《形函数分段定义的剪力梁特征单元》由会员分享，可在线阅读，更多相关《形函数分段定义的剪力梁特征单元（10页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、形函数分段定义的剪力梁特征单元邢誉峰 杨阳北京航空航天大学固体力学研究所，北京，100083摘要：基于势能原理，根据对梁结构在单位剪力作用下的静力特性分析，提出了一种新的允许单元内部存在材料和几何性质不连续的剪力梁特征单元。与已有特征单元方法、均匀化方法和一般有限元方法进行了数值比较和分析，位移、应力和频率结果说明了本文剪力梁特征单元在精度和效率方面的有效性。为编织复合材料等周期性结构的宏细观力学行为分析提供了一种方法。关键词：梁，复合材料，特征单元，双尺度1 引言在非均质复合材料的宏细观力学特性分析中，有限元方法是一种非常重要的方法，但其存在计算量大等问题。针对这个问题，邢誉峰和田金梅1-2
2、提出并用特征单元方法对三维正交机织材料和三维四步编织复合材料固有振动特性进行了研究，并与等效均匀化方法和有限元方法进行了比较，证明了该方法的优越性。特征单元是一种以能量原理为基础、基于特征向量展开方法构造的一种单元，它能够反映编织复合材料单胞的宏观结构和细观结构特征，故称之为特征单元。已有特征单元方法在保证精度不降低的前提下，大幅度了降低计算量。对结构宏观物理特性如频率等的计算，已有特征单元可以满足一般的精度要求。但是由于已有特征单元的形函数不能局部反映材料特征和某些几何特征，因此对结构的局部物理特性如应力等的计算精度不令人满意。邢誉峰和杨阳3-4在已有特征单元基础上，构造了一种新的频率和应力
3、计算精度都比较高的特征杆单元。本文构造的剪力梁特征单元，其形函数是分段定义的两点一阶Hermite函数，它允许单元内部存在诸如材料和几何尺寸等突变。以一般有限元方法结果为标准，把新构造的特征单元与传统均匀化方法和已有的特征单元方法进行了数值比较，证明了新特征单元无论在计算结构位移和频率还是应力上都具有更高的精度。2 剪力梁特征单元2.1 特征形函数图1 剪力梁特征单元考虑一个由个单胞组成的一维梁结构，每个梁单胞是由段梁组成的，各个梁段的物理和几何性质分别为、，梁结构的一端受到单位集中剪力作用。把第个梁单胞作为只有两个结点的特征单元，其结点为1和，在结点处作用有单位剪力和该剪力引起的弯矩，如图1
4、所示。下面针对第个梁单胞进行有关公式推导。若把特征单元内的一个梁段作为一个一般有限单元，则该特征单元内包含个一般单元，共有个结点。用一般有限元方法或用解析方法可以得到这个梁单胞个结点的位移列向量，即 （1）其中：和分别表示结点1处的横向位移和转角，,和分别为 （2a） （2b）式中：。对于特征单元，令其结点位移与一般有限元方法的完全相同，则特征单元的位移列向量 （3）根据一般有限单元方法的概念，一个梁单元内部的任意一点的位移可以由该单元的结点位移和形函数来表示，即 （4）式中：代表特征单元形函数在结点1至结点的值组成的矩阵，其形式为 （5）对于图1所示单胞，用一般有限元方法得到的总势能泛函应该
5、与用一个特征单元得到的总势能相等，容易证明式（4）是保证这个关系成立的条件1，参见下文的式（10）和式（11）。梁特征单元的等应变条件是自动满足的。为了保证特性形函数满足刚体位移条件，下列关系成立： （6a） （6b）式中：为单胞一般有限元模型的结点号，和为把梁单胞作为一个三次梁元时分别对应和的形函数，它们为两点一阶Hermite 多项式。若结构的材料和截面形状相同，式（6a）中的和式（6b）中的是保证特征单元单刚蜕化到三次梁单元单刚的条件。根据式（4）和式（6）可以确定式（5）中的各个元素，分别为 （7a） （7b）根据式（5）可以得到特征单元形函数的分段表达式，而每一段都是两点一阶的Her
6、mite插值多项式，特征单元的位移场为 （8）计算了特征模型的结点位移之后，如果为了计算特征单元内部各个“结点”的位移，可以利用式（4）直接计算，也可以利用式（8）进行计算。 若为了计算特征单元内任何一个小单元的内的位移，也有两种等效方法：1）利用式（8）计算，此时要已知分段定义的形函数的具体形式；2）利用小单元两段的已知结点位移，把小单元作为三次梁单元来计算，此时不需要知道特征单元的形函数的具体表达式。 与一般有限单元的形函数相比，式（7）定义的特征单元的形函数具有如下特点：1）分段定义：与传统概念截然不同，它允许单元内部存在材料和几何性质不连续；2）形函数在单元内任意一点的数值由特征单元内
7、部的材料和几何特征来决定。由于这里讨论的特征梁单元是根据梁结构的一端承受单位剪力作用下产生的静挠度和转角建立的，故称之为剪力梁特征单元，它包含宏细观两个尺度。当梁单胞内的具有不同材料和几何特性的梁段数量增加时，矩阵的列数不变但行数要随着增加，形函数定义的区间数也随着增加。在实际应用时，根据式（5）进行计算即可，通常不需要确定形函数，见下文有关内容。2.2 梁特征单元的刚度矩阵、质量矩阵和载荷向量离散特征单元的总势能泛函可以得到特征单元的刚度矩阵和载荷列向量，即 （9）式中：，分别是梁特征单元的弹性模量、截面惯性矩和承受的分布载荷，而是分段定义的，。利用式（9）进行分段积分可以得到特征单元的刚度
