYap决定现获Xi,X2丄,Xn,N p,则作(1) yt xt xN,t 1 N ；1 N k?k yjyj k, k 0,1,L , p；N j 1只要X1,X2, L ,Xn不全同，则
2、兔正定，得惟一 a?p?担，?22?Ta?p?P?p1?p.实用中，Levinson递推公式(无需求逆,快):?0?,1?2 a?k1,k?/? ?；i(i 竄Q?k 1?ak,1?k 1?k,2.?ak?0?哉,1?!?k,2 .?k?k,kQj ? 1,k 1 ?k,k 1 j ,1 j k,k2 1, j(,召2,L，召p)(e?p,1,?p.2,L ,?p,p) , ?以上Yule-Walker 估计的最大优点是：pA(z) 1?jZj 0, when|z| 1j i即最小相位(只要r i正定).定理 1.1(参见18)若 tWN(O,2）独立同分布E t4,则当N时,有(1)?2,a
3、?jaj, a.s.,1jp;VN(s? a1,L ,e?p ap)T依分布2 1n(0,rp )(3) -Nsupiaaj | 0(1 nln N ), a.s.,i j p. N sup | ?221 0( . lnln N ), a.s.i j p由上得：、N(aj aj)T依分布N(0, j,j).(其中j,j是2rp1中相应元素) 置信水平0.95的aj渐近区间：罔 16j j,j/N, a 1.9町 j,j/N.2. AR(p)模型的最小二乘估计设di,d2,L ,dp是a“a2丄，ap的估计,称使残差? yj (dj 1 d2j 2 L dpyj p)N的S(di,d2丄,dp)
4、?最小的(?为最小.j p 1yp iypypiLyidi记Yyp2 ,Xyp iypLy2 ,dd2MMMOMMyNyN 1yN 2LyN pdp当XTX正定时,有惟一的（a?逐丄，ap）T（xtx）1xty?2s(?,a?丄,乱）2|Y Xa|N p理论表明：d最小二乘估计? W估计 P即两种估计差别不大对二乘估计，也有大样本性质42定理1.2若E t , t WN(O,)独立同分布,况,召2丄，ap是最小二乘估计，则当N 时，有VN(s? ai,L ,?p ap)T 依分布 N(0, 2 时)3. AR(p)模型的最大似然法p设模型的t Xt3jXt j N(0, 2),则(ti，L)1
5、N P1N2，N) 丁 eXP 2 2t pi t从而得关于Xi,X2,L ,Xn的似然函数为L(a, 2)1N P1NP22eXp2XtajXt j2t p 1j 1通过解似然方程(InL(a, 2)0(InL(a, 2) 0a22结果a,同最小二乘法.例1.1设白噪声tN(0,1),模型为Xt 1.16xt i 0.37xt 2 0.11xt 3 0.18xt 4 t分别用 Yule-Walkey法和最小二乘法估计参数2a,.结果见程序ese6_1_1.m4. AR(p)模型的定阶问题k ?k?若偏相关系数ak,k0, ak ,k0,则认为pF?.?1?01L? 1ak,1?2? ?-10
6、L?k 2ak,2MM MOMM? 1 ? 2L?0ak,kak,1ak,2 Lak,k a1ap0 .0以上结果由以下定理保证定理1.3若AR(p)中tWN(O,2)是独立同分布则对任何kp,有Nim 和j P j P.为了检验Ho:ak,k0,可借助ak,k ak,k极限分布2定理1.4若AR(p)中tWN(O,)是独立同分布 的，E t4,则对确定的k p,有N (eak.i ak,i,L ,2* ak,k)T依分布 N(0, 2rk1)推论1.5在定理1.4的条件下，对k p ,有JN&,k依分布N(0,1).(证明略见196页)故召仆有95%的概率落在(1.96 N,1.96.帀).
