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1、几何证明与逻辑思维训练宜州市刘三姐中学 黄炳君【摘要】学生在几何证明问题普遍存在较人困难，其中之一就是苦于无法迅速找到可行的证明 途径。要尽快找到证明途径，一般可有以卞三种方法：正向推理法，逆向反推法和双向合拢法。要顺利地找到证明途径，需要细致掌握、理解所有相关的概念和定理。反之，对证明途径的寻 找又有利于概念和定理的复习和巩固。事实上，对于数学中的应用题和一些复杂的解答题，甚至生 活中的一些问题的解决，都会常用到本文所提到的三种思考方法。将思维的抽象内容以流程图形彖化地展示岀来，体现了逻辑推理的完整性和严密性，使整个思 维过程教学深入浅出，经实践证明在提高几何教学中成效显著。【关键词】寻找证
2、明途径人们常形象地把数学比喻为“思维的体操”，而数学中的儿何证明题更能锻炼学生 的逻辑思维能力，激发学生学习几何的兴趣。教好和学好这方面的内容，将对整个儿 何教学有极大的帮助。目前，对于儿何证明问题，学生中普遍存在的困难是：一是对基本概念、定理掌 握不好，造成难以理解问题的含义；二是无法迅速找到证明途径；三是有了证明途径, 却不能严密完整地表述证明过程。解决第一个问题是基础；在练习中不断巩固、加强，就能较好地解决第三个问题; 但是，只有明确的证明思路，才能清楚表述证明过程。学习中不少学生虽然掌握了基 本概念和定理，但就是苦于无法找到可行的证明途径。本文对此问题略作讨论。学习中注重总结和思维活跃
3、的同学定会有体会，要尽快找到证明途径，一般可有 以下三种方法：一、正向推理法。基本思路是：从己知条件出发，由此一步步向所需的结论方 向前进，直到结论目标为止。由于这是从已知到未知，从题设到结论的推理过程，乂 称为由因索果法，此法最适用于不再需要添加辅助线的较简单的问题。例：如图1,己知：AB丄BC, AD丄CD,垂足分 别为 B、D, Zl=Z2o求证：AB=ADC分析：（注：表示推出）由AB丄BC和AD丄CD-ZB二ZD二90 ,再根据Z1=Z2及公共边AC二AC 即满足 “AAS” 一 AABCAADC - AB二AD。二、逆向反推法。此法是将终点作为起点逆向推理，由结论出发逆向推理至已知
4、的条件。基本思路为：要证明XXX （结论），需要XXX （条件），如此不断寻找 直至到达已知的条件为止。此法乂叫执果索因法。例：在正方形ABCD的对角线AC上取AE二AB,作EF丄AC于E,交BC于F。求证：BF二EC分析：如图，要证BF二CE,需要以下一些条件之一： 需要等量代换BF二FE二EC； BF和CE为同一三角形中等角所对的边； BF和CE成为全等三角形的对应边； 还可考虑它们是否是平行四边形的对边等等。 因EF丄AC及ZB二90 ,所以需要F是ZEAB平分线上 的点（注：角平分线上的点到角的两边距离相等）；证明途径一：如图2,BF=EC-FE 二 EC*-AEFC为等腰宜角三角形
5、（已知正方形ABCD, EF丄AC-BF二FE -等角对等边一连结BE -Z1二Z2一 ZAEF-Z4二ZABC-Z3 由以上分析后，容易发现，若连结BE或AF则分别出现或所需要的情形再 等量代换，推理图示如下：（一表示需要）f ZAEF=ZABC 一 EF丄AC及ZB二90 （已知正方形ABCD条件）I Z3 二Z4 - AB二AE （已知条件）证明途径二：如图3,BF=ECI FE二EC -AEFC为等腰宜角三角形 （已知正方形ABCD, EF丄AC图3-BF二FE 成为全等三角形的对应边-AAEFAABF-连结 AF 满足 AAS, SSS, ASA, SAS或HL之一一存在条件AF二A
