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1、第六节空间曲线的切线与空间曲面的切平面一、空间曲线的切线与法平面xx(t)设空间的曲线C由参数方程的形式给出：yy(t),t(,).zz(t)设to,ti(,),A(x(to),y(to),z(t。)、B(x(ti),y(ti),z(ti)为曲线上两点，A,B的连线AB称为曲线C的割线，当BA时，若AB趋于一条直线，则此直线称为曲线C在点A的切线.如果xx(t),yy(t),zz(t)对于t的导数都连续且不全为零(即空间的曲线C为光滑曲线)，则曲线在点A切线是存在的.因为割线的方程为也可以写为当BA时，tt,割线的方向向量的极限为x(to),y(to),z(to),此即为切线的方向向量，所以切
2、线方程为xx(to)yy(to)zz(to)x(to)y(to)z(to)过点A(x(to),y(to),z(to)且与切线垂直的平面不为空间的曲线C在点A(x(to),y(to),z(to)的法平面，法平面方程为如果空间的曲线C由方程为且y(xO),z(xO)存在，则曲线在点A(xo,y(xo),z(xo)的切线是法平面方程为如果空间的曲线C表示为空间两曲面的交，由方程组确定时，假设在 A(xo,yo,zo)有J(F,G)(y,z) ao ,在A(xo, yo, zo)某邻域内满足隐函数组存在定理条件,则由方程组F(x,y,z)a在点A(xo,yo，zo)附近能确定隐函数G(x,y,z)0有
3、yoy(xo),zoz(x0)电-(F,G),jz,(F,G)。于是空间的曲线C在5dxJ(x,z)dxJ(y,x)点A(xo,yo,z0)的切线是即法平面方程为类似地，如果在点A(x0,y0,z0)有(F,G)0或(F，G)0时，我们得到的切线方程和法平面方程有(x，y)|a(z，x)a相同形式。所以，当向量时，空间的曲线C在A(Xo,yo，Zo)的切线的方向向量为r例6.32求曲线xacos,yasin,zb在点a,0,b处的切线方程.解当时，曲线过点a,0,b,曲线在此点的切线方向向量为asin,acos,b|0,a,b,所以曲线的切线方程为xx(t0)yy(t0)zz(t0)0abxa
4、yzb即0ab.二、空间曲面的切平面与法线设曲面S的一般方程为取P0(x0,y0,z0)为曲面S上一点，设F(x,y,z)在P0(x0,y0,z)的某邻域内具有连续偏导数，且Fx2(x0,y0,z0)Fy2(x0,y0,20)Fz2(x。，y0,z0)0。设c为曲面S上过P0(x0,丫。，)的任意一条光滑曲线：设xx(t),V。y(t0)，4z(t0),我们有上式对t在tt0求导得到因此，曲面S上过P0(x0，y0，z0)的任意一条光滑曲线c在P0(x0,y0,z0)点的切线都和向量垂直，于是这些切线都在一个平面上，记为，平面就称为曲面S在P0(x0,丫0,)的切平面，向量n称为法向量。S在P
