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1、九年级数学分解因式法北师大版【本讲教育信息】一. 教学内容: 1. 分解因式法 2. 为什么是0.618二. 教学目标: 1. 会用分解因式法解一元二次方程。 2. 能根据一元二次方程的特征,灵活选择方程的解法。 3. 通过列方程解应用题,进一步提高逻辑思维能力和分析问题、解决问题的能力,认识方程模型的重要性。三. 重点及难点: 重点: 1. 用分解因式法解一元二次方程。 2. 利用一元二次方程解决实际问题,理解方程是一种重要的数学模型。 难点: 1. 根据一元二次方程的特征,灵活选择方程的解法。 2. 列方程时如何寻找等量关系。四. 课堂教学: 知识要点 1. 分解因式法:当一元二次方程的一
2、边为0,而另一边易分解成两个一次因式的乘积时,就把这种解一元二次方程的方法称为分解因式法。即,则或。 2. 分解因式的方法:提取公因式法、公式法。 3. 列一元二次方程解应用题的一般步骤: 审题;设未知数;列方程;解方程;检验;答。 4. 根与系数的关系(韦达定理):设一元二次方程(为常数,)的两个根分别为,则。【典型例题】 例1. 用适当方法解方程。 (1) (2) (3) 解:(1)原方程可化为: 或 , (2)法一:原方程可化为: 或 , 法二:原方程可化为; 或 , (3)原方程可化为; 0 , 总结:遇到解具体的一元二次方程时,一定要分析方程的特征,灵活选择方法,掌握各种方法的基本思
3、想是正确解方程的根本。 例2. 关于的方程有一个根是1,求它的另一个根和的值。 解法一:把代入得 =2 原方程为; 解方程得:, 方程的另一个根是2, 的值为2。 解法二:设的两个根分别为 则 又 方程的另一个根是2, 的值为2。 总结:此题利用根与系数的关系求得结果比较简单,但技巧性较强,作题时要认真体会。 例3. 某地民兵进行演习,解放军同志给他们出了这样一道题,叫他们计算:如果不计算空气阻力,炮弹以45度仰角射出时,高度h,射程S和时间t有下列关系。,其中是炮弹射出时的速度,是重力加速度。设。求:(1)炮弹落地(h=0)需要多少时间(精确到0.1秒);(2)射程S是多少?(精确到1米)解
4、:(1)因为炮弹落地时的高度是0即h=0所以将代入得t=0(不合题意,舍去)或(秒)(2)将t=57.7,代入得答:(1)炮弹落地需要57.7秒才落地。(2)射程S是16318米。 例4. 某商厦今年一月份销售额为60万元,二月份由于种种原因经营不善,销售额下降10%,以后加强改进管理,经减员增效大大激发了全体员工的积极性,月销售额大幅度上升,到四月份销售额猛增到96万元,求三、四月份平均每月增长的百分率是多少?解:设三、四月份平均每月增长的百分率为x。由题意得: 答:三、四月份平均每月增长的百分率为33.3%。 例5. 已知:如图(1),A、B、C、D为矩形的四个顶点,AB=16cm,AD=
5、6cm,动点P、Q分别从点A、C同时出发,点P以3cm/s的速度向点B移动,一直到点B为止,点Q以2cm/s的速度向D移动。问:(1)P、Q两点从出发开始几秒时,四边形PBCQ的面积是33cm2?(2)P、Q两点从出发开始到几秒时,点P点Q间的距离是10cm?解:(1)设P、Q两点从出发开始x秒时,四边形PBCD的面积是,则AP=3x,由梯形的面积公式:解得:x=5答:P、Q两点从出发开始5秒时,四边形PBCQ的面积是。(2)P、Q两点从出发开始到y秒时,点P点Q间的距离是10cm如图(2),过点Q作QHAB,交AB于H则AP=3y,根据勾股定理得:化简方程得:解得:答:P、Q两点从出发开始到
6、1.6秒或4.8秒时,点P点Q间的距离是10cm。例6. 某百货商场服装柜在销售中发现,某品牌服装平均每天可售出20件,每件赢利40元,为了迎接国庆,商场决定采取适当的降价措施扩大销售量,增加盈利,减少库存,经市场调查发现,如果每件降价4元,那么平均每天就可多售出8件,要想平均每天在这种品牌服装上盈利1200元。那么每件这种品牌的服装应降价多少元?解:设每件服装应降价x元根据题意可得方程整理得:解得因要尽快地减少库存,故x=20答:每件这种品牌的服装应降价20元。【模拟试题】一. 选择题: 1. 方程的根为( )A. B. C. D. 2. 解下列方程:,用较简便的方法依次是( )A. 公式法
7、、分解因式法、分解因式法B. 分解因式法、分解因式法、公式法C. 分解因式法、公式法、分解因式法D. 配方法、公式法、分解因式法 3. 市政府计划2年内将市区人均住房面积由现在的10平方米提高到14.4平方米,设每年人均住房面积增长率为x,则x满足的方程是( )A. B. C. D. 4. 一家商店将某种服装按成本价提高40%标价,又以8折(即按标价的80%)优惠卖出,结果每件服装可获利15元,则这种服装每件的成本价是( )A. 120元B. 125元C. 135元D. 140元 5. 一个两位数等于它的个位上的数与十位上的数之和的平方,并且个位上的数比十位上的数小7,这个两位数是( )A.