6、F （公共边）、AB二AE（已知）一 ZABF=ZAEF - ZABC二90 和ZAEF=90 -正方形ABCD和EF丄AC （已知条件）三、双向合拢法。显然，这是由题设（已知条 件）和结论（未知）进行的相向推理，直至得到一个完 整的证明路径为止。这类似于开挖遂道，由两端同时开 工，直至接通。双向合拢法以反向推理为主，而且常用于一些题设和结论之间没有明 显联系的较复杂的问题。此时若能双向推理，效果明显，且容易发现可能的儿种证明 途径。完成这样一个思维活动，更需要扎实的知识基础，清醒的头脑和敏捷的思维。经常使用双向合拢法，不但能活跃思维，拓宽思路，并且通过比较，从中挑选一种最 简洁的方法给问题以
7、证明，这是对思考者的极大奖赏。只要经过儿次这样的思维训练, 一般都能提高学生的学习兴趣和思维能力。例：己知：如图，过00上两点A、B的切线相交于点P,且BC为O0的直径, 连接 AC、OPo 求证:AC/ZOPo图4图5图7PA=PBZ1=Z2OP 1 AR一OP、AC同垂CA 丄 AB宜于AB图4 连结ABBC己 知为O O的 宜径OC-OAA、B, PA、PB 相交于点PPA.PB分别与0O相切于点Z5=Z6连结OA图5Z4=Z5Z1-Z2 Z3=Z4连结ABAE-EB （图 6）TOA 丄 APOB 丄 BP Zl+Z3=90延长PA图5Z 6+Z 7=90 Z1-Z7又 Z3=Z6ZA
8、OB-Z5+Z6 Fh OC=OB 辅助线BDOP（N 7）辅助线BDOP （N 7）ill PA-PBAP-PDfl OC-OBPB-PD 连结AB交OP于EOC AEOB EBZ3=Z6结论OP/7AC平行线分线 段成比例OC _ AP7）bTd过点B作BDOP交AP延/长线于D分析：（f表示推出，一表示需要）ACOP-AC和OP同垂直于一直线的两直线,或内错角相等、同位角相等、同旁内角互补，或符合平行公理的推论，或成为平行四 边形的对边，或成为分线段成比例的直线，或三角形中位线与第三边关系等等。为了清楚表达寻找本题的证明途径，用以下流程图，表示从已知和结论同时出发 双向合拢推理的思维过程
9、，其相应图形如下（图4一7）所示。由以上流程图很容易发现这道题目可有四种以上的证明途径，其中图4所示的方 法最为简便。思维是一项复杂的脑力劳动，难以用图形或文字完全清楚地表达。要顺利地找到 证明途径，需要细致掌握、理解所有相关的概念和定理。反之，对证明途径的寻找乂 有利于概念和定理的复习和巩固，两者相互促进。事实上，对于数学中的应用题和一 些复杂的解答题，英至生活中的一些问题的解决，都常用到本文所提到的三种逻辑推 理方法。初中数学其实并不难，新课改之后，如果按照课本讲就非常简单。可为了应试中 考，不得不拓展很多材料对教材进行补充。所以教师应当想尽一切办法，让教学内容 生动直观起來，帮助学生在有
10、限的时间内系统把握更多更深的知识。打个比方，就是 尽可能地帮学生找一根“藤”，让他们比较轻松地找着“西瓜”，避免费心劳神摘一大堆， 到头來却抓不牢、记不住。十几年的数学教学，愈來愈发现数学思维确有其无穷的威力，更有其令人醉心的 魅力。作为一名数学老师，我们尽可能在每一堂课中培养学生的思维能力，点燃思维 的火花。数学是逻辑学也是美学，不但培养人的思维形式，还能磨炼一个人克服困难、 解决问题的毅力，锻炼并强化大脑发散性思维和逆向思维的能力，具有不可替代的功 能和意义。衡量一堂数学课的好坏，不仅要看学生学会了多少知识，更要看学生在课堂上的 思维训练程度。都说数学是思维的体操，课堂教学中要注重学生的思维训练，使学生 掌握一些数学思维方法，提高思维能力，更好地去发现创造出更多的规律和定律。可以看到将思维的抽象内容以流程图形象化地展示出來，体现了逻辑推理的完整 性和严密性，使整个思维过程教学深入浅出，利用学生形象思维培养学生抽象思维能 力，对学生在数学知识和数学兴趣培养等方面得到了完善和提升，可谓抽象知识形象 化方法的一个例证。实践证明在提高儿何的证明题教学和逻辑思维训练，这不失为一 种有效偿试。参考文献：1、妙趣横生的平面几何多证法李锡初编著，文本教育出版社，19982、河池基础教育（2011第5期）