5、0(x0，y0，z0)的切平面方程是过点P0(x0,y0，z0)且与切平面垂直的直线称为曲面S在P0(x0,y,zO)点法线，它的方程为设曲面S的方程为若F(x,y,z)在S有连续偏导数且Fx2(x0，y0，z0)5；(%00，。)Fz2(x0,丫0，4)0,则称S是光滑曲面。由上面讨论可以知道光滑曲面有切平面和法线。若曲面S的方程的表示形式为zf(x,y),这时，容易得到S在P0(x0,y0,z0)的切平面方程为法线方程为我们知道，函数zf(x,y)在点(x0,y0)可微，则由Taylor公式知f(x,y)f(Xo,y)fx(Xo,y)(xx)fy(Xo,y)(yy0)0(v;(xx)2(y
6、y0)2)也就是说，函数zf(x,y)在点(xo,yo)附近可以用S在P0(xo,y,z)的切平面近似代替，误差为v(xxo)2(yyo)2的高阶无穷小。若曲面S的方程表示为参数形式设%x(Uo，Vo),yoy(Uo，Vo),Zoz(u0,v),Po(x。，yo,Zo)为曲面上一点。假设在F0(x0,y0,Zo)有(xv)xx(u,v),J-(-,y)0,在P0(x0,y0,z0)某邻域内满足隐函数组存在定理条件，则由方程组在点(u,v)Pyy(u,v)%(乂0,丫0,4)附近能确定隐函数(即x和y的逆映射)满足u0u(x0,y0),v0v(x0,y0)于是，曲面S可以表示为xx(u,v),由
7、方程组两边分别同时对x,y求偏导得到yy(u,v)故所以，S在P)(x,y,z)的切平面方程为法线方程为一一.x例6.33求曲面zyIn一在点(1,1,1)的切平面和法线方程。zx解曲面万程为F(x,y,z)yIn-z0,易得n1,1,2z切面方程为即xy2z0.法线方程为习题6.61.求曲线xacosacost,yasinacost,zasint在点tt0处的切线和法平面方程.2222 .求曲线xyz6在点(1,2,1)处的切线和法平面方程.xyz0,y3 .求曲面zarctan2-在点(1,1,/4)的切平面和法线方程。x3，4。证明曲面xyza(a0)上任意一点的切平面与坐标面形成的四面
8、体体积为定值5.证明曲面zxf()上任意一点的切平面过一定点。x第七节极值和最值问题一、无条件极值与一元函数极值类似，我们可以引入多元函数的极值概念。定义6.3n元函数f(Xi,X2,Xn)在点P0(x0,x0,x0)的一个邻域U(P0)Rn内有定义。若对任何点P(Xi，X2，,xn)U(P0),有f(P。)f(P)或(f(P。)f(P)则称n元函数f(Xi,X2,Xn)在F0(Xi,X0,X：)取得极大(或极小)值，P0(X0,x2,X0)称为函数f(Xi,X2,Xn)的极大(或极小)值点。极大值和极小值统称为极值，极大值点和极小值点统称为极值点。类似一元函数，我们称使得n元函数f(Xi,X
9、2,Xn)的各个一阶偏导数同时为零的点为驻点。我们有如下定理。定理6.28若P0(X0,X0,X0)为n元函数f(Xi,X2,Xn)的极值点，且f(Xi,X2,Xn)在F0(Xi,X0,X0)的一阶偏导数存在，则P0(X0,X20,X0)为n元函数f(Xi,X2,Xn)的驻点。证考虑一元函数(Xi)f(x0,Xi,x0)(i1,2n),则Xi是(Xi)的极值点，Fermat马定理告诉我们,可导函数在极值点的导数是零，于是和一元函数类似，反过来，驻点不一定是极值点。而偏导数不存在的点也有可能是极值点。判断多元函数的极值点要比一元函数复杂的多，下面我们仅对二元函数不加证明给出一个判别定理。定理6.
