《线性代数笔记》由会员分享，可在线阅读，更多相关《线性代数笔记（28页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、精品文档，仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除线性代数（经管类）综合试题一（课程代码 4184）一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1.设D=M0，则D1= ( B)A.2M B.2M C.6M D.6M2.设 A、B、C为同阶方阵，若由AB = AC必能推出 B = C，则A应满足 ( D )A. A O B. A = O C.|A|= 0 D. |A|03.设A，B均为n阶方阵，则 ( A )A.|A+AB|=0，则|A|=0或|E+B|=0 B.(A+B)2=A
2、2+2AB+B2C.当AB=O时，有A=O或B=O D.(AB)-1=B-1A-14.二阶矩阵A，|A|=1，则A-1= ( B ) A. B. C. D.5.设两个向量组与，则下列说法正确的是( B )A.若两向量组等价，则s = t .B.若两向量组等价，则r()= r() C.若s = t，则两向量组等价.D.若r()= r()，则两向量组等价.6.向量组线性相关的充分必要条件是 ( C )A. 中至少有一个零向量B. 中至少有两个向量对应分量成比例C. 中至少有一个向量可由其余向量线性表示D. 可由线性表示7.设向量组有两个极大无关组与，则下列成立的是( C ) A. r与s未必相等
3、B. r + s = mC. r = s D. r + s m8.对方程组Ax = b与其导出组Ax = o，下列命题正确的是( D )A. Ax = o有解时，Ax = b必有解.B. Ax = o有无穷多解时，Ax = b有无穷多解.C. Ax = b无解时，Ax = o也无解.D. Ax = b有惟一解时，Ax = o只有零解.9.设方程组有非零解，则k = ( D )A. 2 B. 3 C. -1 D. 110.n阶对称矩阵A正定的充分必要条件是( D )A. |A|0 B.存在n阶方阵C使A=CTCC.负惯性指标为零 D.各阶顺序主子式均为正数二、填空题（本大题共10小题，每小题2分
4、，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。11.四阶行列式D中第3列元素依次为 -1，2，0，1，它们的余子式的值依次为5，3，-7，4，则D = -15 12.若方阵A满足A2 = A，且AE，则|A|= 0 .13.若A为3阶方阵，且 ，则|2A|= 4 14.设矩阵的秩为2，则t = -3 15.设向量(6，8，0)，=(4，3，5)，则(,)= 0 16.设n元齐次线性方程组Ax = o，r(A)= r n，则基础解系含有解向量的个数为 n-r 个.17.设(1，1，0)，(0，1，1)，=(0，0，1)是R3的基，则=(1，2，3)在此基下的坐标为 (1,1,2)
5、 .18.设A为三阶方阵，其特征值为1，-1，2，则A2的特征值为 1,1,4 .19.二次型的矩阵A=2 -2 0-2 3 1 0 1 -1 .20.若矩阵A与B=相似，则A的特征值为 1,2,3 .三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）21.求行列式的值.1+x 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1+y 1 0 0 1 1 1+x 1 1 1 1+x 1 1 1 1 1-x 1 1 = -x -x 0 0 =xy 1 1 1+y 1 1 1 1+y 1 1 1 1 1-y 0 0 -y -yx 0 0 01 1 0 00 0 y 00 0 1 1=X2Y222. 解矩阵方程：
6、.2361 1 -1-2 1 11 1 1解：令A=B=因为（因为（AE）= 1 1 -1 1 0 0 -2 1 1 0 1 0 1 1 1 0 0 11 0 0 0 -1/3 1/30 1 0 1/2 1/3 1/60 0 1 -1/2 0 1/2 1 1 -1 1 0 0 0 3 -1 2 1 0 0 0 2 -1 0 1 0 -1/3 1/31/2 1/3 1/6-1/2 0 1/2所以A-1=1322360 -1/3 1/31/2 1/3 1/6-1/2 0 1/2=由AX=B,得X=A-1B=1 -1 1 40 0 2 -60 3 1 -30 4 2 -6 23. 求向量组=( 1,
7、 1, 2, 3 )，=(1,1, 1, 1 )，=(1, 3, 3, 5 )，=(4,2, 5, 6 )的秩和一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表示.1 -1 1 40 0 2 -60 1 1 - 30 0 -2 6解：（a1t,a2t,a3t,a4t）= 1 -1 1 4 1 -1 3 -2 2 1 5 61 0 0 70 1 0 00 0 1 -30 0 0 01 -1 1 40 1 1 -30 0 1 -30 0 0 01 -1 1 40 0 2 -60 1 1 -30 0 0 0 所以,r(a1,a2 a3,a4)=3,极大线性无关组为a1,a2,a3,a4=7a1-
8、3a3=424.a取何值时，方程组有解？并求其通解（要求用它的一个特解和导出组的基础解系表示）.1 2 -1 4 2 2 -1 1 1 11 7 -4 11 a 2 -1 1 1 11 2 -1 4 21 7 -4 11 a 1 2 -1 4 20 -5 3 -7 -30 5 -3 7 a-2 A=1 2 -1 4 20 -5 3 -7 -30 0 0 0 a-5 1 0 1/5 6/5 4/50 1 -3/5 7/5 3/50 0 0 0 0 若方程组有解，则r(A)=r(A),故a=5,若a=5时，继续施已初等行变化换得：A=X3,x4为自由未知向量，令x3=x4=0X1=4/5-1/5x
9、3-6/5x4X2=3/5+3/5x3-7/5x4原方程组的同解方程组为：4/53/500与导出组同解得的方程组为：x1=-1/5-6/5 X2=3/5-7/5 ,x3,x4为自由未知量 得原方程组的一个特解分别取1 0 0，1X3X4令所以，方程组的全部解为：-6/5-7/5 0 1-1/53/5 1 0得到导出组的基础解系：-1/53/5 1 0其中C1，C2为任意常数-6/5-7/5 0 1C2+C1+4/53/5 0 0V=25.已知,求A的特征值及特征向量，并判断A能否对角化，若能，求可逆矩阵P，使P 1AP =（对角形矩阵）(-2)2(-1)=-2 0 0-1 -2 1-1 0 -
10、1= E-A所以，A的特征值为：12=2 ，3=1对于 12=2，求其次线性方程组（2E-A）x=0的基础解系0 11 00 -10-10得基础解系：，1 0 -10 0 00 0 00 0 0 -1 0 1-1 0 1 （2E-A）= 从而矩阵A的对应于特征值1=2=2的全部特征向量为：(C0)011得基础解系：C1 0 00 1 -10 0 0-1 0 0-1 -1 1-1 0 0C1,C2不全为零，对于3=1，求齐次线性方程组（E-A）X=0的基础解系E-A=011100010 因为三阶矩阵A有三个线性无关的特征向量2 0 00 2 00 1 0=0 1 01 0 10 1 1 所以，A
11、相似于对角矩阵，且P=26.用配方法将下列二次型化为标准形：f(x1x2x3)=x12+2x22-x32+4x1x3-4x2x3=x12+4x1(x2-x3)+4(x2-x3)-4(x2-x3)+2x2-x32-4x2x3=(x1+2x2-2x3)-2x22+4x2x3-5x32=(x1+x2-x3)2-(x22-2x2x3+x32)-3x32=(x1+2x2-2x3)2-2(x2-x3)2-3x32X1=y1-2y2X2=y2+x3X3=y3即y1=x1-2x2+2x3Y2=x2-x3Y3=x3令 得二次型的标准型为y12-2y22-3y32四、证明题（本大题共6分）27.设向量，证明向量组是R3空间中的一个基. 首先a1,a2,a3的转置=a1T,a2T,a3T
