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1、初中物理题目：在坐标表象中处理一维线性谐振子问题作者单位：响水滩乡中心学校作者姓名：宁国 强2012年9月28日在坐标表象中处理一维线性谐振子问题响水滩中心学校宁国强摘 要：本文阐述了在坐标表象中处理一维线性谐振子问题的方法和思路，阐述了一般 表象的概念。关键词：一维线性谐振子；坐标表象；一、 能量本征值、本征函数的求解取自然平衡位置为坐标原点，并选原点为势能零点，则一维线性谐振子的势 能为V(x) 1 2x2(1)2 其中 是谐振子的质量，是经典谐振子的自然频率。一维谐振子的哈密顿函数为H S 1 2x2(2)22体系的能量本征方程(亦即不含时Schr?dinger方程)为 22h d12?
2、22 ? x E x(3) 2 dx2 2严格的谐振子势是一个无限深势阱(如图1所示)，粒子只存在束缚态，即起波函数应满足 以下条件：x x 0(4)将方程(3)无量纲化，为此，令(3)式可改写为=2Eh(5)d2(6)很大时，与2相比可以略去，因而在时，方程(6)可近似表示为这是一个变系数二阶常微分方程。为了求解它，我们先看 在时的渐进行为。当d22 - 一.时，它的渐近解为 e /2。因为波函数的标准条件要求当时 应为有限，22 ,八所以：e /2不满足边界条件(4)式，应弃之。波函数指数上只能取负号，即 ：e /2。方程(6)在为有限处的根据以上讨论，可令方程(6)在 为有限处的解有如下
3、形式:(8)(9)2式中A为归一化系数，(8)代入(6)式，得Ae 2 Hd2H用级数解法，即把H展开成 的幕级数来求这个方程的解。这个级数必须只含有有限项，才能在时使 为有限，而级数只含有限项的条件是为奇数：2n 1 ,n 0,1,2L L 。代入(5)中的第三式，可得一维线性谐振子的能级为1En h n - , n 0,1,2L L(10)2因此，线性谐振子的能量只取分立值(如图2所示)，两相邻能级间的间隔为h ,这与普朗 克关于能量是量子化的假设相符合。ifi-线圈35厢子雒蛆2n 1时，方程（6）的级数解退化为下述厄密多项式:Hnn 2 dn 21 e T(11)可以证明，厄密多项式满
4、足正交性公式:2-Hm H n e d , 2nn! mn(12)归一化的谐振子能量本征函数为1 2 2一 x(13)n xAie 2 Hn x , n 0,1,2L L归一化常数An122nn!(14)线性谐振子的能量本征函数满足以下正交归一关系:m(x)，n(x)* , m(x) n(x)dx mn(15)能量本征态下力学量平均值的计算利用厄密特多项式的递推公式及（13）（14）式可以导出下列非常有用的公式: n1 xn 1,.2 n1(16). n n2n(17)d ndxnn 2 xn 2 X(18)d2 n xdx22n 1(19)利用(16)之(19)及n(x)的正交归一关系(15)式，可方便地计算出在n(x)态下以下各力学量的平均值:d n xih n x，Hx ,x*2nx2 2n 12? nx，? nx n x，ihdx nxh2d2n x ,2 n xdxn - mh2(20)(21)(22)(23)在上述结果基础上，容易求出n(x)态下谐振子的平均势能和平均动能为1(24)(25)