10、29若Po(Xo, y0)为二元函数f(x, y)的驻点，且2 .f(x,y)在 Po(Xo, y)的一个邻域 U(Po)R 中有二阶连续偏导数。令ACB2,(1) 当Q0时，若A0,f(x,y)在P0(x0,y0)取极小值；若A0,f(x,y)在F0(Xo,y0)取极大值;(2) 当Q0时，f(x,y)在P0(X0,y。)不取极值;(3)当Q0时，f(x,y)在P0(X0,y0)可能取极值，也可能不取极值。23例6.34求函数zxy(6xy)的极值。解解方程组得驻点为P0(2,3)及直线x0,y0上的点。对Po(2,3)点有A162,B108,C144,ACB20,于是函数z在P0(2,3)
11、取积大值z(P0)108。容易判断，满足条件x0的点为函数z的极小值点，极小值为0；满足条件的x0和x0的0y6y0y6点为函数z的极大值点，极大值为0。一、最值问题在社会生产各个领域我们都会遇上最值问题，即如何用最小的成本获取最大利益的问题，这些问题一般都可以归结为求某一函数在某一范围内的最大值和最小值的问题。我们称使得函数取得最大值和最小值的点为函数的最大值点和最小值点，统称为最值点；函数的最大值和最小值统称为最值。1、 一元函数设yf(x)是定义在闭区间a,b上的连续函数，则f(x)在a,b上一定有最大值和最小值。区间的两个端点a和b可能成为其最值点，而如果最值点在开区间(a,b)取得的
12、话，则一定是f(x)的111极值点，即是f(X)的驻点或是使导致f(x)不存在的点。假设f(X)的所有驻点是X3X2,Xk,使导数f(x)不存在的点是x12,x22,xm2，那么2例6.35求抛物线y22x上与(1,4)最近的点。2解设(x,y)是抛物线y2x上的点，则(x,y)与(1,4)的距离是考虑函数f(y)d2，由f(y)0，得到唯一驻点y2，于是抛物线y22x上与(1,4)最近的点是(2,2)2、多元函数类似一元函数，n元函数f(X1,X2,Xn)的最值问题就是求f(X1,X2,Xn)在某个区域DRn上的最大值和最小值，我们只需求出f(x1,x2,xn)在D内部的所有极值和边界上最值
13、，从中比较就可以选出f(X1,X2,Xn)在D上的最值。例6.36求平面X2yz4与点(1,0,2)的最短距离。解设(X,y,z)是平面X2yz4上的点，则(X,y,z)与(1,0,2)的距离是考虑函数f(x,y)d2,由fx0,fy0,得到唯一驻点(11/6,5/3),于是平面x2yz4与点5.6(1,0,2)的最短距离是d(11/6,5/3)6三、条件极值问题和Lagrange乘子法前面我们研究的极值和最值问题都是直接给出一个目标函数n元函数f(x1,x2,xn),然后求其极值或最值，是无条件极值问题，但是，更多的极值和最值问题是有约束条件的，即条件极值问题。一般来说，条件极值问题是指：求
14、目标函数n元函数yf(x1,x2,xn)Gi(Xi,X2,xn)0在一组约束条件G2(Xi,X2，Xn)0,(mn)下的极值。Gm(x1,x2,xn)0我们可以尝试对上面方程组用消元法解出m个变量，从而转化为上一节的无条件极值问题来解决，但是，消元法往往比较困难甚至是不可能的，所以，我们需要给出一种新的方法来求条件极值。下面我们介绍拉格朗日乘子法。我们以二元函数为例来说明，即：求目标函数zf(x,y)在一个约束条件F(x,y)0限制下的极值问题。假设点Po(Xo,y)为函数zf(x,y)在条件F(x,y)0下的极值点，且F(x,y)0满足隐函数存在定理的条件，确定隐函数yg(x),则xXo是一
15、元函数zf(x,g(x)的极值点。于是由隐函数存在定理得到令fy(x0,y0),于是极值点Po(xo,yo)需要满足三个条件:Fy(X0,yo)因此，如果我们构造拉格朗日函数其中，称为拉格朗日乘子，则上面三个条件就是也就是说我们讨论的条件极值问题转化为拉格朗日函数的无条件极值问题。用这种方法去求可能的极值点的方法，称为拉格朗日乘子法。类似地，求目标函数 n元函数yf (Xi,X2, Xn)Gi(Xi,X2,Xn)0在一组约束条件G2(X1,X2，xn)0,(mn)下的极值时，我们可以构造相应的拉格朗日函数为Gm(X1,X2,Xn)0于是，所求条件极值点满足方程组例6.37横断面为半圆形的圆柱形的张口浴盆，其表面积等于S,问其尺寸怎样时，此盆有最大的容积?212解设圆半径为r,高为h,则表面
