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1、求使不等式ax2+4x-1-2x2-a对任意实数x恒成立的a的取值范围。答案：由不等式得(a+2)x2+4x+a-10. 对任意xR成立。）当a=-2时，化为4x3,当x时不成立。）当a-2时，=44-(a+2)(a-1)0，即a2+a+24，得a2，或a-3，综上所述，a2。来源：08年数学竞赛专题二题型：解答题，难度：中档已知不等式组 的整数解恰好有两个，求a的取值范围。答案：因为方程x2-x+a-a2=0的两根为x1=a, x2=1-a,若a0，则x1x2.的解集为ax1-2a.因为1-2a1-a，所以a0,所以不等式组无解。若a0，）当0a时，x1x2,的解集为ax1-a.因为0ax1
2、-a时，a1-a，由得x1-2a，所以不等式组的解集为1-ax1且a-(1-a)3，所以1a2，并且当1a2时，不等式组恰有两个整数解0，1。综上，a的取值范围是1a2.来源：08年数学竞赛专题二题型：解答题，难度：较难已知f(x)=ax2+bx+c在0，1上满足|f(x)|1,试求|a|+|b|+|c|的最大值。答案：因为，所以，所以|a|+|b|+|c|=|2f(1)+2f(0)-4f|+|4f-f(1)-3f(0)|+|f(0)| 3+|f(1)|+8|f|+6|f(0)|17.另一方面，对于二次函数f(x)=8x2-8x+1，当x0,1时，|f(x)|1,且|a|+|b|+|c|=17
3、，所以|a|+|b|+|c|的最大值为17。来源：08年数学竞赛专题二题型：解答题，难度：较难对任意x0,1,有 成立，求k的取值范围。答案：当x0,1时，有x2-2kx+k-40成立。记f(x)=x2-2kx+k-4，当且仅当时-3k0，由g(1)0可得k2.）当0k0当且仅当，即-6k2，亦即0k2；）当k0当且仅当g(1)0，即k2。综上所述，对任意x0，1，不等式组成立。当且仅当-3k100，试问满足|f(x)|50的整数x最多有几个？答案：f(x)=a(x-x0)2+f(x0)。）若|f(x0)|50，因为满足|n-x0|50，若f(x0)50，则|f(x)|50无解；若f(x0)-
4、50，设|f(n)|50,|f(n+k)|50,若k1,则|f(n+k)-f(n)|=|ak(2n+k-2x0)|100.则k|2n+k-2x0|1，若nx0，则k无解，所以满足nx0且|f(x)|50的整数x至多有1个。同理可得若nn+kx0,则若k1,|k(2n+k-2k0)|k|1，所以满足的k也不存在。所以满足|f(x)|50的整数最多有2个。例如，f(x)=101,当x=0,1时有|f(x)|0(mR)答案：(1)m=0时 -3x+90 x3(2)m3时 当m0时10 0m1时，x3或来源：题型：解答题，难度：中档已知函数是定义在上的奇函数，当时，（为常数）。（1）求函数的解析式；（
5、2）当时，求在上的最小值，及取得最小值时的，并猜想在上的单调递增区间（不必证明）；（3）当时，证明：函数的图象上至少有一个点落在直线上。答案：（1）时， 则 函数是定义在上的奇函数，即，即 ，又可知 函数的解析式为 ，（2）， ，即 时， 。猜想在上的单调递增区间为。（3）时，任取，在上单调递增，即，即，当时，函数的图象上至少有一个点落在直线上。来源：08年高考探索性专题题型：解答题，难度：较难设，求满足下列条件的实数的值：至少有一个正数，使的定义域和值域相同答案：若a0，则对每个正数b，的定义域和值域都是，故a0满足条件若a0，则对每个正数b，的定义域D，但的值域A故DA，即a0不合条件若a
6、0，则对每个正数b，的定义域D，由于此时，故的值域为所以，综合所述，a的值为0或4来源：题型：解答题，难度：中档已知a, b, cR, f(x)=ax2+bx+c, g(x)=ax+b, 当|x|1时，|f(x)|1,(1)求证：|c|1;(2)求证：当|x|1时，|g(x)|2;(3)当a0且|x|1时，g(x)最大值为2，求f(x).答案：（1）令x=0，则|f(0)|0,于是|c|1。（2）因为，解得a=f(1)+f(-1)-2f(0), b=f(1)-f(-1),所以当|x|1时，|g(x)|=|ax+b|=|f(1)+f(-1)-2f(0)x+f(1)-f(-1)|=|(x+1)f(
7、1)+(x-1)f(-1)-2xf(0)|x+1|f(1)|+|x-1|f(-1)+|2x|f(0)|(|x+1|+|x-1|+2)= (x+1)+(1-x)+2=2.(3)因为当a0时g(x)=ax+b在-1，1上递增，所以当x=1时，g(x)=2，即g(1)=a+b=2=f(1)-f(0).而-1f(1)1,-1-f(0)1，所以f(1)=1,-f(0)=1，所以c=-1。又当|x|1时，f(x)-1=f(0)，所以在-1，1上，f(0)为f(x)的最小值，所以0=-,所以b=0,a=2。所以f(x)=2x2-1.来源：08年数学竞赛专题二题型：解答题，难度：中档设A=x| 1x0成立。（
8、1）判断函数f(x)在1,1上是增函数还是减函数，并证明你的结论；（2）解不等式f(x + )f( )；（3）若f(x)m22am + 1对所有x 1,1，a 1,1恒成立，求实数m的取值范围。答案：解：（1）任取x1、x2 1,1且x10，x1x20，得f(x1)f(x2)0，即f(x1) f(x2)，故f(x)在1,1上是增函数。 4分（2）据函数f(x)是定义在1,1上的增函数，不等式f(x + )0时g(a)为1,1上的减函数，此时g(1)最小。由 解得m2；当m = 0时，g(a) = 0，对a 1,1的g(a)0也成立；当m0时g(a)为1,1上的增函数，此时g (1)最小，由 ，
9、解得m2。故m的取值范围为m2，m = 0或m2。 14分来源：题型：解答题，难度：较难某公司生产的A型商品通过租赁柜台进入某商场销售.第一年，商场为吸引厂家，决定免收该年管理费，因此，该年A型商品定价为每件70元，年销售量为11.8万件.第二年，商场开始对该商品征收比率为p%的管理费（即销售100元要征收p元），于是该商品的定价上升为每件元，预计年销售量将减少p万件.（1）将第二年商场对该商品征收的管理费y（万元）表示成p的函数，并指出这个函数的定义域；（2）要使第二年商场在此项经营中收取的管理费不少于14万元，则商场对该商品征收管理费的比率p%的范围是多少？（3）第二年，商场在所收管理费不少于14万元的前提下，要让厂家获得最大销售金额，则p应为多少？答案：解：（1）依题意，第二年该商品年销售量为（11.8p）万件，年销售收入为（11.8p）万元，则商场该年对该商品征收的总管理费为（11.8p）p%（万元）. 3分故所求函数为:y=（11810p）p. 4分由11.8p0及p0得定义域为0p. 5分（2）由y14，得（11810p）p14.化简得p212p+200，即（p2）（p10）0，解得2p10.故当比率在2%，10%内时，商场收取的管理费将不少于14万元. 8分（3）第二年，当商场收取的管理费不少于14万元时，厂家的销售