7、因此取p的估计1 96? supj:|a?,j| 乔,1 j k 10可能较高实际中，常用AIC准则：(1) 分别取p k 0,1L ,Po(上界或较大数)；(2) 求 AR(k)时的?2； 计算 AIC(k) In ? 2k,k 0,1L ,PoN(4) p mink|AIC( k)称为 AIC 定阶.k依概率注1: 一般? p(真),并无？p,即不相合；注2:通常，略高的阶数比低的阶数要好有利历史数据利用，等为克服不相合，改用BIC(k)函数定阶.2 kin NBIC(k) in?：,k 0,1L ,P)(上界)N注3:若t WN(0,2)是独立同分布的，则BIC(k)是强相合的；注4:当
8、N不大，BIC定阶偏低 会失真，宜取AIC.5. AR(p)模型的拟合检验设由xX2,L ,Xn已得?, (i?1,i?,L ,?p) , ?2,对残差:? yta j, t ? 1 N ,j i用讯3白噪声检验：若符，贝U认可，并用于预测，否则重估、改用 MA(q), ARMA(p,q).6. AR(p)序列的谱密度的估计2?,(玄逐丄，名)，？2代入f ( )八p 八2 |A ) |2. 2注5:若t是独立同分布的 WN(O, ),?是由AIC或BIC定阶的,则f?() 一致收敛到f().例1.2 人取附录B7中的300个数据,对AR模型的阶数分别为p 110 R上界，解Y-W方程,4截尾
9、的.所以用B7数据拟合出AR模型的阶数应为4,即Xt 1.149Xti 0.315Xt2 0.130Xt 3 0.196Xt 4 t通常AIC定阶略高，下图即为用以上模型产生的300个数据，重复1000次中定阶的结果，定阶有别但充分多数据和大数重复后，定阶的情况很接近例1.3对用B7数据拟合出的模型，进行拟合检验(1) 中心化：ytxt Xn ；(2) 计算残差：?4 yt 1.149yt i 0.315% 2 0.130% 3(t(3) 计算？：1 t 296的自相关系数 ?k, k 1M ；0.196% 4 ；5296)(4) 计算卡方值：(假设是白噪声的统计量?2(m) 296( ?2?
10、2 L?：);(5)计算临界值(m) chi2inv(0.95, m), m 1 20 判断：所有？2(m)(m), m 1 20 ,则不能拒绝残差是独立的白噪声的假设，即认可.2 MA(q)模型的参数估计MA模型:Xtt b t i,tY, |b| 1.于是得：b,即1b211 b2可解得：b1 J24 121,(估计值：t?1 12?4才as文档2不难得:0i(b )2, ii 0,，|b| 1 时).2b,（ t独立白噪声）.1. 一般可逆MA(q)模型的矩估计及其计算q2若先知 Xt t bjtj,t C, t WN(O,), j i则有 k：0 k q及q 1个非线性方程k2(b0b
11、k bbk1 Lbqkbq)| (bo 1)反之，若先知 k,由上方程，可解得 上q.线性迭代法求解法：(1)用 X1,X2 丄，Xn 求？；初值：任取 2(0),b(0)4(0)4(0)丄，bq(O)T(3)迭代:(j)bk(j)bq(j)?1 b2(j 1) L b；(j 1) 亡b(j i)bUj 1) l(j)bq k(j 1)bq(j 1),?A(1 k q 1)2(j)qq k(4) 停止：|?k2(j) bt(j)btk(j)|(某).k 0to(5) 检验可逆条件，不满足，重取初值，重算. 也可用3.1中的方法(MA(q)的k是q截尾的)(1)用 Xi,X2 丄，Xn 求？ ；
12、作 0；0kkqq，%(%j)i，jik分别计算? lim ?k %1 ?：和k2 CT ?C, b -2（Yy a ?C）其中:1 0 L 0 1 L L L L 0 0 L 0 0 L0 00 00 0 ,C0 1冷nn %r L LL L紅 %L%q ?kb (bi,b丄，bq)T.合理性由以下定理给出.定理2.1若MA(q)中t是独立同分布的 WN(O, 2), 则当N充分大后，1?丄,bq几乎必然满足可逆条件q实用可逆充分条件是：？eik 0,.2. MA(q)模型的逆相关函数法一简介想法：视MA模型 AR模型,故先求AR模型参数,而后求MA模型参数,即qXt B(z) tXt t bj t jj ip(1ajZj)Xtt (1ajZj)Xt t :AR(pj ij 1)方法步骤：用Xin ,求 ?，用AIC等法定出AR(p)的阶pN ； 取 pPn ，用 Y-W 方程确定%,1, ?p,2，L，ap,p，?P ;用引理2.2,计算(k),即(ap,o 1)2)?y7 7U(M?y ?y