8、78B. 79C. 81D. 80二. 填空题: 1. 若方程的一个根是,则a的值为_,方程的另一个根是_。 2. 点A()和点B()在平行于y轴的直线上,则x的值为_,y的值是_。 3. 设C点是长为2cm的线段AB的黄金分割点,则AC的长为_。 4. 一个小组共有若干人,新年互送贺年片1张,已知全组共送贺年片72张,则这个小组有_人。 5. 国家规定存款利息的纳税方法是利息税=利息20%,银行一年定期储蓄的年利率为2.25%。今小王取出一年到期的本金及利息时,支付了利息税4.5元,则小王一年前存入银行的钱为_。三. 解答题: 1. 如图,在宽为20m,长为32m的矩形耕地上,修筑同样宽的三
9、条道路(两条纵向,一条横向,横向与纵向互相垂直)。把耕地分成大小不等的六块作试验田,且使试验地面积为。问道路应为多宽? 2. 若一个三角形的三边长均满足方程,则此三角形的周长为_。 3. 某公司需在一个月(31天)内完成新建办公楼的装修工程,如果由甲、乙两个工程队合作,12天可完成,如果由甲、乙两队单独做,甲队比乙队少用10天完成。(1)求甲、乙两工程队单独完成此项工程所需的天数。(2)如果请甲工程队施工,公司每日需付费用2000元,如果请乙队施工,公司每日需付费用1400元,在规定时间内:A. 请甲队单独完成此项工程,B. 请乙队单独完成此项工程,C. 请甲、乙两队合作完成此项工程。以上三种
10、方案哪一种花钱最少。 4. 如图,在RtABC中,C=90,点P、Q同时由A、B两点出发分别沿AC、BC方向向C点匀速运动,其速度均为2m/s,几秒后,PCQ的面积是ABC的面积的一半。 5. 将进货单价为40元的商品按50元售出时就能卖出500个,已知这种商品每个涨价1价,其销量就减少10个,若想获得8000元利润,售价应为多少?试题答案一. 1. A2. C3. C4. B5. C二. 1. 2. 1或2,4 3. 4. 9 5. 1000元三. 1. 设道路的宽为x m,依题意,得:整理得解得x=3520x=35不合题意,舍去x=1答:道路宽应为1m。 2. 解:解方程分四种情况讨论:(
11、1)若三角形的三边长都是2,则此三角形为等边三角形,周长为6。(2)若三角形的三边长都是4,则此三角形为等边三角形,周长为12。(3)若三角形的两边长为2,一边长为4,因为22=4,不符合三角形三边关系(舍去)。(4)若三角形的两边长为4,一边长为2,因4、4、2符合三角形三边关系,故周长为10。综上所述,三角形三边长为6或12或10。 3. 解:(1)设乙队单独完成此项工程需要x天依题意得:去分母,整理得:解这个方程得经检验知都是原方程的解因为x=4不合题意,所以只取x=30所以单独完成此项工程甲队需20天,乙队需30天(2)因为请甲队需元,请乙队需140030=42000元请甲、乙两队合作需元所以单独请甲队完成此项工程花钱最少。 4. 解:设x秒后,PCQ的面积为ABC面积的一半,则有化简得:解之可得:(舍去)答:1.5s后PCQ的面积为ABC面积的一半。 5. 解:设商品的单价涨价x元,每个商品的利润为元,销售量为个,可得方程:整理得:解得:因此,商品的售价可定为60元或80元。