8、矩阵和载荷列向量。下面给出另外一种更为简洁的确定和等效方法。根据有限元方法，一个梁单胞的势能泛函为 （10）在特征单元方法中有，因此式（10）变成为 （11）式中：特征单元的刚度矩阵和载荷列向量分别为， （12）式中：特征单元的刚度矩阵和载荷列向量的维数分别为和，而和的维数分别为和。在计算特征单元的刚度矩阵和载荷列向量时，可以直接应用式（5）定义的特征形函数矩阵对一般有限元方法的刚度矩阵和载荷列向量进行变换，而不必进行复杂的积分。对梁特征单元的动能泛函进行离散，同样可以得到其质量矩阵，即 （13）当然，可以利用下式对其直接进行计算 （14）3 数值算例考虑包含20个单胞的悬臂梁，每个梁单胞包含
9、3个梁段，每个梁段都是均匀的。但具有不同的几何尺寸和材料。把每个单胞作为一个特征单元，其中含3个小单元，这样梁共有20个特征单元。在用一般有限元方法分析该问题时，这里用60个单元。下面分几种情况，对四种方法讨论位移、内力和频率的精度。如果梁单胞内各个小单元的都相同，已有梁特征单元方法（CBEE）和本文构造的剪力梁特征单元方法（SBEE）以及刚度均匀化方法（HOMO）的结果都与一般有限元方法相同，此处不再赘述。3.1 集中弯矩当集中弯矩作用在特征单元的结点上时，新构造的剪力梁特征单元方法虽然不能计算出精确的结点横向位移，但其精度是比较高的。算例1 单胞中各个小单元的长度均为1，而依次为1E6、2
10、5E6和100E6。自由端承受的集中弯矩为100，图2给出计算结果。从图2可以看出，由于SBEE的形函数体现了EI的作用，因此FEM和SBEE方法的位移和转角结果吻合很好。而CBEE用经典的形函数，它不能直接反映的变化，因此其位移精度比较低，而基于刚度平均的均匀化方法的位移结果精度更低。梁各个截面处的弯矩和剪力与梁的材料分布和截面形状无关。对于集中载荷，用各种方法可以得到完全相同的结果，此处与算例2均不提供有关结果。（a） 挠度（b） 转角图2 EI不同而L相同自由端受集中弯矩3.2 集中剪力当集中剪力作用在悬臂梁的自由端时，该方法得到的结果与一般有限元方法完全一致。当作用在特征单元任意结点时
11、，不能计算出精确的结点横向位移，但其精度也是比较高的。算例2 单胞中小单元的长度均为1，而依次为1E6、25E6和100E6 。梁中点处承受的集中剪力为100。从图3可以看出，本文构造的SBEE方法不但反映了结构的刚体位移，同时与FEM方法的结果吻合，体现了EI作用。而CBEE 和HOMO方法不能直接反映的变化，因此其位移精度比较低。（a） 挠度（b） 转角图3 EI不同而L相同，中点受集中剪力3.3 均布载荷当梁胞体内部有分布载荷时，用新构造的剪力梁特征单元方法通常不能计算出精确的结点位移，但其精度仍然是比较高的。下面分两种情况讨论位移、内力的计算精度。算例3 单胞中各个小单元的弹性模量EI
12、都是1E6，小单元的长度L依次为0.5、1.5和2.5，梁上受到的均布力为10。用CBEE、SBEE以及HOMO方法得到与FEM相同的结点位移且前三种方法得到的内力完全相同，因此图4只给出了SBEE和FEM的结果。此例说明，虽然SBEE是根据剪力分析得到的，但对于均匀载荷作用的均匀梁，其结点位移与一般有限元方法仍然是相同的。值得指出的是，对于均匀梁的不等间距网格剖分，可以造成一般有限元方法的剪力结果的波动，而其他三种方法的剪力结果虽然有误差但却是直线。（a） 挠度（b） 转角（c）剪力（d）弯矩图4 EI相同而L不同受均布力算例4 单胞中小单元的长度L均为1，小单元的EI依次为1E6、25E6
13、和100E6，梁上受到的均布力为10。从图5可以看出，由于SBEE的形函数体现了EI的作用，因此FEM和SBEE方法的结果吻合都很好。 （a） 挠度 （b） 转角 （c） 剪力 （d） 弯矩图5 EI不同而L相同受均布力图6 EI不同而L相同时的频率3.4 固有频率算例5 单胞内小单元的长度均为1，密度都是7.9，小单元的EI依次为2E6、25E6和100E6。梁的两端自由，图6给出用各种方法算出的前21阶固有角频率。由此可见，对于材料参数相差比较大的情况，SBEE方法计算的固有频率与FEM的结果吻合。4 小结本文构造的剪力梁特征单元方法（SBEE）和一般有限元方法具有相同的理论基础，前者的形
14、函数是分段定义的，它允许单元内具有几何和材料性质的突变。单胞内含有的一般有限单元的数量越多，也就是单胞内几何和材料构造愈复杂，这种特征单元的效率愈高。数值结果说明，在计算构件的位移、内力和频率时，与HOMO和CBEE方法相比，其精度大幅度提高，与一般有限元的结果非常吻合。但剪力梁特征单元模型的自由度数远小于一般有限元模型。为了使本文方法有更加广泛的适用性，后续工作主要包括，把文本思想扩展到板和壳问题，并给出分段或分区定义的形函数更加简洁的表示方式。参考文献1. Yufeng Xing and Jinmei Tian. The Homogenization Method Based on Eigenvector Expansions for Wo
