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1、福建省南安第一中学2014-2015学年高二上学期期末考试数学试题 理 第I卷（选择题 共60分）一.选择题（共12小题，每小题5分，只有一个选项正确，请把答案填在答题卡上）：1.为虚数单位，若，则的值为 （ ）A B C D2.以下说法，正确的个数为 （ ）公安人员由罪犯的脚印的尺寸估计罪犯的身高情况，所运用的是类比推理农谚“瑞雪兆丰年”是通过归纳推理得到的由平面几何中圆的一些性质，推测出球的某些性质这是运用的类比推理个位是5的整数是5的倍数，2375的个位是5，因此2375是5的倍数，这是运用的演绎推理A0 B2 C3 D43.函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如下图所示，则函数在开区
2、间内有极大值点 （ ）A1个 B2个 C3个 D4个4.下表是降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨标准煤)的几组对应数据，据表中提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为0.7x0.35，那么表中值为 x3456y2.544.5（ ）A B C D5.若函数的图象上一点（1，1）及邻近一点（1+x，1+y），则等于（ ）A4 B4x C4+2x D4+2x26.下面说法：如果一组数据的众数是5，那么这组数据中出现次数最多的数是5；如果一组数据的平均数是0，那么这组数据的中位数为0；如果一组数据1，2，x，4的中位数是3，那么x=4；如果一组数据的平均数是正数，那
3、么这组数据都是正数其中错误的个数是 （ ）A1 B2 C3 D47.函数的图象在点处的切线方程为 （ ）A B C D8.如图，由函数的图象，直线及x轴所围成的阴影部分面积等于 （ ）ABC D 9.函数在（0,1）内有极小值，则实数a的取值范围是 （ ）A B C D10.某初级中学有学生300人，其中一年级120人，二，三年级各90人，现要利用抽样方法取10人参加某项调查，考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案，使用简单随机抽样和分层抽样时，将学生按一，二，三年级依次统一编号为1，2，300；使用系统抽样时，将学生统一编号为1，2，300，并将整个编号依次分为10段如果抽得的号码
4、有下列四种情况：7，37，67，97，127，157，187，217，247，277； 5，9，100，107，121，180，195，221，265，299；11，41，71，101，131，161，191，221，251，281； 31，61，91，121，151，181，211，241，271，300关于上述样本的下列结论中，正确的是 （ ）A都可能为系统抽样 B都可能为分层抽样C都不能为系统抽样 D都不能为分层抽样11.已知，是双曲线的左，右焦点，若双曲线左支上存在一点与点关于直线对称，则该双曲线的离心率为 （ ）A B C D12.已知函数，若任意给定的总存在两个不同的，使得成立，则
5、实数的取值范围是 （ ）A B C D 第II卷（非选择题，共90分）二.填空题（共4小题，每小题4分，请把答案写在答题卡上）：13.函数的单调增区间为 14.在正方体中，分别为棱和的中点，则sin，的值为_15.要做一个圆锥形漏斗，其母线长为，要使其体积最大，则其高为 _H_C_B_A_S_a_c_b_h16.在平面几何里，已知的两边互相垂直，且，则边上的高；拓展到空间，如图，三棱锥的三条侧棱两两相互垂直,且,则点到面的距离三.解答题（共6小题，要求写出解答过程或者推理步骤）：17.(本题满分12)已知函数的极值点为和（）求实数，的值； （）求函数在区间上的最大值. 18.(本题满分12分)
6、在数列中，且，（1）求的值；（2）猜测数列的通项公式，并用数学归纳法证明。19.(本题满分12分)如图，矩形所在的平面与平面垂直，且，分别为的中点（） 求证：直线与平面平行；（）若点在直线上，且二面角的大小为，试确定点的位置20.(本题满分12分)已知函数（）（）若函数在区间上是单调递增函数，试求实数的取值范围；（）当时，求证：（）21.(本题满分12分)已知直线与椭圆相交于、两点 （1）若椭圆的离心率为，焦距为，求线段的长；（2）若向量与向量互相垂直（其中为坐标原点），当椭圆的离心率时，求椭圆长轴长的最大值22.(本题满分14分)已知函数(1)当时，求函数的极小值；(2)当时，过坐标原点作曲
7、线的切线，设切点为，求实数的值；(3)设定义在上的函数在点处的切线方程为当时，若在内恒成立，则称为函数的“转点”当时，试问函数是否存在“转点”.若存在,请求出“转点”的横坐标,若不存在,请说明理由 南安一中20142015学年度高二上学期期末考理科数学试卷参考答案， 6分当变化时，与的变化情况如下表：12300单调递增单调递减单调递增10分11分， 12分18.解：（1） 6分（2）猜测。下用数学归纳法证明： 7分当时，显然成立； 8分假设当时成立，即有，则当时，由得，故 ，故时等式成立；由可知，对一切均成立。 12分19.解：（）证明：取的中点，连结，分别是的中点， ，平面， 3分又，且平面
8、，平面，平面 5分（）解：如图，在平面内，过作的垂线，记为，则平面. 以为原点，、所在的直线分别为轴，轴，轴建立建立空间直角坐标系. .， 7分设，则. 设平面的法向量为，则取，得， .9分又平面的法向量为， .10分，解得或. 故或（或）. 12分20.解：（1）因为1分，若函数在区间上是单调递增函数，则 恒成立，即恒成立，所以2分又，则，所以4分（2）当时，由（）知函数在上是增函数，5分所以当时，即，则8分令，则有，9分当时，有，因此在上是增函数，所以有，即可得到11分综上有（） 12分21.解：（1），2=2，即则椭圆的方程为， 2分将代入消去得： 设 5分（2）设，即 6分由，消去得：由，整理得：又， 8分由，得：，整理得： 9分代入上式得：， ，条件适合，由此得：，故长轴长的最大值为 12分22.解：(1)当时，当时，；当时；当时.所以当时，取到极小值.4分(2) ，所以切线的斜率整理得,显然是这个方程的解，又因为在上是增函数，所以方程有唯一实数解，故.8分(3)当时，函数在其图象上一点处的切线方程为，设，则，若，在上单调递减，所以当时，此时；所以在上不存在“转点”. 10分若时,在上单调递减,所以当时, ，此时，所以在上不存在“转点”. 12分若时，即在上是增函数，当时，当时， 即点为“转点”，故函数存在“转点”，且是“转点”的横坐标. 14分
